平衡問題矢量方法(陳立群)

1、1第三章第三章 平衡問題：平衡問題： 矢量方法矢量方法2第三章第三章 平衡問題：矢量方法平衡問題：矢量方法 從前一章的力系簡化可知，力系最終可以簡化為平衡、力、力偶和力螺旋四種情況之一。 本章進(jìn)一步討論力系的平衡問題，包括平衡條件和平衡方程及其應(yīng)用。 平衡力系作用下，物體保持平衡狀態(tài)，即對于慣性參照系靜止或作勻速直線平移。 本章在分析平衡問題時，還考慮了工程中常見的一類摩擦干摩擦，研究具有滑動摩擦和滾動摩擦?xí)r的平衡問題。3平衡問題的是靜力學(xué)的核心內(nèi)容。靜力學(xué)在工程中有重要意義，是設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)、構(gòu)件和機(jī)械零件時靜力計(jì)算的基礎(chǔ)。因此，靜力學(xué)在工程中有廣泛應(yīng)用。研究平衡問題可以采用矢量方法和能量方法。4

2、3.1 力系的平衡方程和應(yīng)用力系的平衡方程和應(yīng)用 1平衡方程平衡方程 由第二章知，力系向一點(diǎn)簡化可以得到一力和一力偶，分別等于力系主矢和對該點(diǎn)的主矩。主矢和主矩同時為零是力系平衡的充分和必要條件，即0FFR0)(FmMoo， 將矢量式(3.1.1)向互不平行且不在同一平面上的三個坐標(biāo)軸x, y, z投影，可以得到等價的標(biāo)量方程組 (3.1.1) 50, 0, 00, 0, 0zyxzyxmmmFFF 通常取坐標(biāo)軸x, y, z互相垂直而成直角坐標(biāo)系。方程(3.1.2)稱為力系的平衡方程，是平衡方程的一般形式。習(xí)慣上，稱式(3.1.2)中前三個方程為投影式，后三個方程為力矩式。 作為上述平衡方程

3、的應(yīng)用，討論幾類特殊力系平衡方程的形式。(3.1.2)6(1) 平面力系平面力系 若力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)，該力系稱為平面平面力系力系。不失一般性，設(shè)xy平面為力系所在平面，此時力系中各力在z軸上的投影恒零，且對x和y軸的力矩也為零。因此，方程(3.1.2)中第三、四和五方程自然成立。式(3.1.2)中對z軸的力矩可以理解為是對 z 軸與 此時，方程(3.1.2) xy平面交點(diǎn)，即xy平面上任意一點(diǎn)A的力矩。退化為 0, 0, 0AyxmFF(3.1.3)式(3.1.3)為平面力系的平衡方程。xyz F A0, 0, 00, 0, 0zyxzyxmmmFFF(3.1.2)7 除式(3.

4、1.3)外，平面力系還存在不同形式的平衡方程。平面力系向一點(diǎn)簡化的結(jié)果是一力和一力偶，平衡方程是要確保這兩者均為零，除稱為一矩式的(3.1.3)外，還可以寫作二矩式0 xF0Am0Bm (3.1.4)xAB其中要求軸與兩矩心的連線力系可能滿足方程(3.1.4)但不平衡，如圖3.1所示。不垂直。倘若不滿足該條件，圖3.1二矩式失效：AB連線與 軸垂直x 三矩式失效：A、B、C三點(diǎn)共線 x0, 0, 0AyxmFF(3.1.3)80Am0Bm0Cm (3.1.5)其中要求CBA,(3.1.4)但不平衡，如圖3.1所示。在具體應(yīng)用中，以方便為原則，選擇合適的方程形式，以利于解題。三點(diǎn)不在一直線上。否

5、則，力系可能滿足方程(2) 匯交力系匯交力系 設(shè)力系中各力的作用線匯交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。力系中各力對x, y, z軸的力矩都為零。方程(3.1.2)中后三個方程恒成立。此時，方程(3.1.2)退化為0, 0, 0zyxFFF (3.1.6)平衡方程還可以寫作三矩式0, 0, 00, 0, 0zyxzyxmmmFFF(3.1.2)9式(3.1.6)為匯交力系的平衡方程匯交力系的平衡方程。對于平面匯交力系，力系在與所在平面垂直的軸上的投影恒為零，記該軸為z軸，則平面匯交力系的平衡方程為0, 0yxFF (3.1.7) (3) 平行力系平行力系 設(shè)力系中各力作用線均與z軸平行而與x, y軸垂直。力系中各

