卡爾曼濾波技術(shù)

1、AOO1QWUH2題目 課程 學院 班級 姓名 學號年 月 日卡爾曼濾波技術(shù)摘要：卡爾曼濾波在信號處理與系統(tǒng)控制領(lǐng)域應用廣泛，U前，正越來越廣泛 地應用于計算機應用的各個領(lǐng)域。為了更好地理解卡爾曼濾波的原理與進行濾波 算法的設計工作，主要從兩方面對卡爾曼濾波進行闡述：基本卡爾曼濾波系統(tǒng)模 型、濾波模型的建立以及非線性卡爾曼濾波的線性化。介紹了卡爾曼濾波器設計 的一般步驟，最后對卡爾曼濾波的應用做了簡單介紹。關(guān)鍵詞：卡爾曼濾波；系統(tǒng)模型；線性化1卡爾曼濾波研究背景濾波是一類統(tǒng)計估訃向題，它的產(chǎn)生是因為實際的需要。人們?yōu)榱肆私庀到y(tǒng) 的狀態(tài)，對系統(tǒng)進行觀察，得到一系列數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)一般都帶有干擾噪聲

2、。把 噪聲過濾掉，對系統(tǒng)狀態(tài)給出定量的估訃，這樣的工作稱為濾波。1960年，卡爾曼卡爾曼引進狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)動態(tài)模型，對隨機序列提 出了無偏最小方差遞推濾波算法：宀，這就是我們今天稱之為卡爾曼濾波的方法。 卡爾曼濾波應用廣泛且功能強大，它可以佔計信號的過去和當前狀態(tài)，其至能估 計將來的狀態(tài)，即使并不知道模型的確切性質(zhì)。1961年卡爾曼和布西乂把這一結(jié)果推廣到連續(xù)隨機過程，并對系統(tǒng)的可控 性、可觀測性、穩(wěn)定性分析、誤差分析、靈敬度分析都進行了討論，卡爾曼濾波 器本質(zhì)上是最小二乘法和維納一一柯爾莫哥洛夫濾波器的發(fā)展和推廣，隨機序列 卡爾曼濾波實際上就是高斯估訃遞推形式，而定常系統(tǒng)平穩(wěn)卡爾曼濾波就

3、是多維 維納濾波，所不同的是，卡爾曼濾波引進了狀態(tài)空間法，得到了佔計遞推算法， 而且得到了估訃誤差協(xié)方差的遞推算法:7。這類遞推算法實時性強，存貯量小， 估訃性能好?？柭鼮V波對非常廣泛的系統(tǒng)都有適應能力（例如多維、非平穩(wěn)等 等），六十年代后，蓬勃發(fā)展的航空空間事業(yè)，軍事技術(shù)和工業(yè)技術(shù)，正需要這 種理論解決一系列困難的問題。實現(xiàn)卡爾曼濾波器的先決條件之一是數(shù)字訃算機。 六十年代后，計算機技術(shù)不斷發(fā)展，提供了卡爾曼濾波的必要設備。需要的增長， 理論的出現(xiàn)，設備的保證，使卡爾曼濾波技術(shù)受到很大重視。并廣泛應用到各個 領(lǐng)域?？柭鼮V波技術(shù)本身也有了很大發(fā)展。本質(zhì)上來講，濾波就是一個信號處理與變換（去

4、除或減弱不想要的成分，增 強所需成分）的過程，這個過程既可以通過硬件來實現(xiàn)，也可以通過軟件來實現(xiàn)。 卡爾曼濾波屬于一種軟件濾波方法，其基本思想是：以最小均方誤差為最佳估計 準則，釆用信號與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時刻的估計值和當前時刻的觀 測值來更新對狀態(tài)變量的估計，求出當前時刻的佔計值，算法根據(jù)建立的系統(tǒng)方 程和觀測方程對需要處理的信號做出滿足最小均方誤差的估訃。2卡爾曼濾波器的方法和特點我們從一個雷達跟蹤飛機的簡單例子出發(fā)，介紹卡爾曼濾波技術(shù)的方法和特點“。設飛行體在空間作等加速度飛行，用x(t), f(T), X(t)分別表示飛行體 在t時刻的位置、速度和加速度?，F(xiàn)在只考慮X(t)在

5、一個序列采樣時間t0 < ti < -< tfc <上的數(shù)值，并設：4+1 ® = At (i = 0 1, -, k,令X(k) = X(tfc),于是有：X(k) = X(k -1)+ X(k - 1) + 一 l)At2X(k) = X(k -1)+ X(k 一 l)AtX(fc) = X(k - 1)用矢量符號：/X(t)x& = xm把上式寫成狀態(tài)方程為：x(t) = 0(fc, k - 1) X(k - 1)其中：At At2 1 乂 0 1/如果考慮大氣擾動的影響，飛機運動實際上不是嚴格的等加速度運動，而是帶有 某種干擾，則狀態(tài)方程成了：

