第12章非正弦周期電流電路

1、第十二章第十二章 非正弦周期電流電路和信號(hào)頻譜非正弦周期電流電路和信號(hào)頻譜 重點(diǎn)重點(diǎn): : 1.1.非正弦周期量的有效值和平均功率非正弦周期量的有效值和平均功率 2.2.諧波分析法諧波分析法12.1 12.1 非正弦周期信號(hào)非正弦周期信號(hào) 概述：概述： 前幾章研究正弦穩(wěn)態(tài)分析。生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中通常還會(huì)遇前幾章研究正弦穩(wěn)態(tài)分析。生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中通常還會(huì)遇到按非正弦周期規(guī)律變化的電壓、電流。例如：到按非正弦周期規(guī)律變化的電壓、電流。例如： 1. 1. 交流發(fā)電機(jī)理論上是正弦波形，嚴(yán)格講是非正弦周期波。交流發(fā)電機(jī)理論上是正弦波形，嚴(yán)格講是非正弦周期波。 2 2. . 通訊工程傳輸?shù)母鞣N信號(hào)大多數(shù)是按

2、非正弦規(guī)律變化的。通訊工程傳輸?shù)母鞣N信號(hào)大多數(shù)是按非正弦規(guī)律變化的。 3. 3. 自動(dòng)控制和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中用到的脈沖信號(hào)也都是非正弦波。自動(dòng)控制和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中用到的脈沖信號(hào)也都是非正弦波。 T t i 0 t u 0 T 4. 4. 在正弦電源激勵(lì)下，若電路中有非線性元件，也會(huì)產(chǎn)生非在正弦電源激勵(lì)下，若電路中有非線性元件，也會(huì)產(chǎn)生非 正弦周期電壓電流。正弦周期電壓電流。 例：例： iu1+Du2+R0 u2tT2T0 it分析方法分析方法： 諧波分析法諧波分析法 非正弦周期激勵(lì)（電壓源或電流源）可展開(kāi)為非正弦周期激勵(lì)（電壓源或電流源）可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，每一項(xiàng)相當(dāng)于一個(gè)分量。根據(jù)每一項(xiàng)

3、相當(dāng)于一個(gè)分量。根據(jù)疊加定理疊加定理，把非正弦周期電路分，把非正弦周期電路分解成一系列不同頻率的正弦電路，對(duì)其中解成一系列不同頻率的正弦電路，對(duì)其中每個(gè)頻率每個(gè)頻率的正弦電路的正弦電路都使用相量法分析，并將結(jié)果寫成電壓電流的都使用相量法分析，并將結(jié)果寫成電壓電流的瞬時(shí)瞬時(shí)表達(dá)式，最表達(dá)式，最后將不同頻率的瞬時(shí)表達(dá)式疊加起來(lái)就得到非正弦周期電流電后將不同頻率的瞬時(shí)表達(dá)式疊加起來(lái)就得到非正弦周期電流電路的解路的解 諧波分析法諧波分析法。本章研究的主要內(nèi)容：本章研究的主要內(nèi)容： 非正弦周期激勵(lì)作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析。非正弦周期激勵(lì)作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析。12.2 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期

4、函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 周期函數(shù)周期函數(shù) f(t)= f(t+kT ), k =0,1,2, T 為周期。若滿足為周期。若滿足狄狄里赫利里赫利條件（給定周期函數(shù)，在有限的區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)條件（給定周期函數(shù)，在有限的區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限個(gè)極大值和極小值。電工技術(shù)中所遇到第一類間斷點(diǎn)和有限個(gè)極大值和極小值。電工技術(shù)中所遇到的周期函數(shù)通常都滿足這個(gè)條件），則可展開(kāi)成一個(gè)收斂的的周期函數(shù)通常都滿足這個(gè)條件），則可展開(kāi)成一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)： 或：或： 110)cos()(kkkmtkAAtf (2) 周期函數(shù)周期函數(shù) f(t)的展開(kāi)式的展開(kāi)式 1. 周期函數(shù)的展開(kāi)周