6、力對x, y軸的投影和對z軸的力矩恒為零。此時，方程(3.1.2)退化為0zF0, 0yxmm(3.1.8) 0, 0, 00, 0, 0zyxzyxmmmFFF(3.1.2)xyzF10式(3.1.8)為平行力系的平衡方程。對于平面平行力系，進(jìn)一步設(shè)力系在y, z平面內(nèi)，則對y軸的矩恒為零，而與力系平衡與否無關(guān)。因此，平面平面平行力系的平衡方程為0zF0 xm(3.1.9)(4) 力偶系力偶系 由于力偶在任意軸上的投影為零，因此，式(3.1.2)中前三個方程成為恒等式而與力系平衡與否無關(guān)。此時，方程(3.1.2)退化為0, 0, 0zyxmmm (3.1.10) 0zF0, 0yxmm(3.

7、1.8) 0, 0, 00, 0, 0zyxzyxmmmFFF(3.1.2)11式(3.1.10)為力偶系的平衡方程力偶系的平衡方程。對于平面力偶系，設(shè)力偶作用平面均為xy平面，則力偶矩矢均與x, y軸垂直而投影為零。因此，平面力偶系的平衡方程為0zm (3.1.11) Xymz12基本形式基本形式A、B連線不得連線不得x 軸軸A、B、C不得共線不得共線平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程二力矩形式二力矩形式三力矩形式三力矩形式0)(00OiiyixFMFF)0(00)(0)(BAiyixiiFFFMFM或或0)(0)(0)(CBAiiiFM

8、FMFM0)(0OiiyFMF0)(0)(BAiiFMFM二力矩形式二力矩形式若若力系各力平于力系各力平于 y 軸：軸：13 2力系平衡方程的應(yīng)用力系平衡方程的應(yīng)用14例例1 支架的橫梁支架的橫梁AB與斜桿與斜桿DC彼此以鉸鏈彼此以鉸鏈C連接，并各以鉸鏈連接，并各以鉸鏈A、 D連接于鉛直墻上，如圖所示。已知桿連接于鉛直墻上，如圖所示。已知桿AC=CB，桿，桿DC與與 水平線成水平線成45角；載荷角；載荷F=10kN，作用于，作用于B處。設(shè)梁和桿的處。設(shè)梁和桿的 重量忽略不計(jì)，求鉸鏈重量忽略不計(jì)，求鉸鏈A的約束力和桿的約束力和桿DC所受的力。所受的力。ABDCFABC1. 取取AB桿為研究對象；

9、桿為研究對象；3. 選坐標(biāo)系，選坐標(biāo)系，列平衡方程列平衡方程解：解：2. 作受力圖；作受力圖； Fx= 0 FAx +FC cos45 = 0 Fy= 0 FAy +FC sin45 F = 0 MA(F)= 0 FC cos45l F2l = 04. 求解求解FC = 28.28kNFAx = 20kNFAy = 10kNFFCFAyFAxll4515例例2 伸臂式起重機(jī)如圖所示，勻質(zhì)伸臂伸臂式起重機(jī)如圖所示，勻質(zhì)伸臂AB 重重P =2200 N，吊車，吊車 D、E連同吊起重物各重連同吊起重物各重F1= F2=4000 N。已知：。已知：l =4.3 m， a = 1.5 m，b = 0.9

10、 m，c = 0.15 m， a a = 25。 試求試求A處的處的約束力，以及拉索約束力，以及拉索 BH 的拉力。的拉力。DEaacbBHACF1F2lP解：解：1. .取伸臂取伸臂AB為研究對象為研究對象2. .受力分析如圖受力分析如圖yxBAFBPF2F1ECDFAyFAxa a16yxBAFBPF2F1ECDFAyFAxa a0sin cos2BB21lFcFblFlPaFaa3. .選如圖坐標(biāo)系，列平衡方程選如圖坐標(biāo)系，列平衡方程 Fx= 0 FAx FB cosa a = 0 Fy= 0 FAyF1P F2+FB sina a = 0 MA(F)= 04. .聯(lián)立求解聯(lián)立求解FB

