高中數(shù)學(xué)立體幾何講義(一)

1、平面與空間直線I、平面的根本性質(zhì)及其推論1空間圖形是由點(diǎn)、線、面組成的。點(diǎn)、線、面的根本位置關(guān)系如下表所示:圖形付號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言讀法AaA a點(diǎn)A在直線a上。A aA a點(diǎn)A不在直線a上。A點(diǎn)A在平面 內(nèi)。A / /A點(diǎn)A不在平面內(nèi)。bal b A直線a、b交于A點(diǎn)。a?直線a在平面 內(nèi)。a/ /a I直線a與平面 無(wú)公共點(diǎn)。a/'4alA直線a與平面交于點(diǎn)A。Il平面、相交于直線1。a 平面外的直線a表示al或al A。2、平面的根本性質(zhì)公理內(nèi)+1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面推理模式：AAB?。 如圖示：A B應(yīng)用：是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)

2、，也是檢驗(yàn)平面的方法。公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集 合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線。A推理模式：I |且A I且I唯一.如圖示：A應(yīng)用：確定兩相交平面的交線位置；判定點(diǎn)在直線上。例1 如圖，在四邊形ABCD中,a相交于點(diǎn)E, G, H F.求證:AB/ CD,直線AB, BC, AD, DC分別與平面 E , F , G, H四點(diǎn)必定共線.AB解： AB/ CDAB, CD確定一個(gè)平面B.又I AB a = E , AB B, . Ea ,即E為平面a與B的一個(gè)公共點(diǎn).同理可證F , G, H均為平面a與B的公共點(diǎn).兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一

3、條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線, .E, F , G, H四點(diǎn)必定共線.說(shuō)明：在立體幾何的問(wèn)題中，證明假設(shè)干點(diǎn)共線時(shí)，常運(yùn)用公理 2,即先證明這些 點(diǎn)都是某二平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論.例2.如圖,平面a, B,且a B= I .設(shè)梯形ABCD中 , AD/ BC,且ABa , CD B,求證：AB CD I共點(diǎn)相交于一點(diǎn) 證明 梯形 ABCD中 , AD/ BC,.AB, CD是梯形ABCD勺兩條腰.AB, CD必定相交于一點(diǎn),設(shè) AB CD= M又 I AB a , CD B, . Ma,且 MB. Ma又Ta B = I , . M I ,即AB, CD I共點(diǎn).說(shuō)明：

4、證明多條直線共點(diǎn)時(shí)，一般要應(yīng)用公理 2,這與證明多點(diǎn)共線是一樣的.公理3： 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推理模式：代B,C不共線 存在唯一的平面，使得A,B,C 。應(yīng)用：確定平面；證明兩個(gè)平面重合。例3.：a , b , c , d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證： a , b , c,d 共面.證明1 0假設(shè)當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè) a , b , c相交于一點(diǎn)A,但A d,如圖1.圖1 直線d和A確定一個(gè)平面a.又設(shè)直線d與a, b, c分別相交于E, F, G, 那么 A, E, F, Ga.T A, Ea, A, E a , a a.同理可證b a, C

5、 a. a, b, c, d在同一平面a內(nèi).2°當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖 2.這四條直線兩兩相交，那么設(shè)相交直線 a, b確定 一個(gè)平面a.設(shè)直線C與a, b分別交于點(diǎn)H, K,那么H, Ka.又 H, K C, C a.同理可證d a. a, b, c, d四條直線在同一平面a內(nèi).說(shuō)明：證明假設(shè)干條線或假設(shè)干個(gè)點(diǎn)共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理 3或推論, 由題給條件中的局部線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，然后再根據(jù)公理 1證明其余的線 或點(diǎn)均在這個(gè)平面內(nèi).此題最容易無(wú)視“三線共點(diǎn)這一種情況.因此，在分 析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問(wèn)題中每一句話的含義.“有且只有一個(gè)的含義分兩局部理解，“有

6、說(shuō)明圖形存在，但不唯一，“只有一個(gè)說(shuō)明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個(gè)既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)中，“確定一個(gè)，“可以作且只能作一個(gè)與“有且只有一個(gè) 是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性和“唯一性兩方面來(lái)論證。推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推理模式：A a 存在唯一的平面，使得A , l推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。推理模式：a b P存在唯一的平面，使得a,b推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。推理模式：a/b存在唯一的平面，使得a,b練習(xí)：1.如圖，在平行六面體