6、x(t) = 0(k, k-l)-X(k-l) + UZ(k-l)其中，W(/c - 1)是干擾噪聲序列。假如我們用雷達跟蹤飛機位置，在采樣時刻S的序列上進行測量，得到帶有 隨機量測噪聲的量測值序列Z(S)= Z(k),而Z(k)和狀態(tài)X(/c)有如下關(guān)系：Z(/c) = H X(k) + V(k)其中，H= (100), V(k)是測量方式所確左的噪聲序列。我們要通過一串帶有噪聲的軌線量測值Z(k)來估計飛機的狀態(tài)X(k)o 這是一個很典型的濾波問題。在一般離散線性系統(tǒng)里，系統(tǒng)模型如下：X（k） = 0（匕 k - l）X（k - 1） + r（k - l）Vtz（k - 1）Z(k) =

7、H X(/c) + V(k)這里，X(k)是?i維狀態(tài)向量，Z(Q是m維觀測向量，“伙)是S維隨機輸入白 噪聲向量，均值為0,方差為Q(k),即：EVK(k) = 0EWk)WT(j)= Qk)8kj這里U(k)是m維測量口噪聲向量，均值為0,方差為R(k),即：EU(") = 0E卩伙)"(/) = Rgkj注意，5燈是克朗內(nèi)克函數(shù)，“的、*")、X(0)互不相關(guān)。0(4 * 1)、H(k)、r(k - 1)分別是nxm. mxn. nxS維矩陣?？柭鼮V波就是在上述 統(tǒng)汁假設前提下，用一整套遞推線性濾波公式，從觀測值Z(l),，Z(k)出發(fā), 對系統(tǒng)的狀態(tài)X(

8、k)做出最佳濾波值X(k)o f(k)是無偏最小方差估計，即：E(X -X)= 0E(X=min下面介紹這種濾波方法的思路：若以時刻- 1)的最佳的濾波值X(k - 1)已經(jīng)得到，則可以證明基于觀測信息Z(l),，Z(k - 1)對X(k)所做的無偏最小方程估計應為：0(k) = 0(k, k - l)X(/c - 1)(1)根據(jù)0(町去預測tk時刻所獲得的觀測信息應為：H(K)0(K.K l)£(k l)它表示了基于Z，Z(k - 1)對Z(k)的一個(最小方差意義上的)預測值。 在S時刻獲得觀測值Z(k)后，差值：Z(k) 一 H(K)0(K.K - 1) X(k - 1)反映了

9、觀測和預測的很多信息，稱為創(chuàng)新量。把它乘上相應的濾波增益K(k), 修正預測估計值，得到g時刻狀態(tài)的最佳估計值亡伙)，即：f(/c) =0(k) + K(k)Z(/c) H(K)0(k)(2)濾波增益K(k)選取的根據(jù)是要使佔計達到無偏最小方差，可山下式計算得到：其中：P0)=0(b k-l)P(fc- l)0T(k, fc - 1) + T(k - l)Q(k - l)r(k - 1) (4)P(k) = I- K(k)H(k)P，(k)(5)給定初值X(0), P(0)后，根據(jù)觀測值Z,Z,，Z(町，,通過計 算公式(1) (5),就可以得到卡爾曼濾波值f，教1),，亡，和 相應的估計協(xié)方

10、差矩陣P，P(2),，P(k),。公式(1) (5)稱為卡爾曼濾波遞推算法。圖一表明了計算機下卡爾曼濾波的計算流程：Z(k)圖1從上面分析可看出，卡爾曼濾波器方法有以下特點：第一，它提供了一種無 偏最小方差估計，它是一種最佳佔計；第二，濾波器的一套算式是遞推算法,非 常適合計算機實時計算。計算F(k)只用到Z(k)和X(lk-l)，而Z(k)用過之后 不必存貯，這樣可大大減少存貯量。對實際系統(tǒng)要設計一個成功的卡爾曼濾波器，一般需要做這樣一些工作比: 把實際系統(tǒng)抽象成數(shù)學模型，設訃相應的濾波器;用數(shù)字訃算機模擬實際系統(tǒng)和 濾波方程，進行模擬試驗;進一步簡化和修改濾波器，以適應實際的操作條件和 實