5、期函數(shù)的展開(kāi) 1110)sincos()(kkktkbtkaatf (1)(1), (2)式系數(shù)之間的關(guān)系式系數(shù)之間的關(guān)系 kkmkAa cos kkmkAb sin, 22,kkkmbaA kkkabtg ,(2)式中各項(xiàng)的專有名稱及物理意義式中各項(xiàng)的專有名稱及物理意義 A0 f (t ) 的恒定分量（直流分量）的恒定分量（直流分量） :)cos(111 tAm一次諧波或基波分量，其周期、頻率與一次諧波或基波分量，其周期、頻率與f (t )相同。相同。按按k k值奇偶性分類，又稱值奇偶性分類，又稱奇次諧波奇次諧波和和偶次諧波偶次諧波。 (k 2) 稱稱高次諧波分量高次諧波分量。 :)cos(

6、1kkmtkA 1110)sincos()(kkktkbtkaatf (1) 110)cos()(kkkmtkAAtf (2)00aA TdttfTa00)(1 系數(shù)的計(jì)算系數(shù)的計(jì)算 2/2/)(1TTdttfT TkdttktfTa01)cos()(2 2011)()cos()(1tdtktf )()cos()(111tdtktf TkdttktfTb01)sin()(2 2011)()sin()(1tdtktf )()sin()(111tdtktf例：例：一周期函數(shù)的波形如圖所表一周期函數(shù)的波形如圖所表, ,求此信號(hào)的傅氏級(jí)數(shù)求此信號(hào)的傅氏級(jí)數(shù). .t f(t) 0 T T/2 T Em

7、Em 解：解：f(t)在在一周期內(nèi)的表達(dá)式為一周期內(nèi)的表達(dá)式為: : )(tf0)(100 TdttfTa所以所以TtTEm 2/,2/0,TtEm TkdttktfTa01)cos()(2 0)cos()()cos(22/12/01 TTmTmdttkEdttkET TkdttktfTb01)sin()(2 )sin()sin(22/12/01 TTmTmdttkEdttkET )cos(1 2 kkEm )5sin(51)3sin(31)sin(4)(111 tttEtfm = 0, k 為偶數(shù)為偶數(shù); kEm4 , k 為奇數(shù)為奇數(shù)2. 頻譜圖頻譜圖 為表示一個(gè)周期函數(shù)分解成為表示一個(gè)周

8、期函數(shù)分解成傅氏級(jí)數(shù)后包含那些頻率分量和傅氏級(jí)數(shù)后包含那些頻率分量和各分量所占的各分量所占的“比重比重”, 引入頻引入頻譜圖的概念。譜圖的概念。 1. 幅度頻譜幅度頻譜：把長(zhǎng)度正比于把長(zhǎng)度正比于各次諧波振幅的線段（譜線）按各次諧波振幅的線段（譜線）按頻率高低依次排列。頻率高低依次排列。 2. 相位頻譜相位頻譜：把長(zhǎng)度正比于各次諧波初相的線段（譜線）：把長(zhǎng)度正比于各次諧波初相的線段（譜線）按頻率高低依次排列。按頻率高低依次排列。由于頻率是由于頻率是1的整數(shù)倍，所以稱為離散頻譜。的整數(shù)倍，所以稱為離散頻譜。1315171n1Akm幅度頻譜幅度頻譜03. 由由f (t)的對(duì)稱性簡(jiǎn)化的對(duì)稱性簡(jiǎn)化ak、

