2021版新高考數(shù)學(xué)一輪教師用書：第4章第5節(jié)第1課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公

1、第五節(jié)三角恒等變換考點(diǎn)要求1會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式2會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角 差的正弦、正切公式.3.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換（包括導(dǎo)出積 化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）.弈實(shí)基礎(chǔ)知識 課前自主回顧 掃除雙展盲點(diǎn)（對應(yīng)學(xué)生用書第77頁）:必備知識填充1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1) sin (a±) = sin acos 土 cos asin 0；(2) cos (a±) = cos acos 護(hù)sin as

2、in(3)tan (a±0) =tan a 土 Um 01 干tan atan B2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 2a = 2sin acos a；(2) cos 2a = cos%sin咕= 2cos'a 1 = 1 2sin'a；2t“n a(3 )tun2cc1 taira3輔助角公式a sina+Z? cos a=y/i芮孑sin (a+卩)(其中 sin(p=cos 0=丁訂產(chǎn))常用結(jié)論1-公式的常用變式tan a ± tan 0=tan (ad)(l+tan atan )；sin 2a=2sin acos a2辺取sin2a+co

3、s2a 1 +tan2<z，cos2a =cos2asin2tz 1 tan% cos%+sin% 1 + tan2a2 降幕公式1 cos2a3a l+cos2acosp=21sin acos a=in 2a.3升幕公式 1 +cos a = 2cos學(xué);1 cos a=2sin22；1 +sin a=1 sin a= sina廠cosI)24.半角正切公式a sin a1cosa2 1+cosa sin a:學(xué)情自測驗(yàn)收：一、思考辨析（正確的打 y 錯誤的打“x”）(1)存在實(shí)數(shù) a, 0,使等式 sin (a+0) = sin a+sin0 成立.()公式a sin x+b cos

4、 x=ycr+b2sn （x+（p）中卩的取值與方的值無關(guān).（）)（4）當(dāng)a是第一象限角時,(3)cos 0=2cos?一1 = 1 2sin(答案(1)7(2)X(3)V(4)X二、教材改編B.1.已知cosa=|, a是第三象限角,則cos （扌+"為（10D.7210A / cos aa是第三象限角,/ sin a= 1 cos2a =需.故選A.2. sin 347° cos 148° + sin 77° cos 58° =sin 347° cos 148° +sin 77° cos 58° =s

5、in (270° +77° )cos (90° +58° ) + sin77° cos 58°= (-cos 77° )-(-sin 58° )+sin77° cos 58°=sin 58° cos 77° +cos 58° sin 77°=sin(58。+77。)=sin 135。尋.3. 計(jì)算：sin 108° cos 42° 一cos 72° sin 42° =5 原式=sin (180° -72&#

6、176; )cos 42° -cos 72° sin 42° = sin 72° cos 42° -cos 72° sin 42° =sin (72° -42° ) = sin 30°4. tan 20： +tan 40° + 羽km 20" tan 40° =Vtan 60°= tan (20° +40° )=tan 20° +tan 40°1 tan 20° tan 40°/.tan 20&#

7、176; +tan 40° =tan 60° (1 tan 20° tan 40° )=邁一羽km 20° tan 40° ,原式=邁一羽tan 20° tan 40° + 羽tan 20° tan 40° =>/§.5. 若 tan o = y tan(a+0)=*,貝lj tan.丄_丄1c，門tan (a+0) tan a 2317 tan=tan K«+-«!=1+tantantt = Tj=7-11+2X3第1課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二

8、倍角公式總結(jié)?？伎键c(diǎn) 課堂考點(diǎn)探究破和考酒（對應(yīng)學(xué)生用書第78頁）考點(diǎn)1公式的直接應(yīng)用 齣法（1）使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.（2）使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.賂典題 1.（2019-全國卷【I）已知 aW（0,號），2sin 2a=cos 2a+1,則 sin a=（）a4b-習(xí)C普D普B 由二倍角公式可知4sin acos cc=2cos2aVczG(0,號)，/.cos a#=0,1Js/ 2sin a=cos a, / tanA sin a=*故選 B.2.已知sin a35J7u), Um (兀一0) = 3，則 tan (aP)

9、的值為()a_h11CT11D. -yIT3A VaE(-, ji)9 A tan a=小 tan atan B1 +tan atan:.tan (a-/3) =4十 2 21+ (-5) x (_)3. (2019太原模擬)若aG(0,號),m兀1 廠1 i7T且 sin(a_g)=亍,則 cos (ap =則 cos (a&)=p則 cos (a)=cos【(a&)gK 71 .n K、I 、sinllO0 sin 20° sin70° sin 20°cos2155° sin2155°cos 310°IE點(diǎn)評 兩角

10、和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用a, 0的三角函數(shù)表示cd涉的 三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與 角轉(zhuǎn)換的目的.考點(diǎn)2公式的逆用與變形用島通法公式的一些常用變形(l) sin asin 0+cos (a+0) = cos acos 卩；(2) cos asin 0+sin (a0) = sin acos 0；(3) 1 土sin a = (sin 號土cos血 2a = sin2a+cos2«=tan2a+l;2sin acos a 2tana(6)tana±tan =tan (l+tan tztan

11、)；(7)a sin a+b cos a=ya-b2sin考向1公式的逆用（1）化簡sin 10°1 羽 tan 10°(2)在中，若 tanA tan = tanA+tanB+h 則 cos C=-oo1n 1soonn 1s214-n 1s V32-4ootan A + tan B(2)由 tan A tan B=tan A+tan B+ 1 可得 1_tanAtanB= 一 1，即 tan(A+B)=-l,又 4+3W(0, tt), 所以 A+B=y,則 C=扌,cosC=¥.IS點(diǎn)評（l）逆用公式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式，同