11、時處理的各類約束，再放到數(shù)字計算機上模擬試驗實施到實時計算機試驗;若 裝有濾波器的實時系統(tǒng)能滿足性能要求，則最后裝訂，否則返回，重復上述丄作。具體步驟分述如下：3.1確定系統(tǒng)的模型根據(jù)對系統(tǒng)的充分了解，建立一個真實系統(tǒng)的完整模型，并用狀態(tài)空間描述 之。這里包括選擇狀態(tài)變量，觀察量，建立系統(tǒng)的動力方程和觀察方程，以及建 立誤差的統(tǒng)訃模型。同時建立地面汁算機模擬試驗用的“模擬器”。這些“模擬 器”實質(zhì)上是一套計算機程序。它模擬了噪聲發(fā)生，傳感器信息產(chǎn)生及傳遞過程 以及研究對象的運動等等。模擬器是濾波器模擬分析的工具和鑒別標準。3. 2建立完整濾波器及模擬試驗根據(jù)系統(tǒng)的完整模型建立一個最佳的完整濾波

12、器。它包括了所有的誤差源。 其維數(shù)一般較高。完整濾波器用來反映一個精確工作的最佳濾波器性能，并作為 鑒定簡化濾波器的標準。同時建立一個地面訃算機模擬分析程序工，對完整濾波 器進行模擬鑒定。這種程序包括了詳細的模擬器，并模擬了完整濾波器方程。模 擬LI的是鑒定一個精確工作濾波器所能達到的理論精度，當然它應該超過系統(tǒng)所 希望的精度，否則就沒有必要繼續(xù)進行設計了。3. 3建立簡化濾波器及模擬試驗這項工作主要是簡化系統(tǒng)。系統(tǒng)的完整模型一般比較復雜，完整濾波器的維 數(shù)較高。例如，飛機導航方程可達50、60個變量，因此運算要求較高。實際應 用中必須簡化模型。先根據(jù)工程經(jīng)驗簡化模型，設計出相應的簡化濾波器，

13、然后 作理論上的模型誤差分析，但更重要的是通過計算機模擬分析來完成設汁和鑒定。 這里同樣要借助于地面訃算機模擬分析程序。該程序既包括了多種模擬器，反映 了真實系統(tǒng)，乂能方便地模擬簡化濾波器方程。通過程序鑒定分析簡化濾波器， 并與完整濾波器結(jié)果一邊模擬分析，一邊刪去對總系統(tǒng)影響不大的狀態(tài)量，最后 完成了一個維數(shù)較少且能滿足性能要求的簡化濾波器，這階段的丄作反映了一個 不完整濾波器（在精確運算時）的理論精度，它至少要達到系統(tǒng)所希望的精度。3. 4建立確定性濾波器及模擬試驗這項工作是建立一個能在實際工作環(huán)境下實時完成系統(tǒng)任務的確定性濾波 器。建立過程中要用各種濾波技術(shù)，使得濾波器對傳感器誤差惡化不靈

14、敬，并能 符合訃算機實時要求、容量要求以及精度限制，而乂能滿足系統(tǒng)性能的要求。建 立確定性濾波器，先是根據(jù)工程經(jīng)驗作理論上的設訃和分析，而更重要的是利 用了地面計算機模擬分析程序，該程序是模擬實時工作的一套程序，它能靈活地 模擬出實時訃算機可變字長，定浮點運算以及傳感器誤差信息，并包括各類模擬 器。實施模擬分析時，先可使傳感器的模型信息保持正確，而著重考慮如何采取 措施來降低濾波計算量和存貯要求，并考慮濾波器對實時計算機的字長，定浮點 運算的反應，確定字長和運算的類型。其次使傳感器模型信息惡化，以考察濾波 器對不精確統(tǒng)訃模型的靈敬度，并作出相應的技術(shù)改進。最后得到一個次佳的確 定性濾波器。3.

15、 5實時濾波器正式裝訂，系統(tǒng)試驗對包括確定性濾波器的系統(tǒng)進行實時計算機程療:設計，正式裝訂在機器里, 然后進行系統(tǒng)試驗和鑒定，這包括實驗室模擬試驗以及實時匸作鑒定。如不滿足 要求，重復上述過程。從上面可看出，卡爾曼濾波器設計是一個極為細致的過程。 簡單的說來就是以系統(tǒng)性能指標為要求，以工程鑒定和試驗為基礎(chǔ)，產(chǎn)生能實際 應用的濾波器。大量的工作就是設訃各利濾波器的近似算法，應用計算機模擬分 析程序來進行模擬鑒定、分析，最后確定濾波器的方案。4卡爾曼濾波的應用1=1 I卡爾曼濾波器(KalmanFilter)是一個最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法(optimal recursh'e data pr

