垂徑定理在解題中的應(yīng)用

1、垂徑定理在解題中的應(yīng)用垂徑定理是圓的重要內(nèi)容， 在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用 在各地中考題中對垂徑定理 的考查頻頻出現(xiàn)，這類問題常常結(jié)合勾股定理來解決，現(xiàn)以中考題為例說明如下：一、求半徑例1.高速公路的隧道和橋梁最多圖1是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以0為圓心的圓的一部分，路面 AB =10米，凈高CD =7米，則此圓的半徑 0A=(D)377(A) 5( B) 7圖1-3 - / 3析解：由垂徑定理可知 AOD是直角三角形，解決本題關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出方程1設(shè)半徑 OA=x米，貝U 0D=C-D0(=7- x (米)因?yàn)?OCL AB 所以 AD AB =5 (米).在 Rt 2AOD中，

2、因?yàn)锳D2 OD2 =0A2，所以52 (7 -X)2二x2，解這個方程得:選(D)二、求弦長例2.工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的直徑，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm測得鋼珠頂端離零件表面的距離為 8mm如圖2所示，則這個小孔的直徑 AB mmB析解：要求小孔的直徑 AB ,關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解 決.如圖3,設(shè)圓心為 0 連接 0A過點(diǎn) 0作OCL AB交劣弧于 D, C為垂足，則 AC=CBOA=OD1 10 = 5 mm 0(=8 5=3mm 在 Rt AOC中, AG、OA OC? = . 53? =4，所以 AB=2AC=2X 4=8(mm).三、求弦心距例3

3、.如圖4, O的半徑為5,弦AB =8,0C _ AB于C，則OC的長等于AB11析解：連接0A因?yàn)?C_AB于C，所以由垂徑定理可得 AO丄AB-析解：由垂徑定理可得 At= AB 8 = 4.在Rt22 AOC中，由勾股定理可得 0(=., 0A0D JOA2 _ AD2 = J®2 _82 = 6 ,所以 CD=OG OD=0 6=4(m).五、求角度例5.如圖6,在O C中，AB為O O勺直徑，弦CDLAB / AOC60O,則/ B= - AC2 = . 52 -42 = 3.四、求拱高例4.興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖5所示，已知AB6m 半徑 oA=iom高度CD為m.B=-16 =8 .2在 Rt AOC 中，B析解：因?yàn)镃DL AB AB為直徑，所以由垂徑定理可知 AD = AC，利用“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”定理可得：5 11/ B= . AOC =60 =30 .22六、探究線段的最小值例6.如圖7,0 O的半徑O/=10cm 弦AB=16cm, P為AB上一動點(diǎn)，則點(diǎn) P到圓心O的最短距離為cm .析解：因?yàn)檫B接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，所以需作出弦11AB的弦心距.過點(diǎn)O作OdAB C為垂足，則 AC AB16 =8.在Rt