黃昆版固體物理習(xí)題課課件

1、習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 則運(yùn)動(dòng)方程可表為：則運(yùn)動(dòng)方程可表為：補(bǔ)充題一、證明在由兩種不同質(zhì)量補(bǔ)充題一、證明在由兩種不同質(zhì)量M,m(Mm)的原子所組成的的原子所組成的一維復(fù)式格子中，如果波矢一維復(fù)式格子中，如果波矢q取邊界值取邊界值 （a為相鄰原子為相鄰原子間距），則在聲學(xué)支上質(zhì)量為間距），則在聲學(xué)支上質(zhì)量為m的輕原子全部保持不動(dòng)；在光的輕原子全部保持不動(dòng)；在光學(xué)支上質(zhì)量為學(xué)支上質(zhì)量為M的重原子保持不動(dòng)。的重原子保持不動(dòng)。aq41解：如圖所示解：如圖所示令令 為近鄰原子間為近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)的恢復(fù)力常數(shù))2()2(122222212122nnnnnnnnxxxxMxxxxm

2、 01/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 設(shè)試探解：設(shè)試探解：)12(2(12)22(2aqntinnaqtinBexAex將試探解代入方程得到：將試探解代入方程得到：0)2()2cos2(0)2cos2()2(22BMAaqBaqAm由線性齊次方程組有非零解的條件得到：由線性齊次方程組有非零解的條件得到：)4cos2()(21222aqmMMmMmmM02/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 當(dāng)：當(dāng)：aq41代入原方程組得到：代入原方程組得到：212m212MaqmMBA2cos)1(光學(xué)支：光學(xué)支：)1(2cosMmaqBA聲學(xué)支：聲學(xué)支：當(dāng)：當(dāng)：aq41光學(xué)支：

3、光學(xué)支：B=0聲學(xué)支：聲學(xué)支：A=003/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 解：格波總能量為：解：格波總能量為：2221Am式中式中m為原子的質(zhì)量。為原子的質(zhì)量。補(bǔ)充題二、設(shè)有一縱波：補(bǔ)充題二、設(shè)有一縱波：)2cos()(naqtAtxn沿著一維單原子鏈傳播，原子間距為沿著一維單原子鏈傳播，原子間距為a，最近鄰忽作用的恢復(fù)，最近鄰忽作用的恢復(fù)力常數(shù)為力常數(shù)為 試證明：每個(gè)原子對(duì)時(shí)間平均的總能量為：試證明：每個(gè)原子對(duì)時(shí)間平均的總能量為： 212)(21)(21nnnnnxxxmE04/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) )1(2cos)2cos(1aqntAxnaqtA

4、xnnnaqAAmE)2cos1 (2141222求和遍及鏈上所有原子?？偰芰繉?duì)時(shí)間的平均值為：求和遍及鏈上所有原子?？偰芰繉?duì)時(shí)間的平均值為：TnnnnndtxxxmTE0212)(21)(211將將代入代入得到得到)2cos1 (2141222aqAAmN05/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) )2cos1 (2141222aqAAm每個(gè)原子對(duì)時(shí)間的平均能量為：每個(gè)原子對(duì)時(shí)間的平均能量為：根據(jù)一維單原子鏈的色散關(guān)系：根據(jù)一維單原子鏈的色散關(guān)系：)2cos1 (2)(sin422aqmaqm可以得到：可以得到：222222214141AmAmAm06/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)

5、與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 補(bǔ)充例題三：求一維復(fù)式格子晶格振動(dòng)的總動(dòng)量補(bǔ)充例題三：求一維復(fù)式格子晶格振動(dòng)的總動(dòng)量解：解： 由由可以得到晶格振動(dòng)的總動(dòng)量可以得到晶格振動(dòng)的總動(dòng)量22lNaq )12(1222anqtinnaqtinBexAex10122NnnnxMxmP由：由：1022NnnaiqaqtitieMBemAeiaiqNaiqaqtitieeMBemAei2221107/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 22211NliliaqtitieeMBemAeiP當(dāng)當(dāng)0, 0Pl當(dāng)當(dāng)tiNeMBmAiPql),0(0對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)支：對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)支：00PMBmA對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)支：對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)支：

6、tictiAeMiAeMmNiPBA)(08/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 解：在德拜模型下，晶體中的晶格振動(dòng)被看成彈性波，假定解：在德拜模型下，晶體中的晶格振動(dòng)被看成彈性波，假定某支彈性波的方程為：某支彈性波的方程為：)cos(),(0rqtutru補(bǔ)充例題四、利用德拜模型估算：補(bǔ)充例題四、利用德拜模型估算：（1）在絕對(duì)零度下晶體中原子的均方位移；）在絕對(duì)零度下晶體中原子的均方位移；（2）在非零溫度下原子均方位移和溫度的關(guān)系；）在非零溫度下原子均方位移和溫度的關(guān)系；則由該支格波引起的對(duì)時(shí)間的均方位移為：則由該支格波引起的對(duì)時(shí)間的均方位移為：2),(202utru09/34習(xí)