12、時，要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系.(2)tan atan0, tan a+tan0(或 tan atan卩)、tan (a+)(或 tan (a_0)三者中可以知二求一,且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題.(3)重視 sin <zcos0, cos asin0, cos <zcos0, sin asin0 的整體應(yīng)用.者向2公式的變形用sin235° -*勵典例化簡如（T 5(2)化簡 sin2(ag)4-sin2(a+)sin2a 的結(jié)果是? o 1 1-COS 70°11 oIsirr35 ?亍 一cos70(1)1(2)5(1)cosl0

13、76; cos 80° =cos 10° sin 10° = 1 -sin 20f 71、.71、1cos (2a亍)1 cos (2a+亍)(2)原式=F5：sin2a= 1-彳)sir?a717=1 cos2<z cos 亍一sinpcos2a 1 cos 2a 1=1 一22 =2JIS點(diǎn)評 注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)2, 1,乎，羽等這些數(shù)值時，一定要考慮引入特殊角,把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式.E5典題 1 設(shè) a=cos50° cos 127° +cos 40° cos 37° , b=56°

14、; cos 56° ), c=呂幣，則b, c的大小關(guān)系是（）A.a>b>cB b>a>cC.c>a>bD. a>c>bD 由兩角和與差的正.余弦公式及誘導(dǎo)公式，可得t/=cos50° cos 127° +cos 40° cos 37°& cos 50° cos 127° +sin 50° sin 127° =cos (50° -127° )=cos(-77° )=cos 77° =sin 13° 、

15、b=(sin 56° cos 56° )=sin 56° cos 56° =sin (56° 45° ) = sin 110 ,l-tan239°C 1 +tan239°sin239°1cos239°.兀=cos39° sirr39° =cos78c =sin 12° 因?yàn)楹瘮?shù) y=sinx, xE0,寸為增函數(shù)，所以 1 ""cos239°sin 13° >sin 12° >sin 11° ,

16、所以 a>c>b.2題多解沖cos 15° -4sin215° cos!5° =()1-2A返2B.C.lD. 2D 法一:羽cos 15° 4sin215° cos 15° =/3cos 15° 2sin 15° 2sin 15° cos 15° =/3cos 15° -2sin 15° sin 30° =a/5cos 15° -sin 15° =2cos(15° +30° ) = 2cos 45° =

17、©故選 D cos 15° =y/3法二：因?yàn)?cos 15° =心sin 15。=心；也,所以羽cos 15° -4sin215°X沖4X（時）嘆沖L沖X（羽-2+羽尸呼X（2羽-2）=邁.故選D.3已知 a+0=£ 則(1 + tan a)(l+tan)=(1 +tan a)(l +tan 0) = tan a+tan +tan atan #+ 1=tan (a+")(1 tan atan 0) + tan atari + 1=1 tan atan 0+tan atan 0+1=2J21 -21 一2?-設(shè) cos as

18、in 0=A +得 sin acos 0+cos asin 0=*+/,即 sin (a+0) = g+f,得 sin acos 0cos asin 0=*/, 即 sin (a_0) = g_f.*/ 1 Wsin (a土卩)W1,考點(diǎn)3公式的靈活運(yùn)用融法 三角公式應(yīng)用中變“角”與變“名”問題的解題思路(1) 角的變換：發(fā)現(xiàn)各個角之間的關(guān)系：拆角、湊角、互余、倍半、互利(包括非特殊角與特殊角、 已知角與未知角)，熟悉角的變換技巧及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化，如：2a=(a+0)+(aQ, a = (a+厲 0=(a0)+0, 40° =60° -20° ,(彳+卜a)

19、=?, f=2Xj等.(2) 名的變換：明確各個三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余 弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦.考向I三角公式中角的變換觀典例(1)設(shè)a, 都是銳角，且cosa=習(xí),sin (a+)=|,則cos/3=.(2)已知 cos (75° +a)=|,則 cos (30° 2a)的值為.(1)號尊(2# 依題意得 sin a=yj 1 cos2a=r,3因?yàn)?sin(a+)=Vsin a 且 a+0>a.于是 cos0=cos (a+Qaji4所以7i),所以 cos(a+0) = §= _4xa/5 + 3x

20、2a/5 = 2555525 (2)cos (75° +a) = sin (15° a)=g,27所以 cos (30° 2a) = 1 2sin2(15° a)= 1 §=§IS點(diǎn)評(l)解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示.當(dāng)“已知角” 有兩個時，''所求角” 一般表示為兩個'已知角”的和或差的形式；當(dāng)'已知角”有一個時，此時 應(yīng)著眼于'所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系.(2)常見的配角技巧：2a = (a+0) + (a0), a=(a+0)0,» a=空

21、尹+生尹，“= (a+§_(+")等.»考向2三角公式中名的變換(1 +sin0+cos 0) (sin cos 懇)( (解由0丘(0,兀)，得0 VV J A cos >0,/-/2 + 2cos=A /4cos22 = 2cos .又(1+sin 0+cos 0)(sin 一cos )3 . $ = 2cos 亍(sin牙一=2coscos 0.故原式=2cos cos 0= COS 02cos 22cos210°原式= 2X2sinlO°.。cos 5° sin 5 °cos 10° sin 10($山 5。 cos 5°cos 10°2sin 10°sin 10°cos25° sin25°sin5° cos 5°cos 10°2sin 10°-sin 10°cos 10°ysin 10°cos 10°2sin 10