最新華東師大初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)實(shí)際問題與一元一次方程(一)(提高)知識(shí)講解(共6頁)

1、實(shí)際問題與一元一次方程（一）（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握分析解決實(shí)際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題方程解答由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答 要點(diǎn)詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一

2、；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚知識(shí)點(diǎn)二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型（待續(xù)）1和、差、倍、分問題 （1）基本量及關(guān)系：增長量原有量×增長率，現(xiàn)有量原有量+增長量，現(xiàn)有量原有量-降低量（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等2行程問題 （1）三個(gè)基本量間的關(guān)系： 路程=速度×時(shí)間 （2）基本類型有： 相遇問題（或相向問題）：基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間 尋找相

3、等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程兩地距離追及問題：基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間尋找相等關(guān)系：第一， 同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程追者走的路程；第二， 第二，同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離追者走的路程航行問題：基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度水流速度，順?biāo)俣饶嫠俣?×水速；尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析3工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1基本關(guān)系式：（1）總工作

4、量=工作效率×工作時(shí)間；（2）總工作量=各單位工作量之和4調(diào)配問題 尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮【典型例題】類型一、和差倍分問題1旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案與解析】解：設(shè)油箱里原有汽油x公斤，由題意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% .解得：x=10. 答：油箱里原有汽油10公斤.【總結(jié)升華】等量關(guān)系為：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 舉一反三：【變式】某班

5、舉辦了一次集郵展覽，展出的郵票若平均每人3張則多24張，若平均每人4張則少26張，這個(gè)班有多少學(xué)生?一共展出了多少張郵票?【答案】解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得： 3x+244x-26 解得：x50. 所以3x+243×50+24174（張）. 答：這個(gè)班有50名學(xué)生，一共展出了174張郵票類型二、行程問題1.車過橋問題2. 某橋長1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個(gè)火車在橋上的時(shí)間是30s，求火車的長度和速度【思路點(diǎn)撥】正確理解火車“完全過橋”和“完全在橋上”的不同含義【答案與解析】解：設(shè)火車車身長為xm，根據(jù)題意，得：，解

6、得：x300， 所以答：火車的長度是300m，車速是30m/s【總結(jié)升華】火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點(diǎn)表示火車頭)： (1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時(shí)火車走的路程是橋長+車長(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時(shí)火車走的路程是橋長車長由于火車是勻速行駛的，所以等量關(guān)系是火車從上橋到完全過橋的速度整個(gè)火車在橋上的速度 舉一反三：【變式】某要塞有步兵692人，每4人一橫排，各排相距1米向前行走，每分鐘走86米，通過長86米的橋，從第一排上橋到排尾離橋需要幾分鐘？【答案】 解：設(shè)從第一排上橋到排尾離橋需要x分鐘，列方程得：，解得：x3

7、答：從第一排上橋到排尾離橋需要3分鐘2.相遇問題（相向問題） 3（2016云南模擬）昆曲高速公路全長128千米，甲、乙兩車同時(shí)從昆明、曲靖兩地高速路收費(fèi)站相向勻速開出，經(jīng)過40分鐘相遇，甲車比乙車每小時(shí)多行駛20千米求甲、乙兩車的速度【思路點(diǎn)撥】設(shè)出乙車速度，進(jìn)而表示出甲車速度，再根據(jù)相遇問題，兩車行駛的路程之和為128千米列出方程，解方程求出x的值即可【答案與解析】解：40分鐘=小時(shí)，設(shè)乙車速度為x千米/時(shí)，甲車速度為（x+20）千米/時(shí)，根據(jù)題意，得（x+x+20）=128，解得x=86，則甲車速度為：x+20=86+20=106答：甲車速度為106千米/時(shí)，乙車速度為86千米/時(shí)【總結(jié)升

8、華】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)路程=速度×時(shí)間公式列出一元一次方程，此題難度不大舉一反三：【高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程(一)388410二次相遇問題】【變式】甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩站同時(shí)開出，相向而行，途中相遇后繼續(xù)沿原路線行駛，在分別到達(dá)對(duì)方車站后立即返回，兩車第二次相遇時(shí)距A站34km，已知甲車的速度是70km/h，乙車的速度是52km/h，求A、B兩站間的距離.【答案】解：設(shè)A、B兩站間的距離為x km，由題意得： 解得：x=122答： A、B兩站間的距離為122km.3.追及問題（同向問題）4一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)2小時(shí)后，一

9、輛轎車從甲地去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度每小時(shí)快30千米，但轎車行駛一小時(shí)后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了，結(jié)果又用兩小時(shí)才追上這輛卡車，求卡車的速度【答案與解析】解：設(shè)卡車的速度為x千米/時(shí)，由題意得： 解得：x=24 答：卡車的速度為24千米/時(shí)【總結(jié)升華】采用“線示”分析法，畫出示意圖利用轎車行駛的總路程等于卡車行駛的總路程來列方程，理清兩車行駛的速度與時(shí)間4.航行問題（順逆流問題）5盛夏，某校組織長江夜游，在流速為2.5千米/時(shí)的航段，從A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小時(shí)已知A、C兩地相距10千米，船在靜水中的速度為7.5千

