線性代數(shù) 行列式的定義PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué) Linear Algebra 線 性 代 數(shù) 謝 松 法 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 第1頁/共38頁一、一、教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 線性代數(shù)是工科各專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)理論課，線性代數(shù)是工科各專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)理論課， 線性代數(shù)的主要內(nèi)容包括：行列式、矩陣、向量代數(shù)、線性代數(shù)的主要內(nèi)容包括：行列式、矩陣、向量代數(shù)、 是工科是工科 線性代數(shù)在工程技術(shù)、科學(xué)研究線性代數(shù)在工程技術(shù)、科學(xué)研究 本課堂僅介紹前六個方面的內(nèi)容，且其中本課堂僅介紹前六個方面的內(nèi)容，且其中帶帶 “*” 號號 學(xué)習(xí)線性代數(shù)的難點在于學(xué)習(xí)線性代數(shù)的難點在于“入門入門”，即如何盡快地去理解，即如何盡快地去理解 和適應(yīng)它所引入的和

2、適應(yīng)它所引入的新的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)工具新的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)工具。 數(shù)學(xué)教學(xué)的主要課程之一。數(shù)學(xué)教學(xué)的主要課程之一。 和各行各業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用。和各行各業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用。 線性方程組、特征值與特征向量、二次型、線性空間與線性線性方程組、特征值與特征向量、二次型、線性空間與線性 變換等變換等。 的內(nèi)容不需要掌握。的內(nèi)容不需要掌握。 第2頁/共38頁二、教學(xué)及考核方式二、教學(xué)及考核方式考試方式：考試方式： 閉卷閉卷作業(yè)：作業(yè)： 每周一次每周一次主要參考書（略）主要參考書（略）答疑：答疑： 每周一次每周一次課堂教學(xué)：課堂教學(xué)： 40 學(xué)時學(xué)時考試成績：考試成績： 作業(yè)占作業(yè)占 20%，考試占，考試占8

3、0%( (練習(xí)冊練習(xí)冊) )第3頁/共38頁第一章第一章 行列式行列式1.2 行列式的性質(zhì)與計算行列式的性質(zhì)與計算1.3 克萊姆克萊姆 (Cramer) 法則法則1.1 行列式的定義行列式的定義第4頁/共38頁1.1 行列式的定義行列式的定義一、一、二階與三階行列式二階與三階行列式二、二、n 階行列式階行列式第5頁/共38頁利用消元法求解二元線性方程組利用消元法求解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa)1()2(,2212221212211abxaaxaa ,1222221212112abxaaxaa 一、一、二階與三階行列式二階與三階行列式;)(2122211

4、21122211baabxaaaa 行列式的引入來源于求解線性方程組，行列式的引入來源于求解線性方程組，求解是數(shù)學(xué)與工程中最基本的問題之一。求解是數(shù)學(xué)與工程中最基本的問題之一。而線性方程組的而線性方程組的12)2(a 得得22)1(a 得得兩式相減消去兩式相減消去 得得,2x引例引例 P 1 第6頁/共38頁.)(211211221122211abbaxaaaa 方程組的解為方程組的解為兩式相減消去兩式相減消去 得得;)(212221121122211baabxaaaa ,2x類似地，消去類似地，消去 得得,1x當(dāng)當(dāng) 時，時，021122211 aaaa由此引入二階行列式的定義由此引入二階行列

5、式的定義第7頁/共38頁22211211aaaa稱下式為稱下式為二階行列式二階行列式 .2112221122211211aaaaaaaaD 定義定義 對角線法對角線法副對角線副對角線主對角線主對角線2211aa .2112aa 一、一、二階與三階行列式二階與三階行列式1. 二階行列式二階行列式 P 2 第8頁/共38頁 利用二階行列式求解二元線性方程組利用二階行列式求解二元線性方程組對于二元線性方程組對于二元線性方程組,22221211212111 bxaxabxaxa當(dāng)當(dāng) 時，時，021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為211222112122211aaaabaabx 21122

6、2112112112aaaaabbax ,2221211ababD .2211112babaD 其中其中,22211211aaaaD ,1DD 記記,2DD 記記問題問題當(dāng)當(dāng) 時，時，021122211 aaaa方程組的解會怎么樣？方程組的解會怎么樣？ P 2 第9頁/共38頁,010212 ,2 43 22 1 D,7 31 23 2 DDDx11 ,51102 DDx22 .107 41 23 D解解例例 . 34, 2232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組( (惟一解惟一解) )第10頁/共38頁,01212 ,0 44 22 1 D,0 46 23 2 DDDx11