9、bk的計(jì)算的計(jì)算 f (t)為為偶函數(shù)，偶函數(shù)，即即f (t) = f (- -t) ，圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱，圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱0)(sin)(111 tdtktfbk -T/2T/20f (t)t)()cos()(2101tdtktfak 理解：理解：展開(kāi)式中只含展開(kāi)式中只含akcosk1t 項(xiàng)，偶函數(shù)展開(kāi)仍為偶函數(shù)項(xiàng)，偶函數(shù)展開(kāi)仍為偶函數(shù) f (t)為為奇函數(shù)，奇函數(shù)，即即f (t) = f ( t ) ，圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱-T/2T/20f (t)t 2200)(1TTdttfTa 0)()sin()(111tdtktfTak )()cos()(211tdtktfTbk f (

10、t)= f (t+T/2 )，稱為，稱為 鏡對(duì)稱鏡對(duì)稱，波形移動(dòng)半個(gè)周期后與原波，波形移動(dòng)半個(gè)周期后與原波形對(duì)稱于橫軸。形對(duì)稱于橫軸。TT/20f (t)t 2/02000)()(1)(1TTTTdttfdttfTdttfTaA0)2()(12/02/0 TTdtTtfdttfT可以證明：可以證明：a2k=0; b2k= 0, 即即022222 kkkbaA展開(kāi)式中只含展開(kāi)式中只含a2k+1、b2k+1, 即即21221212 kkkbaA項(xiàng)，故稱為項(xiàng)，故稱為奇奇(次次)諧波函數(shù)諧波函數(shù)(注意與奇函數(shù)的區(qū)別注意與奇函數(shù)的區(qū)別)。(2) 函數(shù)的奇偶性與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)，從而影響函數(shù)的奇偶性與計(jì)

11、時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)，從而影響ak， bk，進(jìn)而影響進(jìn)而影響k，但，但Akm與計(jì)時(shí)起點(diǎn)選擇無(wú)關(guān)。與計(jì)時(shí)起點(diǎn)選擇無(wú)關(guān)。(3) f (t)的波形越光滑，越接近正弦波，其展開(kāi)級(jí)數(shù)收斂越快，的波形越光滑，越接近正弦波，其展開(kāi)級(jí)數(shù)收斂越快，實(shí)際計(jì)算中所取級(jí)數(shù)項(xiàng)就越少。當(dāng)然這是在相同近似精度實(shí)際計(jì)算中所取級(jí)數(shù)項(xiàng)就越少。當(dāng)然這是在相同近似精度要求下進(jìn)行比較的。要求下進(jìn)行比較的。說(shuō)明說(shuō)明：(1) 對(duì)稱性分析可使函數(shù)的分解簡(jiǎn)化。書(shū)中例對(duì)稱性分析可使函數(shù)的分解簡(jiǎn)化。書(shū)中例121，f (t)對(duì)對(duì)稱原點(diǎn)，稱原點(diǎn)，a0ak0， f (t)波形鏡對(duì)稱，波形鏡對(duì)稱，b2k0，所以僅需，所以僅需計(jì)算計(jì)算b2k1設(shè)非正弦周期電流為

12、設(shè)非正弦周期電流為 110)cos(kkkmtkIIi 則則 TkkkmdttkIITI02110 )cos(1 前已定義，周期電流的有效值前已定義，周期電流的有效值 TdtiTI0211. 有效值有效值 12-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率 上式中展開(kāi)上式中展開(kāi)i 2 并積分，將含有如下的積分項(xiàng)：并積分，將含有如下的積分項(xiàng)： TdtIT0201 TkkmdttkIT0122)(cos1 TkkmdttkIIT010)cos(21 TqkqmkmdttqtkIIT011)cos()cos(21 故故 TkkkmdttkIITI02110 )cos(1 3 , 2 , 1,

13、222 kIIkkm0 qk , 0 222120IIII20I 對(duì)于非正弦周期電壓對(duì)于非正弦周期電壓 110)cos(kkkmtkUUu 則則u 的有效值的有效值 222120UUUU2. 平均值平均值 TdefavdtiTI01周期電壓電流均可如此定義周期電壓電流均可如此定義 正弦電流的平均值正弦電流的平均值 40400sin4cos4cos1TmTmTmavtTIttdTIdttITI IIImm898.0637.02 相當(dāng)于全波整流后的平均值。用全波整流儀表測(cè)量周期電源電相當(dāng)于全波整流后的平均值。用全波整流儀表測(cè)量周期電源電流讀流讀平均值。平均值。而磁電系（直流）儀表讀而磁電系（直流）

