《數(shù)學(xué)與猜想》讀書報告

1、深圳大學(xué)考試答題紙（以論文、報告等形式考核專用）二。二。一二學(xué)年度第二學(xué)期課程名稱主講教師評分姓名專業(yè)年級教育碩士（數(shù)學(xué)）2010級題目：數(shù)學(xué)與猜想讀書報告教師評語:數(shù)學(xué)與猜想讀書報告最近我閱讀了波利亞著數(shù)學(xué)與猜想第一卷數(shù)學(xué)中的歸納與類比 。這是一本談古論今，內(nèi)容豐富多彩，啟發(fā)讀者去提煉問題，研究問題，討論問題，直至檢驗問題的書。 本書通過許多 古代著名的猜想， 討論了論證方法， 讀起來感到妙趣橫生，引人入勝，能使人看到數(shù)學(xué)中真正的內(nèi)在美。在數(shù)學(xué)與猜想這本書里， 有三章討論了歸納法的相關(guān)內(nèi)容。 第一章探討了歸納方法， 歸納法常常從觀察開始， 一個生物學(xué)家會觀察鳥類的生活， 一個晶體學(xué)家會觀察晶

2、體的形狀，一個對數(shù)論感興趣的數(shù)學(xué)家會觀察整數(shù)1, 2, 3, 4, 5的性質(zhì)。 我們應(yīng)該考察所收集到的觀察結(jié)果， 對它們加以比較和綜合， 在證明一個數(shù)學(xué)定理之前， 先得猜測這個定理的內(nèi)容， 在完全作出了詳細證明之前， 你先得推測證明的思路， 你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合然后加以類比， 你得一次又一次地進行嘗試， 數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理即證明， 但是這個證明是通過合情推理， 通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。 考察一個猜想的結(jié)論并根據(jù)這種考察的結(jié)果來判斷猜想是否可靠， 是一種典型的歸納方法， 歸納法能導(dǎo)致錯誤這個道理太明顯了， 但是值得注意的是， 盡管出現(xiàn)錯誤的機會占據(jù)絕大多數(shù)， 歸納法有時卻能導(dǎo)出真

3、理，我們應(yīng)當(dāng)從歸納失敗的明顯例子開始研究。歸納法能說明所得的結(jié)果可靠， 但決沒有證明它一定可靠， 可以看到用歸納法考察的結(jié)果， 在數(shù)學(xué)的其它方法注意特殊情形的觀察， 能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果，也可以啟發(fā)一般性的證明方法。第四章探討了數(shù)論中的歸納方法， 討論了邊長為整數(shù)的直角三角形 （在什么情況下一個奇素數(shù)才是邊長為整數(shù)的直角三角形的斜邊長？在什么條件下不是？兩種情形有何區(qū)別 ？最后得出猜想4N+1 形式的素數(shù)可以是邊長為整數(shù)的直角三角形的斜邊長，4N+3 的形式不是） 。 在數(shù)論的歷史中它起過重要作用， 它使人引出許多別的問題。 例如， 哪些數(shù) （不管本身是不是平方數(shù)） 能表成平方和？不能表成

4、平方和的數(shù)有什么性質(zhì)？是否還能表成三個平方數(shù)之和？還有， 不能表成三個平方和的數(shù)又有哪些數(shù)？要用多少個平方數(shù)來表示所有的自然數(shù)？最后得出了四方定理即方程n=x2+y2+z2+w2最后討論了關(guān)于四奇數(shù)平方和問題，對于任何自然數(shù)，或者本身是平方數(shù)，或者總是兩個，三個或四個平方數(shù)之和，關(guān)于四奇數(shù)平方和問題。第七章通過對數(shù)學(xué)歸納法的了解我知道了數(shù)學(xué)歸納與通常的歸納有什么關(guān)系？在檢驗一個猜想時， 我們研究猜想適合的不同情形， 希望知道猜想所主張的關(guān)系是否在任何情形下都是穩(wěn)定的， 也就是說不依賴于各種不同的情形， 即不受各種情形的干擾， 自然而然地我們注意到從這種情形到另一種情形的飛躍。 物理學(xué)家牛頓具體

5、化了一個從拋射體運動到行星動的連續(xù)飛躍， 他著手去證明萬有引力定律， 而先考慮應(yīng)該同樣適用萬有引力定律的兩種情形之間的飛躍。 在證明某個初等定定理時要用數(shù)學(xué)歸納法， 考慮從 n 到 n+1 的飛躍， 也就是兩種情形之間的飛躍。 同時數(shù)學(xué)歸納法是一種論證的方法， 通常用在證明數(shù)學(xué)上的猜想， 而這種猜想是我們用某種歸納方法所獲得的。本書第二章講的是一般化、特殊化、類比。在數(shù)學(xué)解題中強調(diào)“類比”并非波利嚴(yán)的奇思異想。 “類比”原本是人類日常的思維方式。人類在日常生活中大量地以 “類比” （廣義上的 “類比” 包括 “比喻” ， 尤其是 “隱喻” 、 “比擬” ，甚至包括“象征”）的方式說話。 “類比