11、= 12456 NFAx = 11290 NFAy = 4936 N17例例3 外伸梁的尺寸及載荷如圖所示，外伸梁的尺寸及載荷如圖所示，F(xiàn)1=2 kN，F(xiàn)2=1.5 kN， M =1.2 kNm，l1=1.5 m，l2=2.5 m。 試求支座試求支座A及支座及支座B的約束力。的約束力。F1ABl2l1llF2M601. 取梁為研究對象取梁為研究對象解：解：2. 受力分析如圖受力分析如圖3. 選坐標(biāo)系，選坐標(biāo)系，列平衡方程列平衡方程ABxyFAxFAyF1FBF2M60 Fx= 0 FAx F2 cos60 = 0 Fy= 0 FAy+ FB F1F2 sin60= 0 MA(F)= 0FBl2

12、M F1l1F2 sin60(l1+l2) = 04. 求解求解FB = 3.56 kN FAx = 0.75 kN FAy = 0.261k N18AB例例4 如圖所示為一懸臂梁，如圖所示為一懸臂梁，A 為固定端，設(shè)梁上受分布集度為為固定端，設(shè)梁上受分布集度為 q 的均布載荷作用，在自由端的均布載荷作用，在自由端 B 受一集中力受一集中力F 和一力偶和一力偶 M 作用，梁的跨度為作用，梁的跨度為 l。試求固定端的約束力。試求固定端的約束力。ABlqFM452.受力分析如圖受力分析如圖1. 取梁為研究對象取梁為研究對象解：解：3. 選坐標(biāo)系，選坐標(biāo)系，列平衡方程列平衡方程qABxyMFFAyM

13、AlFAx45 Fx= 0 FAx F cos45 = 0 Fy= 0 FAy ql F sin45= 0 MA(F)= 0MA qll/2 F cos45l + M = 0 707. 0212AMFlqlM4. 求解求解FAx = 0.707 F FAy = ql+ 0.707F 19BAD1 mq2 mM解：解：1. .取梁取梁AB為研究對象為研究對象2. .受力分析如圖受力分析如圖BA其中其中F=qAB=300 N，作用在，作用在AB的的中點(diǎn)中點(diǎn)C處處。3. .選坐標(biāo)系，列平衡方程。選坐標(biāo)系，列平衡方程。yx Fx= 0 FAx = 0 Fy= 0 FAy F +FD = 0 MA(F)

14、= 00 22ABDMFFDFFAyFAxFDCM例例5 梁梁AB上受到一個均布載荷和一個力偶作用，已知載荷集度上受到一個均布載荷和一個力偶作用，已知載荷集度(即梁的每單位長度上所受的力即梁的每單位長度上所受的力)q = 100 N/m，力偶矩，力偶矩 M = 500 Nm。長度。長度AB =3m，DB =1m。 試求活動鉸支座試求活動鉸支座 D 和固定鉸支座和固定鉸支座A的約束力。的約束力。20例例5 梁梁AB上受到一個均布載荷和一個力偶作用，已知載荷集度上受到一個均布載荷和一個力偶作用，已知載荷集度(即梁的每單位長度上所受的力即梁的每單位長度上所受的力)q = 100 N/m，力偶矩，力偶

15、矩 M = 500 Nm。長度。長度AB =3m，DB =1m。 試求活動鉸支座試求活動鉸支座 D 和固定鉸支座和固定鉸支座A的約束力。的約束力。3. .選坐標(biāo)系，列平衡方程。選坐標(biāo)系，列平衡方程。 Fx= 0 FAx = 0 Fy= 0 FAy F +FD = 0 MA(F)= 00 22ABDMFF4. .聯(lián)立求解聯(lián)立求解FD= 475 NFAx= 0 FAy= 175 NBAD1 mq2 mMBAyxDFFAyFAxFDCM21例例6 某飛機(jī)的單支機(jī)翼重某飛機(jī)的單支機(jī)翼重 G=7.8 kN。飛機(jī)水平勻速直線飛行時，。飛機(jī)水平勻速直線飛行時， 作用在機(jī)翼上的升力作用在機(jī)翼上的升力 F =

16、27 kN，力的作用線位置如圖示，力的作用線位置如圖示， 其中尺寸單位是其中尺寸單位是mm。試求機(jī)翼與機(jī)身連接處的約束力。試求機(jī)翼與機(jī)身連接處的約束力。25802083770ABCFG解：解：1. .取機(jī)翼為研究對象取機(jī)翼為研究對象2. .受力分析如圖受力分析如圖BAGFAyFAxMACF3. .選坐標(biāo)系，列平衡方程。選坐標(biāo)系，列平衡方程。 Fx= 0 FAx = 0 Fy= 0 FAy G +F = 0 MA(F)= 00ABACAFGM4. .聯(lián)立求解聯(lián)立求解FAx= =0 N FAy=-=-19.2 kNMA=-=-38.6 kNm (順時針）順時針）22例例7 塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)架