16、ocessing algorithm),它的廣泛應用已經(jīng)超過30年，包括航空器 軌道修正、機器人系統(tǒng)控制、雷達系統(tǒng)與導彈追蹤等。近年來更被應用于組合導 航與動態(tài)定位，傳感器數(shù)據(jù)融合、微觀經(jīng)濟學等應用研究領(lǐng)域。特別是在圖像處 理領(lǐng)域如頭臉識別、圖像分割、圖像邊緣檢測等當前熱門研究領(lǐng)域占有重要地位。卡爾曼濾波最早應用在宇宙飛行中，NASA艾姆斯研究中心的G.史密斯等于 62年發(fā)表了卡爾曼濾波器用于繞月飛行寧宙飛船中段導航的論文涼遍。與此同 時，美國馬薩諸塞州工學院的R.巴廷把極大擬然濾波器用于天體導航。NASA戈 達德空間飛行中心發(fā)表了濾波器用于人造衛(wèi)星軌道確定問題的論文。在這以后, 卡爾曼濾波器

17、得到了更廣泛的應用，特別是在空間技術(shù)和軍事技術(shù)領(lǐng)域里。航空 空間領(lǐng)域是卡爾曼濾波器應用最早、最成熟、最廣泛的一個領(lǐng)域旳；如阿彼羅訃 劃中登月倉與指揮倉交接；飛機各種組合導航；船舶的綜合導航；舵機與船舶慣 性導航的最佳對準；跟蹤雷達對活動U標的跟蹤；反潛機對聲納系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理進 行反潛；導彈制導；靂達對飛行器作彈道估計和彈著點預測；飛機進場著陸；飛 機的自動駕駛飛行；對各種機載系統(tǒng)進行飛行測試的數(shù)據(jù)分析；軍事對抗以及空 中交通管制等等，都應用了卡爾曼濾波技術(shù)。除軍事技術(shù)外，U前很多其它領(lǐng)域也都在應用卡爾曼濾波技術(shù)，如氧氣煉鋼; 原子反應堆；醫(yī)學數(shù)據(jù)測量；地質(zhì)勘探等等。山于卡爾曼濾波器對多輸入/輸出

18、 隨機系統(tǒng)的濾波問題獲得最佳估訃，所以對很多技術(shù)帶來了新的設汁思想，有的 產(chǎn)生了變革性的設計。例如，LI前國外應用很多的先進導航方式一多傳感器組合 導航血，其技術(shù)關(guān)鍵就是卡爾曼濾波。這種導航方式比通常的單傳感器導航精度 可提高一個量級，同時，它可自動編輯數(shù)據(jù)，在環(huán)境條件發(fā)生變化時自動組織多 種工作方式。山于應用了濾波技術(shù)，低成本的計算機軟件（濾波器運算）可用來減 低對傳感器碩件的精度要求，也就是說,可用低精度的部件來構(gòu)成高精度的系統(tǒng)?？柭鼮V波作為一種數(shù)值估訃優(yōu)化方法，與應用領(lǐng)域的背景結(jié)合性很強。因 此在應用卡爾曼濾波解決實際問題時，重要的不僅僅是算法的實現(xiàn)與優(yōu)化問題, 更重要的是利用獲取的領(lǐng)

19、域知識對被認識系統(tǒng)進行形式化描述，建立起精確的數(shù) 學模型，再從這個模型出發(fā)，進行濾波器的設計與實現(xiàn)工作。濾波器實際實現(xiàn)時， 測量噪聲協(xié)方差R 一般可以觀測得到，是濾波器的已知條件。它可以通過離線 獲取一些系統(tǒng)觀測值計算出來。通常，難確定的是過程激勵噪聲協(xié)方差的Q值， 因為我們無法直接觀測到過程信號。一種方法是通過設定一個合適的Q，給過程 信號“注入”足夠的不確定性來建立一個簡單的可以產(chǎn)生可接受結(jié)果的過程模 型。為了提高濾波器的性能，通常要按一定標準進行系數(shù)的選擇與調(diào)整切。基本卡爾曼濾波（KF器限定在線性的條件下，在大多數(shù)的非線性情形下，我 們使用擴展的卡爾曼濾波（EKF）器來對系統(tǒng)狀態(tài)進行佔計

20、。為了更直觀理解卡 爾曼濾波，給出卡爾曼濾波應用示意圖，如圖2所示：圖25結(jié)語本文在線性離散系統(tǒng)的假設前提下闡述了基本卡爾曼濾波的原理，主要從兩 個方面進行闡述：系統(tǒng)過程模型及測量模型建立，主要是建立系統(tǒng)的狀態(tài)差分 方程及量測方程，以及確定系統(tǒng)噪聲、測量噪聲的統(tǒng)計特性，用統(tǒng)訃測量的方法 進行噪聲相關(guān)參數(shù)的估訃，建立系統(tǒng)過程的數(shù)學模型;濾波器計算模型的建立, 以數(shù)學模型為基礎(chǔ)，確定濾波器的時間更新方程及狀態(tài)更新方程，主要在濾波器 系數(shù)的確定包括狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣及相關(guān)因子矩陣，然后詳細介紹了卡爾曼濾波器設 計的一般步驟，最后對濾波器的應用作了簡要總結(jié)。參考文獻1 Jie hong Huang, Don

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