6、滲透于我們所有的思想、我們每天講的話和我們作出的瑣碎的結(jié)論乃至藝術(shù)的表達方式和最高的科學(xué)成就。 類比在各種不同的層次上得到應(yīng)用。 ” 只是當(dāng)科學(xué)研究或哲學(xué)研究過于迷戀于邏輯思維、 “論證推理”（波利亞將推理分為“論證推理”與“合情推理”）時，“類比”才從哲學(xué)以及數(shù)學(xué)等科學(xué)研究領(lǐng)域中淡出。結(jié)果，“類比”只是保留在“日常語言”以及“詩化語言”中?！爱?dāng)詩人把少女比作花朵時，他們感到其某些相似性”。波利亞苦心孤詣地在數(shù)學(xué)解題中倡導(dǎo)“類比”思維，可以說是在開發(fā)出一條“詩化數(shù)學(xué)語言”或“日常數(shù)學(xué)語言”的道路。這樣看時，他在數(shù)學(xué)解題活動中倡導(dǎo)“類比” 與其說是一種 “新思維” ， 不如說是對人類日常思維的一

7、種恢復(fù)和返回?！邦惐取币部梢岳斫鉃椤靶屡f知識”之間的聯(lián)系，此時“類比”相當(dāng)于奧蘇貝爾（Ausubel, D.）的“一言以蔽之”，即學(xué)習(xí)者通過尋找自己已經(jīng)知道了什么來解決新的問題。不過，波利亞的“類比”除了探明自己已經(jīng)知道了什么之外，它更重視已知中的某個“類型”知識。這種“類型”化的知識具有“結(jié)構(gòu)”的功能，它暗示學(xué)習(xí)者需要將自己的知識保持某種“結(jié)構(gòu)”。而且，這里的“結(jié)構(gòu)”不只是某種總體上的“知識結(jié)構(gòu)” （可稱之為“總體結(jié)構(gòu)”），它更是系列的“類型”化的小型的知識結(jié)構(gòu) （可稱之為 “類型結(jié)構(gòu)” ） 。 人們在談?wù)?“新舊知識的關(guān)系”時，習(xí)慣于將學(xué)習(xí)者的“原有知識”作為某種總體性的知識結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)就是

8、“新知識”與這種“總體結(jié)構(gòu)”以“同化”或“順應(yīng)”的方式發(fā)生聯(lián)系。這樣解釋并不完全錯誤，但實際上學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)“新知識”時，“新知識”并不直接與“總體結(jié)構(gòu)” 發(fā)生聯(lián)系， 更多的是直接與原有的知識體系中的 “類型結(jié)構(gòu)” 發(fā)生聯(lián)系，并與原有的“類型結(jié)構(gòu)”之間發(fā)生“同化”或“順應(yīng)”（盡管也間接地與“總體結(jié)構(gòu)”發(fā)生聯(lián)系）。如果說以前人們對“學(xué)習(xí)”的定義是“新知識與原有知識之間的同化或者順應(yīng)”，那么波利亞所強調(diào)的“類比”重新將“學(xué)習(xí)”定義為“新知識與原有的某類知識之間發(fā)生同化或順應(yīng)” 。 在享受到類比方法解決大大小小問題時的那種給予我們幫助的樂趣。本書第三章系統(tǒng)的介紹了立體幾何中的歸納推理（典型例子通過猜想

9、多面體面、頂點和棱的數(shù)來歸納證明歐拉公式F+V=E+2和第十一章更多種類的合情推理。 這兩種推理之間之間的差異相當(dāng)大而且是多方面的。 無疑， 論證推理是可靠的、無可置辯的和終決的，合情推理是冒風(fēng)險的、有爭議的和暫時的。論證推理在科學(xué)中的滲透深度恰好和數(shù)學(xué)在科學(xué)中的滲透深度一樣， 但是論證推理本身（如數(shù)學(xué)本身那樣） 并不能產(chǎn)生關(guān)于我們周圍世界本質(zhì)上的新知識。 我們所學(xué)到的關(guān)于世界的任何新東西都包含著合情推理， 它是我們?nèi)粘Ｊ聞?wù)中所關(guān)心的僅有的一種推理。 論證推理有被邏輯 （形式邏輯或論證邏輯） 所制定和闡明的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)， 而邏輯則是論證推理的一種理論。 合情推理的標(biāo)準(zhǔn)是不固定的， 并且這種推理在清

10、晰程度上不能與論證邏輯相比或能博得相似的公認(rèn)。數(shù)學(xué)被人看作是一門論證科學(xué)。 然而這僅僅是它的一個方面。 以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué)， 好像是僅合證明的純論證性的材料， 然而， 數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與任何其它知識的創(chuàng)造過程一樣的。 在證明一個數(shù)學(xué)定理之前， 你先得猜測這個定理的內(nèi)容， 在你完全作出詳細證明之前， 你先得推測證明的思路。 你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合然后加以類比， 你得一次又一次地進行嘗試。 數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理， 即證明； 但是這個證明是通過合情推理， 通過猜想而發(fā)現(xiàn)的； 只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話， 那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?。?/p>