7、,?00 DDx22 46 23 D解解例例 .446,2232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組( (無窮多解無窮多解 ? ) ) .?00 第11頁/共38頁,01212 ,4 46 22 1 D,6 66 23 2 DDDx11 ,?04 DDx22 46 23 D解解例例 .646,2232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組( (無解無解 ? ) ) .?06 第12頁/共38頁2. 三階行列式三階行列式一、一、二階與三階行列式二階與三階行列式1. 二階行列式二階行列式利用消元法求解三元線性方程組利用消元法求解三元線性方程組,11DxD 逐步消去逐步消去

8、 可得可得32, xx引例引例其中其中322113312312332211aaaaaaaaaD ,312213332112322311aaaaaaaaa 3221332312332211ababaaaabD .322133321232231baaabaaab 由此引入三階行列式的定義由此引入三階行列式的定義補補 第13頁/共38頁333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 稱下式為稱下式為三階行列式三階行列式 定義定義.312213332112322311aaaaaaaaa 2. 三階行列式三階行列式一、一、二階與三階行列式

9、二階與三階行列式1. 二階行列式二階行列式問題問題三階行列式有何計算規(guī)律？它與二階行列式如何統(tǒng)一？三階行列式有何計算規(guī)律？它與二階行列式如何統(tǒng)一？補補 第14頁/共38頁333231232221131211aaaaaaaaaD (1) 對角線法對角線法332211aaa312312aaa 322113aaa 312213aaa 332112aaa .322311aaa D 三階行列式計算規(guī)律的三階行列式計算規(guī)律的探討探討 ?補補 第15頁/共38頁333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaa

10、a (2) 沙路法沙路法 三階行列式計算規(guī)律的三階行列式計算規(guī)律的探討探討 ?322113312312332211aaaaaaaaa D 補補 第16頁/共38頁(3) 排列法排列法 333231232221131211aaaaaaaaaD 三階行列式共有三階行列式共有 6 項，即項，即 3! 項項每項都是位于每項都是位于不同行不同行不同列不同列的三個元素的乘積的三個元素的乘積.)1(321321321321)( jjjjjjjjjaaa 為排列為排列 的的逆序數(shù)逆序數(shù) (?)(321jjj 321jjj為自然數(shù)為自然數(shù) 的一個排列的一個排列;3, 21，321jjj其中其中322113312

11、312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 三階行列式計算規(guī)律的三階行列式計算規(guī)律的探討探討 ?補補 第17頁/共38頁(4) 遞推法遞推法 三階行列式計算規(guī)律的三階行列式計算規(guī)律的探討探討 ?利用已定義的二階行列式來計算三階行列式，利用已定義的二階行列式來計算三階行列式，即即333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 3332232211aaaaa 3331232112aaaaa .3231222113aaaaa

12、補補 第18頁/共38頁 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 .243122421 D計算三階行列式計算三階行列式例例按對角線法則，有按對角線法則，有解解第19頁/共38頁1229184322 xxxxD, 652 xx方程左端為方程左端為解解例例.094321112 xx求解方程求解方程由由 解得解得0652 xx.3 x2 x或或第20頁/共38頁 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組對于三元線性方程組對于三元線性方程組,3332323222131211aabaabaabD ,33231222211

13、12113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD 則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為,11DDx ,22DDx .33DDx ,333231232221131211aaaaaaaaaD 令令補補 第21頁/共38頁,8 . 1, 235, 142321321321xxxxxxxxx求解線性方程組求解線性方程組例例解解1 1 13 5 11 4 2 D1113521411 D,11 1113211122 D,9 1112511423 D,6 ,81111 DDx故方程組的解為故方程組的解為,8922 DDx.8633 DDx第22頁/共38頁由題意

14、得由題意得求一個二次多項式求一個二次多項式 使使.28)3(,3)2(,0)1( fff, )(xf例例,)(2cbxaxxf 設(shè)所求的二次多項式為設(shè)所求的二次多項式為解解 ,2839,324,0cbacbacba,20,60,40321 DDD,32 DDb.13 DDc.132)(2 xxxf故所求多項式為故所求多項式為,020 D由由,21 DDa有有第23頁/共38頁二二、n 階行列式階行列式前面從二元與三元線性方程組的求解問題出發(fā)，分別前面從二元與三元線性方程組的求解問題出發(fā)，分別 引出了二階與三階行列式的概念，引出了二階與三階行列式的概念， 那么，這些行列式的概念以及線性方程組的求