7、ABCD ABCD的中，AG BD = O, B1D 平面A1BC= P. 求證：P BQ.證明 在平行六面體 ABCD ABCD中， BD 平面 ABG= P,.P 平面 ABC, P BiD./ BD 平面BBDD.二P平面AiBG,且P平面BBDD.GAB P平面 ABG 平面 BBDD,AGBiD = O,AG 平面 ABG, BD 平BBDD, O 平面AiBG,且O 平面BBDD.又B平面AiBG，且B平面BBDD,.平面 ABG 平面 BBDD= BO. P BO說(shuō)明一般地，要證明一個(gè)點(diǎn)在某條直線上，只要證明這個(gè)點(diǎn)在過(guò)這條直線的兩個(gè) 平面上。n、空間兩條直線1、 空間兩直線的位置

8、關(guān)系：1相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；2平行一一在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；3異面一一不在任何.一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；2、 公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。推理模式：a/b,b/c a/c。3、等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。4、 等角定理的推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩條直線所成的 銳角或直角相等。5、異面直線判定定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線， 和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線 是異面直線。推理模式： A , B ,l , B l AB與I是異面直線。異面直線的判 定方法：判定定理；定義法；反證法是

9、證明兩直線異面的有效方法。a例1 不共面的三條直線a、b、c相交于點(diǎn)P , A a , B a , G b , D c , 求證：AD與BG是異面直線.證一：反證法假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為a,那么點(diǎn) P、A、B、C、 D都在平面a內(nèi)，.直線a、b、c都在平面a內(nèi)，與條件a、b、c不共面矛 盾，假設(shè)不成立， AD和 BC是異面直線。證二：直接證法V a n C=P,.它們確定一個(gè)平面，設(shè)為a,由C平面a, B平面a, AD 平面a, B AD，二AD和BC是異面直線。6、異面直線所成的角：兩條異面直線 a, b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn) 0作直線a a,b b ,a,b所成的角的大小與點(diǎn) 0的選

10、擇無(wú)關(guān)，把a(bǔ) ,b所成的銳角或直角叫異面直線a,b所成的角或夾角為了簡(jiǎn)便，點(diǎn) 0通常取在異面直線的一條上。異面直線所成的角的范圍：oR。7、異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么叫兩條異面直線垂直兩條異面直線a, b垂直，記作a b。8、 求異面直線所成的角的方法：幾何法：1 通過(guò)平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)做另一直線的平行線；2找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。向量法：用向量的夾角公式。例2在正方體ABCD a'b'c'd'中，M、N分別是棱AA'和AB的中點(diǎn)，P為 上底面ABCD的中心，那么直

11、線PB與MN所成的角為A A 300B45°C600DaB例3.條長(zhǎng)為2cm的線段AB夾在互相垂直的兩個(gè)平面、 之間，AB與 所成角為45°，與 所成角為 30°，且丨,AC l , BD l , C、D 是垂足，求1 CD的長(zhǎng)；2 AB與CD所成的角解：1連 BC AD 可證 AC丄 B, BDLa,A ABC=3°,/ BAD=45 , Rt ACB中, BC=AB cos30°=£3在 Rt ADB中, BD=AB sin45 °=V2在 Rt BCD中，可求出 CD=1c也可由 AB=aC+bD+C2AC BD- c

12、os900求得2 作 BE/I , CE/BD, BEn CE 貝U/ ABE就是 AB與 CD所成的角，連 AE 由 三垂線定理可證 BE!AE,先求出AE= 3，再在Rt ABE中，求得/ ABE=6b 說(shuō)明：在3中也可作CH!AB于H, DF丄AB于F, HF即為異面直線 CH DF的 公垂線，利用公式 CD=CH+DF+HF-2 - CH- DFcosa，求出 cos a =仝。39、兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線都垂直相交.的直線，我們稱之為異面直 線的公垂線。理解：因?yàn)閮蓷l異面直線互相垂直時(shí)，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交的含義。兩條異面直線的公垂線在這兩

13、條異面直線間的線段公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線間的距離。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。計(jì)算方法：幾何 法；向量法。2例4.在棱長(zhǎng)為a的正四面體中，相對(duì)兩條棱間的距離為.答案：一a2例5.兩條異面直線a、b間的距離是1cm它們所成的角為60°, a、b上各有 一點(diǎn)A、B,距公垂線的垂足都是10cm,那么A、B兩點(diǎn)間的距離為 .答案：101cm 或301cm練習(xí)：1.如圖，在正方體 ABC® ABCD的中，求證: 段.證明：如圖1,在正方體ABC® ABCD中， 連結(jié) BD, AC, BD, AC.設(shè) BD= M BD AC= N. M N分別是B1D, AC