17、重塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)架重G1=700 kN，作用線通過塔架的中心。，作用線通過塔架的中心。 最大起重量最大起重量G2=200 kN，最大懸臂長為，最大懸臂長為12 m，軌道，軌道AB的間距為的間距為4 m。 平衡荷重平衡荷重G3到機(jī)身中心線距離為到機(jī)身中心線距離為6 m。試問：。試問： (1)保證起重機(jī)在滿載和空載時都不翻倒，求平衡荷重保證起重機(jī)在滿載和空載時都不翻倒，求平衡荷重G3應(yīng)為多少應(yīng)為多少? (2)若平衡荷重若平衡荷重G3=180kN，求滿載時軌道，求滿載時軌道A，B給起重機(jī)輪子的約束力？給起重機(jī)輪子的約束力？AB2m 2m6 m12 mG1G2G3FBFA23AB6 m12 m

18、G1G2G32m 2mFBFA解：解：1. .取起重機(jī)為研究對象取起重機(jī)為研究對象2. .受力分析如圖受力分析如圖41028213AGGGF MB(F)= 03. .列平衡方程列平衡方程 MA(F)= 0G3(6+2)+G12G 2(12-2) FA4 = 0G3(6 2) G12G 2(12+2)+FB4= 044214312BGGGF24AB6 m12 mG1G2G32m 2mFBFA41028213AGGGF44214312BGGGF4. . 起重機(jī)不翻倒時起重機(jī)不翻倒時平衡荷重平衡荷重G3(1) 滿載時滿載時(G2=200 kN)不繞不繞B點(diǎn)翻倒點(diǎn)翻倒應(yīng)有應(yīng)有FA0，即，即041028

19、213AGGGF臨界情況下為臨界情況下為FA=0，可得，可得G3min8G3min+2G110G 2= 0 G3min= 75 kN(2) 空載時空載時(G2=0)不繞不繞A點(diǎn)翻倒點(diǎn)翻倒應(yīng)有應(yīng)有FB0，即，即044231BGGF臨界情況下為臨界情況下為FB=0，可得，可得G3max2G1 4G3max= 0 G3max= 350 kN有有 75 kN G3 350 kN25AB6 m12 mG1G2G32m 2mFBFA5. .取取G3=180kN，求滿載，求滿載(G2=200 kN) 時軌道時軌道A，B對起重機(jī)的約束力對起重機(jī)的約束力FA、 FB。41028213AGGGF=210 kN=

20、870 kN44214312BGGGF41028213AGGGF44214312BGGGF263 靜定與靜不定問題的概念靜定與靜不定問題的概念1A2F匯交力系匯交力系未知力數(shù)：未知力數(shù)：平衡方程：平衡方程：00iyixFFF1ABF2平行力系平行力系未知力數(shù)：未知力數(shù)：平衡方程：平衡方程：0)(0AiiyFMFF1、F2FA、FB任意力系任意力系未知力數(shù)：未知力數(shù)：平衡方程：平衡方程：FAx、Fay、MA0)(00OiiyixFMFFFAxFAyFAMA靜定問題：靜定問題： 未知力數(shù)未知力數(shù) 靜力靜力平衡方程數(shù)平衡方程數(shù)27FA31A2F匯交力系匯交力系未知力數(shù)：未知力數(shù)：平衡方程：平衡方程：

21、00iyixFFF1ABF2平行力系平行力系未知力數(shù)：未知力數(shù)：平衡方程：平衡方程：0)(0AiiyFMF、F3、FCBF1、F2FA、FB任意力系任意力系未知力數(shù)：未知力數(shù)：平衡方程：平衡方程：FAx、FAy、MA0)(00OiiyixFMFFC、FBxFAyFAMA在靜定問題上再加上多余約束，則成為靜不定問題。在靜定問題上再加上多余約束，則成為靜不定問題。28此時僅由此時僅由靜力靜力平衡方程不能求解全部未知量。平衡方程不能求解全部未知量。靜不定問題靜不定問題(超靜定問題超靜定問題)： 未知力數(shù)未知力數(shù) 靜力靜力平衡方程數(shù)平衡方程數(shù)須建立補(bǔ)充方程求解，在材料力學(xué)中研究。須建立補(bǔ)充方程求解，在