10、米/時(shí)，求A、B兩地間的距離【思路點(diǎn)撥】由于C的位置不確定，要分類討論：（1）C地在A、B之間；（2）C地在A地上游【答案與解析】解：設(shè)A、B兩地間的距離為x千米 (1)當(dāng)C地在A、B兩地之間時(shí)，依題意得： 解這個(gè)方程得：x20 (2)當(dāng)C地在A地上游時(shí)，依題意得： 解這個(gè)方程得： 答：A、B兩地間的距離為20千米或千米【總結(jié)升華】這是航行問題，本題需分類討論，采用“線示”分析法畫出示意圖(如下圖所示)，然后利用“共乘”4小時(shí)構(gòu)建方程求解類似地，當(dāng)物體在空中飛翔時(shí)，常會(huì)遇到順風(fēng)逆風(fēng)問題，解題思路類似順逆流問題5.環(huán)形問題6（2015春海南校級(jí)月考）甲、乙兩人在400米長的環(huán)形跑道上跑步，甲分鐘

11、跑240米，乙每分鐘跑200米，二人同時(shí)同地同向出發(fā)，幾分鐘后二人相遇？若背向跑，幾分鐘后相遇？【思路點(diǎn)撥】在環(huán)形跑道上兩人同向而行相遇屬于追及問題，等量關(guān)系為：甲路程乙路程=400，兩人背向而行屬于相遇問題，等量關(guān)系為：甲路程+乙路程=400【答案與解析】解：設(shè)二人同時(shí)同地同向出發(fā)，x分鐘后二人相遇，則：240x200x=400，解得：x=10設(shè)兩人背向而行，y分鐘后相遇，則：240y+200y=400，解得：y=答：二人同時(shí)同地同向出發(fā)，10分鐘后二人相遇；若背向跑，分鐘后相遇【總結(jié)升華】本題考查環(huán)形跑道上的相遇問題和追及問題相遇問題常用的等量關(guān)系為：甲路程+乙路程=環(huán)形跑道的長度，追及問

12、題常用的等量關(guān)系為：甲路程乙路程=環(huán)形跑道的長度舉一反三：【變式】兩人沿著邊長為90m的正方形行走，按ABCDA方向，甲從A以65m/min的速度，乙從B以72m/min的速度行走，如圖所示，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，在正方形的哪一條邊上?【答案】解：設(shè)乙追上甲用了x分鐘，則有： 72x-65x3×90 (m) 答：乙第一次追上甲時(shí)走了2777 m，此時(shí)乙在AD邊上類型三、工程問題7一個(gè)蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)丙排水管，單獨(dú)開甲管6小時(shí)可注滿水池；單獨(dú)開乙管8小時(shí)可注滿水池，單獨(dú)開丙管9小時(shí)可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時(shí)開放2小時(shí)，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時(shí)可注滿水池?【答

13、案與解析】解：設(shè)再過x小時(shí)可把水注滿由題意得：解得：答：打開丙管后小時(shí)可把水放滿【總結(jié)升華】相等關(guān)系：甲、乙開2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1舉一反三：【變式】（2015春沙坪壩區(qū)期末）一件工作，甲單獨(dú)做15小時(shí)完成，乙單獨(dú)做10小時(shí)完成，甲先單獨(dú)做9小時(shí)，后因甲有其他任務(wù)調(diào)離，余下的任務(wù)由乙單獨(dú)完成，那么乙還要多少小時(shí)完成？【答案】解：設(shè)乙還要x小時(shí)完成，根據(jù)題意得：，解得：x=4答：余下的任務(wù)由乙單獨(dú)完成，那么乙還要4小時(shí)完成類型四、配套問題（比例問題、勞動(dòng)力調(diào)配問題）8某工程隊(duì)每天安排120個(gè)工人修建水庫，平均每天每個(gè)工人能挖土5 m3或運(yùn)土3 m3，為了使挖出的土及時(shí)被運(yùn)走，問：應(yīng)如何安排挖土和運(yùn)土的工人?【答案與解析】解：設(shè)安排x人挖土，則運(yùn)土的有(120-x)人，依題意得：5x3(120-x) 解得x45 120-4575(人)答：應(yīng)安排45人挖土，75人運(yùn)土【總結(jié)升華】用同一未知數(shù)表示挖土數(shù)與運(yùn)土數(shù)，等量關(guān)系：挖土與運(yùn)土的總立方米數(shù)應(yīng)相等舉一反三：【高清課堂：實(shí)際問題與一元一次方程(一) 388410 配制問題】【變式】某商店選用