定義域和值域的逆向問題

1、定義域和值域的逆向問題河南范長如定義域和值域的逆向問題，是數學中的常見問題， 解決好此類問題， 可以鍛煉同學們的逆向思維能力，因此要重視此類問題的解決。一、已知定義域求值域a + bx例1求定義域在-1, 1上的函數y=(a>b>0)的值域。a- bx2a解：函數式變形為 y = -1+，顯然y工-1a- bx由原函數表達式可得 x = a(y- 1)。b(y + 1)又-1 <x <1，得-1 <a(y- 1) <1,b(y + 1)解得 a-b <y <a+b ,a + b a-b即此函數的值域為?a- b a + b?a + b'

2、a - b?注：此法是把函數式視為關于x的方程，解出X,再運用已知的定義域，解關于不等式求得值域。二、已知值域求定義域2x- 1例2 已知函數y =的值域是 y | y <0或y >3，求此函數的定義域。x- 12x- 11解：由<0，解得丄<x <1。x- 122x- 1由>3，解得 1 < x <2。x- 1? 1?此函數的定義域為 ?x |<x <2且x工1?。? 2?注：此題直接由函數值域得出表達式的不等式，進而求得定義域，同時還可以利用反比例函數圖象直觀地得出結論，同學們不妨試一試。三、已知定義域求解參數問題例3已知函數f

3、(x)二J(a2 - 1)x2 + (a - 1)x + 的定義域為R,求實數a的取 a + 1值范圍。2 解：由題意知x R時，(a2 - 1)x2 + (a-1)x+>0恒成立。a + 1(1 )當a2 - 1 = 0且a + 1工0時，有a=1 ,此時f(x)=1 ,顯然對x R時，2 2 2(a2 - 1)x2 +(a- 1)x+>0恒成立。a + 1?a2 - 1> 0(2 )當a2 - 1工0時，有?222 解不等式組得?= (a - 1)2 - 4(a2 - 1)?<0?a + 11 < a <9。綜上知，當x R時，使得f(x)有意義的a的取

4、值范圍是1, 9。注：此問題轉化為不等式恒成立問題，但要注意二次函數的二次項系數為字母時的分類討論。四、已知值域求解參數問題2x2 + ax + b例4 已知函數 y =2的值域為1, 3，求a、b的值。x2 +1解：由題意知x R，把原函數變形為(y- 2)x2- ax+ y- b = 0當y- 2=0時，滿足題意當 y - 2 工0 時，因 x R ,所 以 二 a2 - 4(y - 2)(y- b) >0 ,即 4y2 - 4(b+2)y + 8b- a2 <0 。因 1 <y <3 ,所以 1 和 3 是方程 4y2 - 4(b+2)y + 8b- a2 = 0

5、的兩個實根，由韋達定理解得 a =戈，b = 2。注：解決此問題的關鍵在于把求值域的問題和解一元二次不等式的問題聯(lián)系起來，最后通過比較同解不等式的系數，列方程求出參數的值。五、已知定義域和值域求解參數問題例 5 已知二次函數 f (x) = ax2 + bx+ c(a 工0)滿足條件 f (-x+5) = f (x-3), f (2) = 0 ,且方程f (x) = x有兩個相等實根。問是否存在實數 m、n(m < n),使得f (x) 的定義域為m, n時，值域為3m, 3n。如果存在，求出 m、n的值；如果不存在， 請說明理由。f (x)的圖象的對稱軸為直線解：因f (- X+ 5)

6、 = f (x- 3)，所以函數x =3 =1,可得-2=122a第3頁(共4頁)由 f (2) = 0，得 4a + 2b + c = 0 因方程f (x) = x有兩個相等實根，即2A = (b - 1) - 4ac = 0ax2 + （b- 1）x + c = 0有相等實根，所以將代入，得c = 0。由知,b=1，所以1 2 1 2 1 1則 f (x) = - x + x = -(x- 1) +<-,2 2 2 21 1所以3n w，即n W。6f (x)在m, n上單調遞增，假設存在滿足條件的1m + m = 3m21n + n = 3n2?f (m)=-?f (n)=-解得?

7、m = 0或 - 4?n = 0 或 - 4m、n,則1 又m < n <，貝U m=-4 , n=0,即存在 m=-4 , n=0滿足條件。6注：解決定義域和值域共存問題時，不要盲目進行分類討論，而應從條件出發(fā)，分析和探討出解決問題的途徑，確定函數的單調性，從而使問題得以解決。練一練：1.求下列函數的值域: y =2_5: y = 2x +1 : y = x + 21- x + 2。2x2 - 4x + 33x- 22.求函數y = i x - x(x >0)的最大值。答案：（提示：y =篤 ，而 2(x- 1)2 +1 >1,2(x- 1)2 +11. y (0,5所以0<12(x- 1)2 +1<1，可得0 <52(x- 1)2 +1另外，原函數變形為 2yx2 - 4yx + 3y -5 = 0，因x R ,<5 。第3頁（共4頁）!K !寸I< ii k i 守 ！迪 ymM畀 A 事-H X 品-lHl.><'>-;+L><7) H A 諄啤)L LI L L寸二 (poo )二 黠！w (0< 1)寸 + Z(L 1) H e + & + f A M 匸丄Hx亙(OAl)x w H 1令點貳 二寸廠)山 A YfW