14、儀表讀恒定分量恒定分量)1(0 TidtT )1(02 TdtiT 而電磁系（交流）儀表讀而電磁系（交流）儀表讀有效值有效值ui任意一端口3. 平均功率平均功率 iup TdtpTP01 110)cos(KukkmtkUUu 110)cos(kikkmtkIIi )cos(110 kikkmtkII )cos(110 kukkmtkUU TkikkmkukkmdttkIItkUUT0110110 )cos()cos(1 TkikkmkukkmdttkIItkUUTP0110110 )cos()cos(1 TdtIUT0001容易分析容易分析, 上式積分將含有如下的積分項(xiàng)：上式積分將含有如下的積

15、分項(xiàng)： TikkmdttkIUT010)cos(1 =0 TukkmdttkUIT010)cos(1 =0 TiqukqmkmdttqtkIUT011)cos()cos(1 qk , 0 TikukkmkmdttktkIUT011)cos()cos(1 ikukkkkkkIU ,3 , 2 , 1,cos00IU 可見(jiàn)，同頻率的電壓電流構(gòu)成有功功率，總功率等于恒定可見(jiàn)，同頻率的電壓電流構(gòu)成有功功率，總功率等于恒定分量構(gòu)成的功率和各次諧波平均功率的代數(shù)和（有源電路分量構(gòu)成的功率和各次諧波平均功率的代數(shù)和（有源電路k 可可能大于能大于/2） 21022211100coscosPPPIUIUIUP

16、100coskkkkIUIUP 例例1. 已知無(wú)源一端口已知無(wú)源一端口N的電壓、電流分別為的電壓、電流分別為:Vttu)303cos(225)cos(2501011 Atti)17.103cos(23 . 4)38. 6cos(221.10211 求求u、i 的有效值及端口的有效值及端口N吸收的功率吸收的功率P。 解：解： VU8 .56255010222 AI26.113 . 421.102222 33311100coscos IUIUIUP uiNW46.628 210 38. 6cos21.1050 83.19cos3 . 425 例例2. 已知已知 R=1 以及以及Vtu)15cos(

17、210101 Ati)75cos(2211 求求N吸收的功率吸收的功率P。解：解：)75cos(22)15cos(2109111 ttiuu WP15)7511. 4cos(2165. 919 注意到：注意到：7521510 9 Vt)11. 4cos(2165. 91 11. 4165. 9 )6015(152 RuuiN12-4 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算分析方法分析方法：諧波分析法諧波分析法諧波分析法的思想諧波分析法的思想：對(duì)于非正弦周期電壓源對(duì)于非正弦周期電壓源 )cos(2)cos(2)(2221110 tUtUUtuSSs+_)(tus等效為等效為問(wèn)題問(wèn)題：非

18、正弦周期電源作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析非正弦周期電源作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析+_+_0U1u2uuS 作用下電路的響應(yīng)，根據(jù)疊加定理為作用下電路的響應(yīng)，根據(jù)疊加定理為U0以及各次諧波以及各次諧波u1、u2、 單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。 210uuU )cos(2)cos(2)(2221110 tItIItis對(duì)于非正弦周期電流源對(duì)于非正弦周期電流源)(tis等效為等效為 iS 作用下電路的響應(yīng)，根據(jù)疊加定理為作用下電路的響應(yīng)，根據(jù)疊加定理為I0以及各次諧波電流以及各次諧波電流i1、i2、 單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。 210iiI1i

