第10章第1課時兩個計數(shù)原理

1、第十章計數(shù)原理和概率第十章計數(shù)原理和概率第第1課時兩個計數(shù)原理課時兩個計數(shù)原理 1理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 2會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題一些簡單的實際問題 請注意請注意 兩個計數(shù)原理是解決排列、組合問題的基本方法，同時又兩個計數(shù)原理是解決排列、組合問題的基本方法，同時又能獨立地解決一些簡單的計數(shù)問題，在本章中占有十分重能獨立地解決一些簡單的計數(shù)問題，在本章中占有十分重要的地位因此它是高考中必考的一個知識點要的地位因此它是高考中必考的一個知識點 1分類計數(shù)原

2、理的推廣分類計數(shù)原理的推廣 完成一件事，有完成一件事，有n類辦法，在第類辦法，在第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方種不同的方法，在第法，在第2類辦法中有類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法在第在第n類辦法中類辦法中有有mn種不同的辦法，那么完成這件事共有種不同的辦法，那么完成這件事共有N_種不同的方法種不同的方法m1m2mn 2分步計數(shù)原理的推廣分步計數(shù)原理的推廣 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n個步驟，做第個步驟，做第1步有步有m1種不同的方種不同的方法，做第法，做第2步有步有m2種不同的方法種不同的方法做第做第n步有步有mn種不同的種不同的方法，那么完成這件事共有方法，那么

3、完成這件事共有N 種不同的種不同的方法方法m1m2mn 1教學大樓共有教學大樓共有4層，每層都有東西兩個樓梯，由一層到層，每層都有東西兩個樓梯，由一層到4層共有走法種數(shù)為層共有走法種數(shù)為() A6 B23 C42 D44 答案答案B 解析解析由一層到二層有由一層到二層有2種選擇，二層到三層有種選擇，二層到三層有2種選擇，種選擇，三層到四層有三層到四層有2種選擇，種選擇，由分步計數(shù)原理可知走法種數(shù)為由分步計數(shù)原理可知走法種數(shù)為238. 2已知已知1,2X1,2,3,4,5，滿足這個關(guān)系式的集合，滿足這個關(guān)系式的集合X共共有有() A2個個 B6個個 C4個個 D8個個 答案答案D 3若集合若集合

4、P1,2,3，Q2,3,4,5，定義，定義PQ(a，b)|aP，bQ，則集合，則集合PQ中元素的個數(shù)為中元素的個數(shù)為() A4 B6 C12 D20 答案答案C 解析解析確定集合確定集合PQ中元素中元素(a，b)需要分兩步：需要分兩步： 第一步：確定第一步：確定a，有，有3種不同方法；種不同方法； 第二步：確定第二步：確定b，有，有4種不同方法種不同方法 由分步計數(shù)原理可知元素個數(shù)有由分步計數(shù)原理可知元素個數(shù)有3412(個個) 選選C 4(2015衡水調(diào)研卷衡水調(diào)研卷)為了應對烏克蘭危機，俄羅斯天然為了應對烏克蘭危機，俄羅斯天然氣公司決定從氣公司決定從10名辦公室工作人員中裁去名辦公室工作人員

5、中裁去4人，要求甲、乙人，要求甲、乙二人不能全部裁去，則不同的裁員方案的種數(shù)為二人不能全部裁去，則不同的裁員方案的種數(shù)為_ 答案答案182 5(2015上海普陀區(qū)期末上海普陀區(qū)期末)2015年上海春季高考有年上海春季高考有8所高校所高校招生，如果某招生，如果某3位同學恰好被其中位同學恰好被其中2所高校錄取，那么錄取所高校錄取，那么錄取方法的種數(shù)為方法的種數(shù)為_ 答案答案168 例例1(1)全體兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)全體兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？共有多少個？ 【解析解析】方法一按十位數(shù)上的數(shù)字分別是方法一按十位數(shù)上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8

6、的情況分成的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是兩位數(shù)分別是8個，個，7個，個，6個，個，5個，個，4個，個，3個，個，2個，個，1個個 由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有：由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有： 8765432136(個個)題型一題型一 兩個計數(shù)原理兩個計數(shù)原理 方法二按個位數(shù)字是方法二按個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8類，在每一類中類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，個，2個，個，3個，個，4個，個，5個，個，6個，個，7個，個，8個，所以按分類加法計數(shù)原理共有