14、的中點(diǎn).連結(jié)BM DN.BB/ DD，且 BB = DD,四邊形BDDB是平行四邊形.在平面 BDEB1 中，設(shè) B1D BM= 0, BD DN= O , 在平行四邊形BDDB中,DM/ NB 且 DIV= NB, 四邊形BNDM是平行四邊形.BM/ ND ,即 OM/ OD , O是BO的中點(diǎn),即 00= OB. 同理，OO= OD.OO= OB = OD.綜上,OB : OD = 1 : 2.BD被平面ABC分成1 : 2的兩D1BC1C圖12.如圖,平面a、B交于直線I, AB CD分別在平面a, B內(nèi),且與丨分別 交于B , D兩點(diǎn).假設(shè)/ AB亠/ CDB試問(wèn)AB, CD能否平行？

15、并說(shuō)明理由.證明：直線AB, CD不能平行.否那么,假設(shè) AB/ CD那么AB/ CD共面，記這個(gè)平面根據(jù)過(guò)一條直線及這條直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面，a與丫重合.為Y.AB, CDAB a , 由題知，AB a ,Y.Dy.Da,且 D AB,同理，B與丫重合.a與B重合，這與題設(shè)矛盾. AB, CD不能平行.3平行六面體ABCD-ABCD中，求證：CD所在的直線與BC所在的直線是異面 直線.證明：假設(shè)CD所在的直線與BC所在的直線不是 異面直線.設(shè)直線CD與BG共面a.C, D CD, B, C BG,： C, D, B, Ci a.CC/ BB,. CC, BB確定平BBCC, C, B

16、, C 平面 BBCC.不共線的三點(diǎn)C, B, C只有一個(gè)平面，平面a與平面BBGC重合.: D 平面BBCiC,矛盾.因此，假設(shè)錯(cuò)誤，即CD所在的直線與BC所在的直線是異面直線.根底穩(wěn)固訓(xùn)練CAB1、A. A卜列推斷中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是。l, A, B l, BlB. A, A,B,BC.丨,A lAD. A, B,C,a,b,c，且A、B、C不共線,重合2、判斷以下命題的真假，真的打“V ，假的打“x 。1空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。2兩條直線可以確定一個(gè)平面。3兩條相交直線可以確定一個(gè)平面 。4 一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。5三條平行直線可以確定三個(gè)平面。6兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面

17、。7兩個(gè)平面假設(shè)有不同的三個(gè)公共點(diǎn)，那么兩個(gè)平面重合。8假設(shè)四點(diǎn)不共面,那么每三個(gè)點(diǎn)一定不共線。xx“xxxx“。3、如以下圖，正四面體S ABC中,D為SC的中點(diǎn)，貝UBD與SA所成角的余弦值是32、.3Su/TXA 3B 3C 6D 6 d解析：取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)DEBE,貝U DE/ SA/ 1 /$ A E CL、/Z/ BDE就是BD與SA所成的角設(shè)SA=a,那么BD=BE=2 a12 2BDDEBE 23DE=2 a, COS / BDE=2 BD DE= 6。答案：C異面直線題型：異面直線的判定或求異面直線所成的角及距離例4、A是厶BCD平面外的一點(diǎn)，E、F分別是BC、AD的中

18、點(diǎn),(1) 求證：直線 EF與BD是異面直線；(2) 假設(shè)AC丄BD , AC=BD，求EF與BD所成的角。(1)證明：用反證法。假設(shè)EF與BD不是異面直線，那么 EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)， 這與A是厶BCD 平面外的一點(diǎn)相矛盾 故直線EF與BD是異面直線。(2)解：取CD的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG,那么EG/ BD，所以相交直線 EF與EG所成的銳 角或直角即為異面直線 EF與BD所成的角 在Rt EGF中，求得/ FEG=45 °，即異面直線EF與BD所成的角為45°。反思?xì)w納證明兩條直線是異面直線常用反證法；求