19、0I2i將非正弦周期電源展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)，這些非正弦周期電源在將非正弦周期電源展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)，這些非正弦周期電源在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)等于它們的直流分量及各次諧波分量分別電路中產(chǎn)生的響應(yīng)等于它們的直流分量及各次諧波分量分別作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。具體的步驟如下：作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。具體的步驟如下：1. 將非正弦周期電源分解為傅氏級(jí)數(shù)，高次諧波取到哪一項(xiàng)為將非正弦周期電源分解為傅氏級(jí)數(shù)，高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，需根據(jù)計(jì)算的精度確定。止，需根據(jù)計(jì)算的精度確定。2. 根據(jù)疊加定理，將直流和各次諧波電源按頻率分別作用，依根據(jù)疊加定理，將直流和各次諧波電源按頻率分別作用，依次計(jì)算它們的響應(yīng)。次計(jì)算它們的響

20、應(yīng)。a. 對(duì)恒定分量按直流電阻電路計(jì)算（電容開(kāi)路，電感短路）。對(duì)恒定分量按直流電阻電路計(jì)算（電容開(kāi)路，電感短路）。注意電容上有直流電壓，電感上有直流電流，疊加時(shí)勿忘。注意電容上有直流電壓，電感上有直流電流，疊加時(shí)勿忘。 b. 對(duì)各次諧波電路，均使用相量法計(jì)算。但需注意：感抗，對(duì)各次諧波電路，均使用相量法計(jì)算。但需注意：感抗，容抗都是頻率的函數(shù)，對(duì)某個(gè)頻率電路可能發(fā)生諧振。容抗都是頻率的函數(shù)，對(duì)某個(gè)頻率電路可能發(fā)生諧振。3. 將各次諧波解的瞬時(shí)值疊加得到非正弦周期電路的解。將各次諧波解的瞬時(shí)值疊加得到非正弦周期電路的解。例例1： 圖示電路圖示電路(a)中中 21)1(LXL ,151,1)1(

21、CXC ,102 R,5,1 R)303cos(7 .70cos4 .14110)(011 tttu V 求各支路電流及求各支路電流及R1支路的平均功率。支路的平均功率。 解解：) 0(2510) 0(11)0(0IARUI 0)0(2 I(a)+_)(tu1i2i1R0i2RCLi）當(dāng)電源的直流分量當(dāng)電源的直流分量U(0)單獨(dú)單獨(dú) 作用時(shí)，電路如圖作用時(shí)，電路如圖(b) 則則(b)_+U(0)1R2R)0(0I)0(1I)0(2Iii）當(dāng)電源的基波分量單獨(dú)作當(dāng)電源的基波分量單獨(dú)作 用時(shí)，電路如圖用時(shí)，電路如圖(c) VU0100024 .141)1( )1(1)1()1(1LjXRUI A3

22、1.5655. 5 )1(2)1(1)1(0III (c)+_)1(U)1(2I1R)1(LX)1(0I)1(1I)1(CX2RA8 .2155.18 25100j )1(2)1()1(2CjXRUI 1510100j A38. 643.20 27. 23 .20j iii）當(dāng)電源的三次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖當(dāng)電源的三次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖(d) VU30503027 .70)3( 63)1()3(LLXX 531)1()3(CCXX)3(1)3()3(1LjXRUI )3(2)3()3(2CjXRUI A17.1016. 8 (d)+_)3(U)3(1I)3(2I1R)3(LX

23、)3(CX2R)3(0IA19.204 . 6 653050j A57.5647. 4 5103050j )3(2)3(1)3(0III AI2)0(1 0)0(2 IAI8 .2155.18)1(1 Ati)8 .21cos(255.181)1(1 AI19.204 . 6)3(1 Ati)19.203cos(24 . 61)3(1 )3(1)1(1)0(11)(iiIti AI31.5655. 5)1(2 Ati)31.56cos(255. 51)1(2 AI57.5647. 4)3(2 Ati)57.563cos(247. 41)3(2 )3(2)1(2)0(22)(iiIti 同理同理

24、 Att)19.203cos(24 . 6)8 .21cos(255.18211 Att)57.563cos(247. 4)31.56cos(255. 511 Attti)17.103cos(261. 8)38. 6cos(243.202)(110 3)3(1)3(11)1(1)1(1)0(1)0(11coscos IUIUIUP 210 或：或： 2)3(12)1(12)0(121)()()(IIII WRIP3 .1945506.3891211 R1支路吸收的平均功率支路吸收的平均功率Atti)19.203cos(24 . 6)8 .21cos(255.182111 )303cos(7 .