7、：個，所以按分類加法計數(shù)原理共有： 1234567836(個個) 【答案答案】36 (2)已知已知a1,2,3，b0,1,3,4，r1,2，則方程，則方程(xa)2(yb)2r2所表示的不同的圓的個數(shù)有所表示的不同的圓的個數(shù)有_ 【解析解析】a1,2,3，a有有3種方法，同理種方法，同理b的取法的取法有有4種，種，r有有2種，又只有種，又只有a，b，r依次確定后，才能確定圓，依次確定后，才能確定圓，共有共有34224個不同的圓個不同的圓 【答案答案】24 探究探究1利用兩個計數(shù)原理解題，必須類步分明，依實際問利用兩個計數(shù)原理解題，必須類步分明，依實際問題是分類，還是分步，必須由題而定如題是分類

8、，還是分步，必須由題而定如(1)題中完成這件題中完成這件事分事分4類即可；類即可；(2)題中完成這件事，需分三步，這三步完題中完成這件事，需分三步，這三步完成后這件事才算告終成后這件事才算告終(1)設設x，yN*，直角坐標平面中的點為，直角坐標平面中的點為P(x，y) 若若xy6，這樣的，這樣的P點有點有_個個 若若1x4,1y5，這樣的，這樣的P點又有點又有_個個 【解析解析】當當x1,2,3,4,5時，時，y值依次有值依次有5,4,3,2,1個，不個，不同同P點共有點共有5432115(個個) x有有1,2,3,4這這4個不同值，而個不同值，而y有有1,2,3,4,5這這5個不同值，共個不

9、同值，共有不同有不同P點點4520(個個) 【答案答案】1520思考題思考題1 (2)設集合設集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)是坐標平面是坐標平面上的點，上的點，a，bM，P可以表示可以表示 平面上多少個不同的點？平面上多少個不同的點？ 第二象限內(nèi)的多少個點？第二象限內(nèi)的多少個點？ 不在直線不在直線yx上的多少個點？上的多少個點？ 【思路思路】要確定平面上點的坐標，需確定橫縱坐標，可要確定平面上點的坐標，需確定橫縱坐標，可分兩步完成，需用分步計數(shù)原理分兩步完成，需用分步計數(shù)原理 【解析解析】分兩步：第一步，確定橫坐標分兩步：第一步，確定橫坐標6種方法，第二種方法，第二步確定縱坐標有步

10、確定縱坐標有6種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理得種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理得N6636. 分兩步；第一步確定橫坐標分兩步；第一步確定橫坐標(小于小于0)有有3種方法；第二步種方法；第二步確定縱坐標確定縱坐標(大于大于0)有有2種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理得種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理得N326. 分兩步：第一步確定橫坐標有分兩步：第一步確定橫坐標有6種方法；第二步確定縱坐種方法；第二步確定縱坐標有標有5種方法根據(jù)分步計數(shù)原理得種方法根據(jù)分步計數(shù)原理得N6530. 【答案答案】36630 例例2(1)春回大地，大肥羊?qū)W校的春季運動會正在如火如春回大地，大肥羊?qū)W校的春季運動會正在如火如荼地進行，喜羊羊、懶羊羊、沸羊

11、羊、暖羊羊荼地進行，喜羊羊、懶羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要爭只小羊要爭奪奪5項比賽的冠軍，則有項比賽的冠軍，則有_種不同的奪冠情況種不同的奪冠情況 【答案答案】45 (2)5名旅客投宿到一個旅店的名旅客投宿到一個旅店的3個房間，問共有多少種不同個房間，問共有多少種不同的住店方法？的住店方法？ 【解析解析】安排第安排第1名旅客有名旅客有3個房間個房間(3種方法種方法) 安排第安排第2名旅客也有名旅客也有3個房間個房間(3種方法種方法)，. 共有共有3333335(種種)不同的住店方法不同的住店方法 【答案答案】35 探究探究2解決計數(shù)問題時一定要明確研究的對象是什么？怎解決計數(shù)問題時一定要明確

12、研究的對象是什么？怎樣才能完成計數(shù)，本題給出解決此類問題的一種方法：住樣才能完成計數(shù)，本題給出解決此類問題的一種方法：住店法店法(1)三封信投入到三封信投入到4個不同的信箱中，共有個不同的信箱中，共有_種不同的投法種不同的投法 【解析解析】方法一：只要三封信都投進了信箱，這件事就方法一：只要三封信都投進了信箱，這件事就算完成，故分三步：算完成，故分三步： 第一步，將第一封信投進信箱，有第一步，將第一封信投進信箱，有4種方法種方法 第二步，將第二封信投進信箱，有第二步，將第二封信投進信箱，有4種方法種方法 第三步，將第三封信投進信箱，有第三步，將第三封信投進信箱，有4種方法種方法 由分步計數(shù)原理