22、材料力學(xué)中研究。注意：實(shí)際中多余約束可提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性，并注意：實(shí)際中多余約束可提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性，并 不多余。多余約束只是針對結(jié)構(gòu)平衡而言是多余的。不多余。多余約束只是針對結(jié)構(gòu)平衡而言是多余的。FA31A2FF1ABF2BCxFAyFAMA29表表3.1 力系形式與平衡方程的個數(shù)力系形式與平衡方程的個數(shù)力系形式獨(dú)立方程數(shù)力系形式獨(dú)立方程數(shù)一般力系6平面力系3匯交力系3平面匯交力系2平行力系3平面平行力系2力偶系3平面力偶系130 如果系統(tǒng)約束力的未知分量的數(shù)目正好等于系統(tǒng)平衡方程的數(shù)目，這類平衡問題稱為靜定問題。 在某些問題中，未知約束力分量的數(shù)目大于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目

23、，因此，僅由平衡方程不能無法求得全部未知約束力分量。這類平衡問題稱為靜不定問題。 對于靜不定問題，由于未知量的數(shù)目大于獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目而使問題不能在靜力學(xué)范圍內(nèi)完全解決。為確定所有未知量，還必須增加補(bǔ)充方程，即變形協(xié)調(diào)方程，這將在材料力學(xué)或結(jié)構(gòu)力學(xué)中討論。例例3.1-1：分析四腳凳的靜不定性。解解：四腳凳受到人的重力W和地面對四個腳的約束力作用，這5個力組成空間平行力系。平衡方程數(shù)為3，但約束數(shù)為4，所以是1次靜不定。31（a） （b） （c）例例3.2-2：判定圖示平衡問題靜定與否。A處未知約束力分量數(shù)B處未知約束力分量數(shù)C處未知約束力分量數(shù)總未知約束力分量數(shù)約束力構(gòu)成的力系及其獨(dú)立方程

24、數(shù)圖a2114平面一般力系，3圖b224平面一般力系，3圖c314平面一般力系，3因此均為靜不定問題。32如：如： 物系外力：物系外其他物體對物系的作用力叫物系外力。物系外力：物系外其他物體對物系的作用力叫物系外力。剛體系：由若干個剛體通過約束所組成的系統(tǒng)剛體系：由若干個剛體通過約束所組成的系統(tǒng)。又稱為物系。又稱為物系。4 剛體系的平衡剛體系的平衡qBADMFCHE物系內(nèi)力：物系內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫物系內(nèi)力。物系內(nèi)力：物系內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫物系內(nèi)力。如：主動力、約束力。如：主動力、約束力。 如：左圖中如：左圖中AC桿與桿與CE桿在桿在C鉸鏈處的相互作用力。鉸鏈處的相互作用力。

25、 33物系平衡的特點(diǎn)：物系平衡的特點(diǎn)： 物系靜止物系靜止 物系平衡時，其中每一物體也處于平衡狀態(tài)，滿足各自的物系平衡時，其中每一物體也處于平衡狀態(tài)，滿足各自的 平衡條件。平衡條件。 對每一物體都可列出相應(yīng)的獨(dú)立平衡方程，其總和即為物對每一物體都可列出相應(yīng)的獨(dú)立平衡方程，其總和即為物 系具有的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。系具有的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。設(shè)物系由設(shè)物系由 n 個物體組成，每個物體均受平面任意力系作用，個物體組成，每個物體均受平面任意力系作用，其平衡方程數(shù)為其平衡方程數(shù)為 3，則物系的獨(dú)立平衡方程數(shù)為，則物系的獨(dú)立平衡方程數(shù)為 3n 個，可求個，可求解解 3n 個未知量。個未知量。當(dāng)物系中某些物

26、體受平面匯交力系或平面平行力系作用時，其當(dāng)物系中某些物體受平面匯交力系或平面平行力系作用時，其平衡方程數(shù)應(yīng)相應(yīng)減少。平衡方程數(shù)應(yīng)相應(yīng)減少。若物系若物系未知量數(shù)不多于物系的獨(dú)立平衡方程數(shù)時，為靜定問題，未知量數(shù)不多于物系的獨(dú)立平衡方程數(shù)時，為靜定問題，否則為靜不定問題。否則為靜不定問題。34未知力數(shù)：未知力數(shù)：平衡方程數(shù)：平衡方程數(shù)：32=6FAx、FAy、MA、 FCx、FCy、FB未知力數(shù)：未知力數(shù)： 為靜定問題。為靜定問題。FAx、FAy、MA、 FCx、FCy、 FBx、FBy平衡方程數(shù)：平衡方程數(shù)：32=6qAMF1CBF2BqAMF1CF2 為靜不定問題。為靜不定問題。對靜定問題，可