11、種推理：論證推理和合情推理，在我看來它們之間并不矛盾，相反地，它們是互相補充的。 在嚴(yán)格的推理之中， 首要的事情是區(qū)別證明與推測， 區(qū)別正確的論證與不正確的嘗試。 而在合情推理之中， 首要的事情是區(qū)別一種推測與另一種推測， 區(qū)別理由較多的推測與理由較少的推測， 如果你把注意力引導(dǎo)到這兩種區(qū)別上來，那么就會對這兩者有更清楚的認(rèn)識。在探討完兩種推理之后，本書又通過一些典型例子（如：給定邊數(shù)，在已知圓中求內(nèi)接多邊形的最大面積，把一長為 L 的直線分成幾段，求這幾段乘積的最大值，已知盒子的表面面各，求其最大容積。算術(shù)平均與幾何平均定理等）的研究，并且把極大和極小問題歸納為幾類：1.平面幾何中的最小和最

12、大距離。2.空間幾何中的最小和最大距離。3.平面上的等高線問題。4.空間中的等值面。我們可以注意到， 這些問題大都是些極大和極小的問題， 我們總希望以盡可能低的代價來達到某個目標(biāo)， 或者以一定的努力來獲得盡可能大的效果， 或者在一定的時間內(nèi)做最大的功。 我們甚至傾向于設(shè)想， 世界萬物按我們的意愿行事， 能以 最小的努力獲得最大的效果。如果你確實理解并感興趣于你已經(jīng)解決的一個問題，那么你就會得到一種寶貴的東西：一個模式，或一個模型，以后可模仿它去解決類似的問題，如果你想這樣做， 如果你這樣做時獲得了成功， 如果你考慮到成功的理由， 考慮到從已解決的問題去類推， 考慮到解決這類問題能夠達到的有關(guān)條

13、件等等， 那么你就可以提出一個模式，提出這樣的模式以后，你便真的有所發(fā)現(xiàn)，總之，你就有機會獲得一些必要的層次和便于應(yīng)用的問題。本書還講述了與極大和極小有關(guān)的等周問題（如：一個多邊形，除一邊外，已知其相鄰的各邊長度，求其最大面積及已知一個角用一條已知長度的線切割它，求其最大面積）.這類問題比其他較為困難的數(shù)學(xué)問題更吸引人，這可能是出于十分樸素的理由，盡管每個人都有他自己的問題， 。我們總希望以盡可能低的代價來達到某個目標(biāo)， 或者以一定的努力來獲得盡可能大的效果， 獲者在一定的時間內(nèi)做最大的功， 當(dāng)然， 我們還希望冒最小的風(fēng)險， 本書關(guān)于極大和極小的問題給出了等周定理的三種形式：1.所有等周長的平

14、面圖形中，以圓的面積最大。2.所有等面積的平面圖形中，以圓的周長最小。3.所有的平面曲線中，以圓的等同商最大。關(guān)于等周問題，笛卡兒通過圓，正方形，矩形，等邊三角形等十個圖形，都具有想同的面積， 圓具有最短的周長。 在具有相等體積的所有立方體中， 球具有最小的表面面積。我們把這個命題稱作“空間等周定理”.已經(jīng)證明成功的許多結(jié)論， 使得等周定理變得更加合乎推理邏輯。 能夠幫助我們預(yù)料其他的許多類似應(yīng)用和問題， 關(guān)于定理的推導(dǎo)又引起了進一步的新問題， 在立體幾何和數(shù)學(xué)物理中還類比地啟示其他的問題， 深刻立足于我們的生活經(jīng)驗和直觀地觀察中的等周定理， 是如此容易猜到， 但卻不容易證明， 它是誘發(fā)我們靈

15、感的一個取之不盡的源。本書第六章更一般性的陳述， 主要是數(shù)學(xué)研究中善于用歸納法的大師， 他用歸納法， 憑觀察， 大膽猜測和巧妙證明得出了放多重要的發(fā)現(xiàn)。 歐拉的研究報告中關(guān)于整數(shù)因子和的一個非常奇特規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。 我從中學(xué)到很多關(guān)于數(shù)學(xué)、 發(fā)明心理學(xué)、 歸納推理的東西。 這個被歐拉所研究的定理在今天仍具有很大的數(shù)學(xué)趣味。歐拉研究報告的概述，定理T包含無窮多個特例C, C2, C3,，反過來說，這 無窮多個特例C,C2, Q,的整體即相當(dāng)于定理T。我們可用簡單計算驗證 。成立 與否，C2成立與否，G等等成立與否。計算結(jié)果證得C, G,Q，Co都成立，我們 只要做這些計算， 一直到我們能深信這一系列計算不斷地?zé)o限做下去而始終正確為止。發(fā)現(xiàn)定理T是正確的