15、解方法那么，這些行列式的概念以及線性方程組的求解方法 階行列式求解二元與三元線性方程組的方法。階行列式求解二元與三元線性方程組的方法。 能否推廣并應(yīng)用到能否推廣并應(yīng)用到 n 元線性方程組的求解問題呢？元線性方程組的求解問題呢？ 在對三階行列式的計算所探討的幾種規(guī)律中，到底哪一種在對三階行列式的計算所探討的幾種規(guī)律中，到底哪一種 更具有一般性呢？更具有一般性呢？ 并給出了利用二階與三并給出了利用二階與三 特別是特別是 P 2 第24頁/共38頁二二、n 階行列式階行列式經(jīng)過前人不懈的努力，終于摸索出了統(tǒng)一的規(guī)律。經(jīng)過前人不懈的努力，終于摸索出了統(tǒng)一的規(guī)律。本課堂將采用遞推法來定義一般的行列式，本

16、課堂將采用遞推法來定義一般的行列式，避開諸如排列、逆序等一些概念。避開諸如排列、逆序等一些概念。人們發(fā)現(xiàn)前面提到的人們發(fā)現(xiàn)前面提到的對角線法對角線法與與沙路法沙路法并不適合一般并不適合一般 的情形，的情形， 還是對排列法有所了解。還是對排列法有所了解。而而排列法排列法與與遞推法遞推法才是真正可以推廣的方法。才是真正可以推廣的方法。 其目的是其目的是不過有興趣的同學(xué)最好不過有興趣的同學(xué)最好 P 2 第25頁/共38頁并按照特定的運算法則對應(yīng)到并按照特定的運算法則對應(yīng)到二二、n 階行列式階行列式1. 余子式和代數(shù)余子式余子式和代數(shù)余子式.2121222221111211nnjnnnnijiiinj

17、njaaaaaaaaaaaaaaaaD 把元素把元素 ai j 所在的所在的第第 i 行行和和第第 j 列列劃去后，劃去后，(n 1) 列元素組成列元素組成 (n 1) 階行列式，階行列式，剩下的剩下的 (n 1) 行行即：即：將將 個數(shù)排成個數(shù)排成 n 行行 n 列列, nn 一個數(shù)，一個數(shù)，（?）稱之為稱之為 n 階行列式階行列式，記為記為 P 3 第26頁/共38頁nnjnjnnijijiijijijiinjjjiaaaaaaaaaaaaaaaaM1,1, 11, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 111, 11, 111 二二、n 階行列式階行列式1. 余子式和

18、代數(shù)余子式余子式和代數(shù)余子式稱稱 Ai j 為元素為元素 ai j 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 .稱稱 Mi j 為元素為元素 ai j 的的余子式余子式 .定義定義，jijijiMA )1(記記 P 3 第27頁/共38頁,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 設(shè)行列式設(shè)行列式例如例如233223)1(MA 23M 44424134323114121123aaaaaaaaaM 則則為元素為元素 a23 的余子式，的余子式，為元素為元素 a23 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 .注意注意無論是行列式還是余子式，其結(jié)果都是無論是行列式還是余子

19、式，其結(jié)果都是“數(shù)數(shù)”.那么它們到底以什么樣的那么它們到底以什么樣的運算法則運算法則得到一個數(shù)呢？得到一個數(shù)呢？第28頁/共38頁二、二、n 階行列式階行列式1. 余子式和代數(shù)余子式余子式和代數(shù)余子式2. 行列式的遞推定義行列式的遞推定義定義定義稱下式為稱下式為 n 階行列式階行列式 當(dāng)當(dāng) 時，時，1 n當(dāng)當(dāng) 時時. .1 n其中其中 為為 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 . .1iA1ia ,11a,1121211111nnAaAaAa P 3定義定義1.1第29頁/共38頁4009302008 40010522007 93010522006 4321 08 )32(2)1(6 02)1(7 .4

20、8 計算行列式計算行列式例例.40069307105282001 D40093010521 D解解第30頁/共38頁定理定理nnjnnnnjnjaaaaaaaaaaaaD21222221111211 其中其中 為為 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 . .jiAjia對于任意的對于任意的 j , )1(nj 都有都有 稱此計算方式為稱此計算方式為將行列式按第將行列式按第 j 列展開列展開 . .當(dāng)當(dāng) 時，時，1 n當(dāng)當(dāng) 時時. .1 n ,11a,2211jnjnjjjjAaAaAa 將行列式按任意列展開將行列式按任意列展開 證明證明(略略)P 5定理定理1.1第31頁/共38頁計算行列式計算行列式207715303 D例例.27 解解按第二列展開，得按第二列展開，得 )1()1(22D2733 第32頁/共38頁4069372