27、列出每一物體的平衡方程，再組成方程組聯(lián)立對靜定問題，可列出每一物體的平衡方程，再組成方程組聯(lián)立求解，但常要進(jìn)行較繁的數(shù)學(xué)運(yùn)算。求解，但常要進(jìn)行較繁的數(shù)學(xué)運(yùn)算。在解題時，若能選取適當(dāng)?shù)难芯繉ο螅谐霰仨氉銐虻钠胶夥皆诮忸}時，若能選取適當(dāng)?shù)难芯繉ο?，列出必須足夠的平衡方程，可使運(yùn)算過程簡便。程，可使運(yùn)算過程簡便。35求解物系平衡問題的一般方法：求解物系平衡問題的一般方法：qAMF1CBF2由整體由整體 局部局部或：由局部或：由局部 整體整體36例例7 如圖所示為曲軸沖床簡圖，由輪如圖所示為曲軸沖床簡圖，由輪I，連桿，連桿AB和沖頭和沖頭B組成。組成。 A，B兩處為鉸鏈連接。兩處為鉸鏈連接。OA=R

28、，AB=l。如忽略摩擦和物體如忽略摩擦和物體 的自重，當(dāng)?shù)淖灾?，?dāng)OA在水平位置，沖壓力為在水平位置，沖壓力為 F 時系統(tǒng)處于平衡狀時系統(tǒng)處于平衡狀 態(tài)。求態(tài)。求(1)作用在輪作用在輪I 上的力偶矩上的力偶矩 M 的大??；的大??；(2)軸承軸承O處的處的 約束反力；約束反力；(3)連桿連桿AB受的力；受的力；(4)沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。ABOMFIa解：解：1. .取取沖頭沖頭為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖列平衡方程列平衡方程BxFBFNFa a0 cos00 sin0BBNaaFFFFFFyxa cosBFF 22N tanRlRFFFa求解得：求解得：37O

29、AABOMFIa a2. .取取輪輪 I 為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖列平衡方程列平衡方程求解得：求解得：yxFOxFOyFAM 0 cos00 sin00 cos0AOAOAOaaaFFFFFFMRFFMyyxxFRM FFFRlRFFFyxaa cos sinAO22AO38例例8 三鉸拱橋及尺寸如圖所示，由左右兩段用鉸鏈三鉸拱橋及尺寸如圖所示，由左右兩段用鉸鏈C連接，又用連接，又用 鉸鏈鉸鏈A，B與基礎(chǔ)相連接。已知每段重與基礎(chǔ)相連接。已知每段重G = 40 kN，重心分別，重心分別 在在D，E處，且橋面受一集中載荷處，且橋面受一集中載荷F =10 kN。 設(shè)各鉸鏈都是光滑

30、的，試求平衡時各鉸鏈中的力。設(shè)各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時各鉸鏈中的力。ABCDEGF3mG1m6m6m6m39解：解：DCAEBCyxFAxFAyFCxFCyGGFFCxFCyFBxFBy1. .取取為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx FCx = 0 Fy= 0 FAy G FCy = 0 MC(F)= 0FAx6 FAy 6 +G5 = 02. .取取為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FBx + FCx = 0 Fy= 0 FBy +FCy G F = 0 MC(F)= 0FBx6 +FBy6 F

31、3 G5 =040DCAEBCyxFAxFAyFCxFCyGGFFCxFCyFBxFBy列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx FCx = 0 Fy= 0 FAy G FCy = 0 MC(F)= 0FAx6 FAy 6 +G5 = 0列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FBx + FCx = 0 Fy= 0 FBy +FCy G F = 0 MC(F)= 0FBx6 +FBy 6 F3 G5 =0聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得： FAx = - -FBx =FCx = 9.17 kNFAy= 42.5 kN FBy= 47.5 kN FCy= 2.5 kN此時求解過程較繁。此時求解過程較繁。41DA