19、兩條異面直線所成的角，首先要 判斷兩條異面直線是否垂直，假設(shè)垂直，那么它們所成的角為90°假設(shè)不垂直，那么利用平移法求角，一般的步驟是“作(找)一證一算注意，異面直線所成角的范圍是(0，上。2例 5、長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 中， AB=a, BC=b AA =c，且 a>b,求：(1) 以下異面直線之間的距離：AB與CC1 ； AB與A1C1 ； AB與B1C。(2) 異面直線D1B與AC所成角的余弦值。(1)解：BC為異面直線AB與CC1的公垂線段，故 AB與CC1的距離為boAA1為異面直線AB與A1C1的公垂線段，故 AB與A1C1的距離為c oBB1 BCb

20、c過(guò)B作BE丄B1C，垂足為E,那么BE為異面直線AB與B1C的公垂線，BE=B1CCC1bc22即AB與B,C的距離為 b c(2)解法一：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)0,取DD1的中點(diǎn)F,連結(jié)OF AF,那么OF/ D1B ,二/ AOF就是異面直線 D1B與AC所成的角。、a2 b21a2 b2 c2 A0=2, 0F=2 d1b=24b2 c2AF= 2,在 AOF 中,2 2 2b2)(a2b2 c2)AO2 OF2 AF2-cos / AOF=2 AO OF = (a解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，用向量的夾角公式計(jì)算。反思?xì)w納1、兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段(公垂線段

21、)的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線間的距離。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。計(jì)算方法：幾何法；向量法。2、求異面直線所成的角的方法：幾何法：(1)通過(guò)平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)做另一直線的平行線；(2)找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。向量法：用向量的夾角公式?？臻g中的平行關(guān)系(I)、直線與平面平行1. 直線和平面的位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))；符號(hào)表示為：a? , (2) 直線和平面相交(有且只有一個(gè)公共點(diǎn))；符號(hào)表示為：a I A , (3)直線和平面平行(沒(méi)有公共點(diǎn))一一用兩分法進(jìn)行兩次分類.符號(hào)表示為：a/ .2. 線面平行的判

22、定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.推理模式：丨 ，m? ,l/m l / .3. 直線與平面平行證明方法： 證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行； 證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行; 證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。4線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行推理模式：丨，丨？ ， I m l/m .(n)、平面與平面平行1平行平面：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面互相平行.2圖形表示：畫兩個(gè)平面平行時(shí)，通常把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形的

23、相鄰兩邊分別畫 成平行的.3平行平面的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行. 推理模式：a , b , aI b P, a/, b/.平行平面的判定定理推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的 兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面互相平行.推理模式：aI b P,a刎，b ,a I b P ,a 刎V ,b ,a/a ,b/b/.4. 證明兩平面平行的方法：(1) 利用定義證明。利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，那么它們必相交，再導(dǎo)出矛盾。(2) 判定定理：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為線面平

24、行那么面面平行。用符號(hào)表示是：a n b, a a, b a, a /3, b/B,那么 a/B。(3 )垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。用符號(hào)表示是：4 平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。1 。5 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)有五條：1 兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為： "面面平行，那么線面平行。用符號(hào)表示是：aB, aU a,貝U a /3°2 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行， 這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為： "面面平行，那么線線平行。用符號(hào)表示是：/，仏門丫 =a,3Y =b，貝U a / b°3 一條直

25、線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。 這個(gè)定理可用于證線面垂直。用符號(hào)表示是：aB,a丄a，貝V a丄B。4夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。5過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面與平面平行。両面平行的判定*1纜面平行的判定*百面平務(wù)的削定，t厳幾平行線面平行*町面而3行tt幽面呼行的性瞼面面平行的性曲面面平荷的性質(zhì)*川、線線平行、線面平行、面面平行間的相互轉(zhuǎn)換三、根底穩(wěn)固訓(xùn)練1、假設(shè)兩條直線 m, n分別在平面a、B內(nèi)，且a / 那么m, n的關(guān)系一定是。DA平行B相交C異面D平行或異面2、一條直線假設(shè)同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這 兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是 .CA異面B相

26、交C平行D不能確定3、 a、b是兩條異面直線，A是不在a、b上的點(diǎn)，那么以下結(jié)論成立的是。如圖DA過(guò)A有且只有一個(gè)平面平行于 a、bC過(guò)A有無(wú)數(shù)個(gè)平面平行于 a、bB過(guò)A至少有一個(gè)平面平行于a、bD 過(guò)A且平行a、b的平面可能不存5、a、b、c為三條不重合的直線，a、B、丫為三個(gè)不重合的平面，直線均不在平面內(nèi),給出六個(gè)命題:Sb/c/a f/ c亠8甘EA=> a "3；p/ca.其中正確的命題是將正確的序號(hào)都填上?？键c(diǎn)：線面平行的判定與性質(zhì)題型：證明線面平行與線面平行性質(zhì)的運(yùn)用例1、如以下圖，兩個(gè)全等的正方形 ABCD和ABEF所在平面相交于 AB, M AC, N FB且A