7、題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 假定晶體的體積為假定晶體的體積為V，密度為，密度為D，則相應(yīng)這支格波的平均動(dòng)能，則相應(yīng)這支格波的平均動(dòng)能為：為：VuDVuDdtdtruDTKV T222020 022141),(211)(（1）由于絕對(duì)零度下相應(yīng)于頻率為）由于絕對(duì)零度下相應(yīng)于頻率為 的零點(diǎn)能為：的零點(diǎn)能為：21相應(yīng)于頻率為相應(yīng)于頻率為 的那支格波引起的原子均方位移為：的那支格波引起的原子均方位移為：DVu2210/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 考慮到晶體中存在有許多不同頻率、不同模式的格波，因此考慮到晶體中存在有許多不同頻率、不同模式的格波，因此總的均方位移應(yīng)對(duì)所有

8、不同格波進(jìn)行求和。又由于各振動(dòng)模總的均方位移應(yīng)對(duì)所有不同格波進(jìn)行求和。又由于各振動(dòng)模式間是相互獨(dú)立的，因此有：式間是相互獨(dú)立的，因此有：duum)(022NjjNjjruru1221),(),(當(dāng)當(dāng)N足夠大時(shí)，振動(dòng)頻率趨于連續(xù)，求和可以用積分代替足夠大時(shí)，振動(dòng)頻率趨于連續(xù)，求和可以用積分代替11/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 1)()(TkBenE32223220283232pDBpvDkdvVDVum將德拜模型的頻率分布函數(shù)及最大頻率代入得：將德拜模型的頻率分布函數(shù)及最大頻率代入得：（2）非零溫度下相應(yīng)于某頻率的格波的平均能量應(yīng)為格波能）非零溫度下相應(yīng)于某頻率的格波的平均能

9、量應(yīng)為格波能量和該溫度下該格波的平均聲子數(shù)之積，即：量和該溫度下該格波的平均聲子數(shù)之積，即：12/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) )1(12TkBeDVu則在該溫度下相應(yīng)于該頻率的原子均方位移為：則在該溫度下相應(yīng)于該頻率的原子均方位移為：于是對(duì)應(yīng)該溫度下的原子均方位移為：于是對(duì)應(yīng)該溫度下的原子均方位移為：dvVeDVupTkmB3220223) 1(112/)(TkBeK則相應(yīng)該格波的平均動(dòng)能為：則相應(yīng)該格波的平均動(dòng)能為：13/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 3.2 討論討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為個(gè)原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其），其

10、2N個(gè)個(gè)格波解，當(dāng)格波解，當(dāng)M=m時(shí)與一維單原子鏈的結(jié)果一一對(duì)應(yīng)時(shí)與一維單原子鏈的結(jié)果一一對(duì)應(yīng) 解：質(zhì)量為解：質(zhì)量為M的原子位于的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 。 質(zhì)量為質(zhì)量為m的原子位于的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。 )2()2(2221212121222nnnnnnnnMm 牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程 N個(gè)原胞，有個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程個(gè)獨(dú)立的方程14/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) )12(12)2(2aqntinqnatinBeAe方程方程 的解的解)2()2(2221212121222nnnnnnnnMm 代回到運(yùn)動(dòng)方程代回到運(yùn)動(dòng)方程22(2

11、)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMBA、B有有非零解非零解02cos2cos2222Maqaqm15/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 12222()411sin ()mMmMaqmMmM兩種不同的格波的色散關(guān)系兩種不同的格波的色散關(guān)系1222212222()411sin ()()41 1sin ()mMmMaqmMmMmMmMaqmMmM 對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)q有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波。總有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波?？偟母癫〝?shù)目為的格波數(shù)目為2N 16/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 1222212222()411sin (

12、)()41 1sin ()mMmMaqmMmMmMmMaqmMmM 兩種色散關(guān)系如圖所示兩種色散關(guān)系如圖所示Mm4cos24sin2aqmaqm17/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 長(zhǎng)波極限情況下長(zhǎng)波極限情況下0q2)2sin(qaqa(2)qm4cos24sin2aqmaqm 與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致18/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 3.3質(zhì)量相同兩種原子形成一維雙原子鏈，最近鄰原子間的質(zhì)量相同兩種原子形成一維雙原子鏈，最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)等于力常數(shù)交錯(cuò)等于 和和 ，并且最近鄰的間距，并且最近鄰的間距 1)

13、求出色散關(guān)系和分析計(jì)算求出色散關(guān)系和分析計(jì)算 處格波的頻率值處格波的頻率值2) 大致畫出色散關(guān)系圖大致畫出色散關(guān)系圖 1c210c/2a0,qqa解：解： 綠色綠色標(biāo)記的原子位于標(biāo)記的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 紅色標(biāo)記原子位于紅色標(biāo)記原子位于2n， 2n+2， 2n+4 19/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 第第2n個(gè)原子和第個(gè)原子和第2n1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程212222112121122112222()()nnnnnnnnmm 1(2 )221(21)221itnaqnitnaqnAeBe 體系體系N個(gè)原胞，有個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程個(gè)獨(dú)立的方