32、EBCGGFyxFAxFAyFBxFBy若先若先取取為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx + FBx = 0 Fy= 0 FAy +FBy G G F= 0 MA(F)= 0FBy12 F9 G1 G11= 0再取再取為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FBx + FCx = 0 Fy= 0 FBy +FCy G F = 0 MC(F)= 0FBx6 +FBy6 F3 G5 =0EBCFCxFCyGFFBxFBy FBy= 47.5 kNFAy= 42.5 kNFBx= - -9.17 kN FCx= 9

33、.17 kNFCy= 2.5 kNFAx= 9.17 kN42l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4例例9 組合梁組合梁AC和和CE用鉸鏈用鉸鏈C相連，相連，A端為固定端，端為固定端，E端為活動鉸端為活動鉸 鏈支座。受力如圖所示。已知：鏈支座。受力如圖所示。已知： l =8 m，F(xiàn)=5 kN，均布載荷，均布載荷 集度集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小，力偶矩的大小M= 5 kNm。 試求固定端試求固定端A，鉸鏈，鉸鏈C和支座和支座E處的約束力。處的約束力。解：解：1. .取取CE段為研究對象段為研究對象2. .受力分析如圖受力分析如圖3. .列平衡方程列平衡方程DCEMl/4l/

34、8F1GFCFE41lqF Fy= 0 MC(F)= 004ECFlqF0284ElFMllq4. .聯(lián)立求解聯(lián)立求解FE=2.5 kN， FC=2.5 kN436. .列平衡方程列平衡方程 Fy= 0 MA(F)= 07. .聯(lián)立求解聯(lián)立求解FA= 12.5 kN，MA= 30 kNmAC42lqFHl/8l/8l/4IFF2FAMA5. .取取AC段為研究對象，段為研究對象， 受力分析如圖受力分析如圖04CAlqFFF028348CAlFllqlFMl/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/444例例10 剛架結(jié)構(gòu)的尺寸和載荷如圖所示。剛架結(jié)構(gòu)的尺寸和載荷如圖所示。 試求試求A，B支座

35、及支座及C鉸鏈處的約束力。鉸鏈處的約束力。GqABCbaa/2 a/2MABC解：解：1. .取取剛架整體剛架整體為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖列平衡方程列平衡方程FAxFAyFBxFByyx Fx= 0 FAx + FBx + qb = 0 Fy= 0 FAy +FBy G = 0 MB(F)= 00222AbqbaFaGMy求解得：求解得：)2121(212AqbpaMaFy)2123(212ABqbMpaaFGFyyGqM45AC2. .取取剛架左半部剛架左半部為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx + FCx + qb = 0

36、 Fy= 0 FAy +FCy= 0 MC(F)= 0求解得：求解得：yxFAxFAyFCxFCy02AAaFbqbbFyx)2321(21)21(122AAqbpaMbqbaFbFyx)2121(212ACqbpaMbqbFFxx)2121(212ACpaMqbaFFyy)2121(212ABqbpaMbqbFFxxGqABCbaa/2 a/2Mq46解題步驟與技巧解題步驟與技巧1. 解題步驟解題步驟 選研究對象選研究對象 畫受力圖（受力分析）畫受力圖（受力分析） 選坐標(biāo)、取矩心、列平衡方程選坐標(biāo)、取矩心、列平衡方程 求解未知數(shù)求解未知數(shù)2. 解題技巧與注意事項(xiàng)解題技巧與注意事項(xiàng) 選研究對象

37、應(yīng)能應(yīng)聯(lián)系已知力和未知力；選研究對象應(yīng)能應(yīng)聯(lián)系已知力和未知力； 不要漏掉固定端約束處的不要漏掉固定端約束處的約束力偶約束力偶； 選坐標(biāo)軸最好與未知力選坐標(biāo)軸最好與未知力或或，取矩心最好選在未知力，取矩心最好選在未知力 的匯交點(diǎn)上；的匯交點(diǎn)上； 充分發(fā)揮二力桿的直觀性；充分發(fā)揮二力桿的直觀性； 靈活使用合力矩定理；靈活使用合力矩定理； 力偶矩力偶矩M =常數(shù)，它對任一點(diǎn)之矩都相等。常數(shù)，它對任一點(diǎn)之矩都相等。47G2FAG1G3GFBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m例例11 一車載式起重機(jī)，車重一車載式起重機(jī)，車重G1=26kN，起重機(jī)伸臂重，起重機(jī)伸臂重G2=4.5 kN， 起重機(jī)