27、M=FN求證：MN/平面BCE證法一：過(guò) M作MPL BC,NQL BE,P、Q為垂足，連結(jié)PQT MP/AB,NQ/ AB,.MP/ NQNMQBPE_2_2又 NQ= 2 BN= 2 CM=MP / MPQN!平行四邊形 MN/ PQ PQ?平面 BCE 而 MN 平面 BCE 二 MIN/ 平面 BCE證法二：過(guò) M作MG BC,交AB于點(diǎn)G 如以下圖，連結(jié) NG/ MG/ BC, BC?平面 BCE MG 平面 BCE MG/平面 BCEBG CM BN 又 GA = MA = NF , GN/ AF/ BE,同樣可證明 GIN/平面BCE又面 MG NG=G二平面 MNG平面 BCE

28、又mN?平面 MNG. MN/平面 BCE反思?xì)w納證明直線和平面的平行通常米用如下兩種方法：利用直線和平面平行的判定定理，通過(guò)“線線平行，證得“線面平行；利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過(guò)“面面平行，證得“線面平行 例2、如以下圖，設(shè)a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過(guò) AB的中點(diǎn)0作平面a與a、 b分別平行，M N分別是a、b上的任意兩點(diǎn)，MN與a交于點(diǎn)P,求證：P是MN的中點(diǎn)證明：連結(jié)AN,交平面a于點(diǎn) Q連結(jié)PQ/ b /a, b 平面 ABN 平面 ABNHa =0Q b / OQ又 0 為 AB 的中點(diǎn), Q為AN的中點(diǎn)/ a/a, a ?平面 AMN且平面 AMNTa =PQ a

29、 / PQ. P為MN的中點(diǎn)反思?xì)w納此題重點(diǎn)考查直線與平面平行的性質(zhì)考點(diǎn)：面面平行的判定與性質(zhì)題型：證明面面平行與面面平行性質(zhì)的運(yùn)用例3、如圖，在四棱錐 P - ABCD中，M,N分別是側(cè)棱PA和底面BC邊的中點(diǎn)，O是底面平 行四邊形ABCD勺對(duì)角線AC的中點(diǎn).求證：過(guò) O M N三點(diǎn)的平面與側(cè)面 PCD平行.證明：/ O M分別是AC PA的中點(diǎn)，連接 OM那么OM/PG/ OM 平面 PCD PC 平面 PCD OM/平面 PCB 連結(jié) ON 貝U ON/AB,由 AB/CD, 知 ON/CD./ ON伉平面PCD CD U 平面PCD ON/平面PCD又 OMT 0N=O OM ON確定

30、一個(gè)平面 OMN由兩個(gè)平面平行的判定定理，知平面OMN平面PCD平行，即過(guò) D M N三點(diǎn)的平面與側(cè)面PCD平 行。(二八強(qiáng)化穩(wěn)固訓(xùn)練1如以下圖，正方體 ABCABCD中，側(cè)面對(duì)角線 AB、BG上分別有兩點(diǎn) 求證：EF/平面 ABCD。證法一：分別過(guò) E、F作EML AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N丄BC于點(diǎn)N,連結(jié)MN/ BB 丄平面 ABCD 二 BB 丄 AB, BB 丄 BC EM/ BB, FN/ BB a EM/ FN又 BE=CF,. EM=FN故四邊形 MNFE是平行四邊形 EF/ MN又 MN在平面 ABCD中, EF/平面 ABCDB1E B1GE、F,且 BiE=CF-BiE=CF, BiA=GB,Ci F Bi G Ci B = Bi B FG/ BiC / BC又 EGA FG=G ABA BC=B證法二：過(guò)E作EG/ AB交BB于點(diǎn)G,連結(jié)GF,貝U B1A= BB平面 EFG/平面 ABCD而 EF在平面 EFG中， EF/平面 ABCD【點(diǎn)評(píng)】證明線面平行的常用方法是：證明直線平行于平面內(nèi)的一條直線；