25、70cos4 .14110)(011 tttu V W1947 8 .21cos55.18100 19.50cos4 . 650 06.389 2224 . 655.182 例例2： 圖示如電路圖示如電路(a)，已知，已知 VtuS)452cos(2420 求求uC 。,25. 0,1,1,2cos210FCHLRAtis 解解：uCL isuS+C+R(a) (b) U0+UC(0)+RUC(0) = U0 =20 V i）U0=20 V，I0 = 0 A，當(dāng)電，當(dāng)電源的直流分量作用時(shí)，電源的直流分量作用時(shí)，電路如圖路如圖(b) VUS454)1( AIS010)1( LjCjRLjUIUS

26、SC 11)1()1()1( VtuC)1 . 72cos(25 .11)1( )1()0(CCCuUu ii）當(dāng)電源的基波分量作用當(dāng)電源的基波分量作用 時(shí)時(shí), 電路如圖電路如圖(c) L +C+R(c) )1(SU)1(SI)1(CUV1 . 75 .11 5 . 05 . 014542110jjj Vt)1 . 72cos(25 .1120 例例3：電路如圖電路如圖(a), 已知已知 VtuS5cos254 求電流求電流i 。,10cos25Atis AUI22)0()0( 解解： i）當(dāng)電源的直流分量作用時(shí)，當(dāng)電源的直流分量作用時(shí)， 電路如圖電路如圖(b) (a) +0.1F2 1 us

27、is0.2 Hi(b) +2 1 Us(0)I(0)ii）當(dāng)電源的基波分量作用時(shí)，當(dāng)電源的基波分量作用時(shí)， 電路如圖電路如圖(b) )1(I)1(SU(b) +2 1 Lj1 AjLjUI65.26236. 2120521)1()1( sradVUS/5,051)1( iii）當(dāng)電源的二次諧波分量作用時(shí)，當(dāng)電源的二次諧波分量作用時(shí)， 電路如圖電路如圖(c) sradAIS/10,052)2( )2(SI2 )2(I0.1F1 0.2H(c) ,4525 . 205222)2(AjjI Ati)65.265cos(2236. 2)1( Ati)4510cos(5)2( AttiiIi)4510c

28、os(5)65.265cos(2236. 22)2()1()0( 例例4：電路如圖電路如圖(a), 已知已知 ,10cos305cos2010VttuS L=1H, C1=0.01F, C2=0.03 F, 求電壓求電壓u(t) 。(a)+_5 5 L C1C2+_u(t)us解解：i）電源的直流分量作用電源的直流分量作用 VUU52/S(0)0 ii）電源的基波分量作用電源的基波分量作用, L,C1并聯(lián)等效阻抗并聯(lián)等效阻抗 15. 01111)1(jLjCjZ Z (1) 與與C2串聯(lián)串聯(lián), 等效阻抗等效阻抗 012(1)1(CjZZ 故故L,C1,C2部分發(fā)生串聯(lián)諧振部分發(fā)生串聯(lián)諧振, 有有VU0)1( iii）電源的二次諧波分量作用電源的二次諧波分量作用 LjCjZ 21211)2( 故故L,C1發(fā)生病聯(lián)諧振發(fā)生病聯(lián)諧振, 所以所以 tu10cos3021(2) Vtu10cos155 從而從而 1011 . 01jj Vt10cos15 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)基本概念基本概念直流電路直流電路 正