38、的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如圖所示。尺寸如圖所示。 設(shè)伸臂在起重機(jī)對稱面內(nèi)，且放在圖示位置。設(shè)伸臂在起重機(jī)對稱面內(nèi)，且放在圖示位置。 試求車子不致翻倒的最大起吊重量試求車子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。八、例題分析八、例題分析480) 2 8 . 1 (25 . 2) 3 5 . 2(12AFGGGGG2FAG1G3FBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m解：解：1. .取汽車及起重機(jī)為研究對象取汽車及起重機(jī)為研究對象2. .受力分析如圖受力分析如圖3. .選坐標(biāo)系，列平衡方程選坐標(biāo)系，列平衡方程 Fy= 0FA +FB G G1 G 2

39、 G3 = 0 MB(F)= 04. .聯(lián)立求解聯(lián)立求解GGGF5 .55 .228 .3121A5. .由不翻倒的條件：由不翻倒的條件：FA0得：得：kN 7.52.525 . 5121GGG 最大起吊重量為最大起吊重量為 Gmax= 7.5 kN49例例12 A，B，C，D處均為光滑鉸鏈，物塊重為處均為光滑鉸鏈，物塊重為G，通過繩子繞，通過繩子繞 過滑輪水平地連接于桿過滑輪水平地連接于桿AB的的E點(diǎn)，各構(gòu)件自重不計(jì)。點(diǎn)，各構(gòu)件自重不計(jì)。 試求試求B處的約束力。處的約束力。 50FBxFAyFAxFByFEFCxFCyGFAxFAy解：解：1. .取取整體整體為研究對象為研究對象受力分析如圖

40、受力分析如圖列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx + FBx FE = 0求解得：求解得： FAx= 2.5GFBx = 1.5G FBy= 2G MC(F)= 0 G5r FAx2r = 02. .取桿取桿AB為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖列平衡方程列平衡方程 MA(F)= 0FBx2r FBy2r FEr = 0聯(lián)立求解，得：聯(lián)立求解，得：51 求解得：求解得： 例例13 已知各桿均鉸接，已知各桿均鉸接，B端插入地內(nèi)，端插入地內(nèi)，F(xiàn)=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，各桿重不計(jì)。，各桿重不計(jì)。 求求B點(diǎn)的約束力？點(diǎn)的約束力？ AC 桿所受的力？桿所受的力？解：解

41、： 1. .取取整體整體為研究對象為研究對象受力分析如圖受力分析如圖選坐標(biāo)選坐標(biāo)如圖如圖，取矩心，取矩心B點(diǎn)，點(diǎn)，列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FBx = 0 Fy= 0 FBy F = 0 MB(F)= 0 MB FBy1= 0MB = 1000 Nm522. 再研究再研究CD桿桿受力如圖受力如圖取取E為矩心，列平衡方程為矩心，列平衡方程求解得：求解得：N14141707. 011000145sin1oCAFF ME(F)= 0FCAsin451 F1 = 053例例15 已知：連續(xù)梁上，已知：連續(xù)梁上，F(xiàn)=10kN，Q=50kN，CE 鉛垂，不計(jì)梁重鉛垂，不計(jì)梁重 求：求：A、B和和D

42、處的約束力。處的約束力。（看出未知數(shù)多余三個，不能先整 體求出，要拆開）解：解： 1. 研究起重機(jī)研究起重機(jī)畫受力圖畫受力圖列平衡方程列平衡方程 MH(F)= 0 FG2 Q 1F 5 = 0求解得：求解得： FG = 50 kN543. 再研究整體再研究整體2. 再研究梁再研究梁CD MC(F)= 0 FD6 FG 1 = 0 FD = 8.33 kN MA(F)= 0 FB3 + FD12 F10 Q6 = 0 FB = 100 kN Fy= 0 FAy +FB +FD F Q = 0 FAy = 48.33 kN55平面一般力系習(xí)題課平面一般力系習(xí)題課一、力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)一、力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ) 力 力+力偶 平衡; 0, 0OMR合力矩定理合力矩定理)()(1iniOOFmRm; 0, 0; 0, 0OOMRMR或合力（主矢）; 0, 0OMR合力偶（主矩） 二、平面一般力系的合成結(jié)果二、平面一般力系的合成結(jié)果本章小結(jié)：本章小結(jié)：56解解： 選整體研究 受力如圖 選坐標(biāo)、取矩點(diǎn)、Bxy,B點(diǎn) 列方程為: 解