14、程 方程的解方程的解令令221122/,/mm20/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 11222222212121122222221212()()0()()0i aqi aqi aqi aqAeeBeeAB11222222212121122222221212(),()(),()0i aqi aqi aqi aqeeee1111222222222222121212()()0()i aqi aqi aqi aqeeee A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足有非零的解，系數(shù)行列式滿足21/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 1111222222222222121212()()0

15、()i aqi aqi aqi aqeeee 1c210c2222012010,10ccmm22244000(11)20(10c01)osaq 兩種色散關(guān)系兩種色散關(guān)系 )101cos2011(202qa22/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 0q qa 色散關(guān)系圖色散關(guān)系圖 兩種色散關(guān)系兩種色散關(guān)系 )101cos2011(202qa)12111(2020220)8111(2020022023/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 2,2.dtudMFmlmlmlmlmlmlmluuuuuuuuuuuuumlmlmlmlmlmlmlml,4)()()()(1,1, 1

16、, 11,1, 1, 1解解（1）以以 表示位于表示位于l列列m行（行（l,m）的原子在垂直所在平面方向）的原子在垂直所在平面方向離開平衡位置的位移，僅考慮近鄰原子的作用有：離開平衡位置的位移，僅考慮近鄰原子的作用有：mlu,24/34補(bǔ)充例題五、設(shè)有由相同原子組成的二維正方格子點(diǎn)陣，原子補(bǔ)充例題五、設(shè)有由相同原子組成的二維正方格子點(diǎn)陣，原子的質(zhì)量為的質(zhì)量為M，晶格常數(shù)為，晶格常數(shù)為a，近鄰原子的恢復(fù)力常數(shù)為，近鄰原子的恢復(fù)力常數(shù)為 。（1）假定原子只作垂直表面的橫向振動(dòng)，求橫向晶格振動(dòng)的色）假定原子只作垂直表面的橫向振動(dòng)，求橫向晶格振動(dòng)的色散關(guān)系；散關(guān)系；（2）假定原子只在表面內(nèi)振動(dòng)，求其晶

17、格振動(dòng)的色散關(guān)系；）假定原子只在表面內(nèi)振動(dòng)，求其晶格振動(dòng)的色散關(guān)系；（3）在長(zhǎng)波情況下，求出橫向晶格振動(dòng)的頻率分布函數(shù)。）在長(zhǎng)波情況下，求出橫向晶格振動(dòng)的頻率分布函數(shù)。習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 令試探解為：令試探解為：0,tmaqlaqimlyxeuucoscos222aqaqMyx得到：得到：（2）在平面內(nèi)的原子位移為矢量，表為：）在平面內(nèi)的原子位移為矢量，表為：juiuuymlxmlml,jFiFFymlxmlml,所受的力為：所受的力為：則有：則有：2,1,12,2xmlxmlxmlxmluuudtudM2,1,1,2,2ymlymlymlymluuudtudM25/3

18、4習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 0,tlaqixxmlxeuu令試探解為：令試探解為：0,tmaqiyymlyeuu可以得到：可以得到：2222aiqaiqaiqaiqyyxxeeMeeM于是得到頻譜關(guān)系：于是得到頻譜關(guān)系：2sin42sin4222221aqMaqMyx26/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) （3）在長(zhǎng)波情況下，橫向晶格振動(dòng)的色散關(guān)系為：）在長(zhǎng)波情況下，橫向晶格振動(dòng)的色散關(guān)系為：2222222)211 ()211 (22qMaaqaqMyx相應(yīng)的頻率分布函數(shù)為：相應(yīng)的頻率分布函數(shù)為：dMaMaAqdqAn1122)2()(2則：則：MNMaAqdq

19、A2122)2()(2227/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 3.6 計(jì)算一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)計(jì)算一維單原子鏈的頻率分布函數(shù) ( ) 設(shè)單原子鏈長(zhǎng)度設(shè)單原子鏈長(zhǎng)度波矢取值波矢取值hNaq2每個(gè)波矢的寬度每個(gè)波矢的寬度2Na狀態(tài)密度狀態(tài)密度Na2dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)dqNa2對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) q， 取值相同，取值相同， d 間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目dqNad22)(LNa28/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) dqNad22)(一維單原子鏈色散關(guān)系一維單原子鏈色散關(guān)系)2(sin422aqmm40)2sin(0aq令令兩邊微分得到兩邊微分得到dqaqad)2cos(202021)2cos(aqdqad2202d 間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目29/34習(xí)題問題討論三 晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì) 2202dadqdN2201222012)(Ndqad2202代入代入dqNad22)