13、得共有由分步計數(shù)原理得共有44464種不同投法種不同投法 方法二：本題相當于方法二：本題相當于3個人住個人住4間店間店 【答案答案】64思考題思考題2 (2)動物園的一個大籠子里，有動物園的一個大籠子里，有4只老虎，只老虎，3只羊，同一只羊只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，問老虎將羊吃光的情況有多少種？不能被不同的老虎分食，問老虎將羊吃光的情況有多少種？ 【解析解析】方法一：因為方法一：因為3只羊都被吃掉，故應分為三步，只羊都被吃掉，故應分為三步，逐一考慮每只羊都可能被逐一考慮每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉，故有只老虎中的一只吃掉，故有4種可能，按照分步乘法計數(shù)原理，故有種可能，按照分步

14、乘法計數(shù)原理，故有4444364種種 方法二：本題相當于方法二：本題相當于3個人住個人住4間店間店 【答案答案】64 例例3(1)(2013山東理山東理)用用0,1，9十個數(shù)字，可以組成十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為() A243B252 C261 D279 【解析解析】由分步乘法計數(shù)原理知：用由分步乘法計數(shù)原理知：用0,1，9十個數(shù)十個數(shù)字組成三位數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復數(shù)字可有重復數(shù)字)的個數(shù)為的個數(shù)為91010900，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為998648，則組，則組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為成有重復數(shù)字的三

15、位數(shù)的個數(shù)為900648252，故選，故選B. 【答案答案】B題型二題型二 兩個原理的應用兩個原理的應用 (2)7名志愿者中安排名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動若每天安排動若每天安排3人，則不同的安排方案共有人，則不同的安排方案共有_種種(用數(shù)字作答用數(shù)字作答)【答案】140 探究探究3在解決實際問題的過程中，并不一定是單一的分類在解決實際問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而是可能同時應用兩個計數(shù)原理，即分類時，每或分步，而是可能同時應用兩個計數(shù)原理，即分類時，每類的方法可能要運用分步完成，而分步時，每步的方法可類的方法可能要運用分步完

16、成，而分步時，每步的方法可能會采取分類的思想求另外，具體問題是先分類后分步，能會采取分類的思想求另外，具體問題是先分類后分步，還是先分步后分類，應視問題的特點而定解題時經(jīng)常是還是先分步后分類，應視問題的特點而定解題時經(jīng)常是兩個原理交叉在一起使用，分類的關(guān)鍵在于要做到兩個原理交叉在一起使用，分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不重不漏不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設計分步的程序，即合理，分步的關(guān)鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步分類，準確分步(1)某校開設某校開設A類選修課類選修課3門，門，B類選修課類選修課4門，一位同學從中共選門，一位同學從中共選3門若要求兩類課程中各至少選一門若要求兩類課

17、程中各至少選一門，則不同的選法共有門，則不同的選法共有() A30種種 B35種種 C42種種 D48種種思考題思考題3【答案】A (2)若將字母若將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有法共有() A12種種 B18種種 C24種種 D36種種【答案】A 例例4如圖，一個地區(qū)分為如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，若要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有若要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，種顏色可供選擇

18、，則不同的著色方法共有則不同的著色方法共有_種種(用數(shù)字作答用數(shù)字作答) 方法二：本小題在各類資料上都能找到影子，但所給圖形方法二：本小題在各類資料上都能找到影子，但所給圖形變化后，需要有敏銳的觀察力本題能較深刻地測試邏輯變化后，需要有敏銳的觀察力本題能較深刻地測試邏輯思維能力思維能力 因區(qū)域因區(qū)域1與其他四個區(qū)域都相鄰，宜先考慮區(qū)域與其他四個區(qū)域都相鄰，宜先考慮區(qū)域1有有4種涂種涂法若區(qū)域法若區(qū)域2,4同色，有同色，有3種涂色，此時區(qū)域種涂色，此時區(qū)域3,5均有兩種涂均有兩種涂法，涂法總數(shù)為法，涂法總數(shù)為432248種；若區(qū)域種；若區(qū)域2,4不同色，先不同色，先涂區(qū)域涂區(qū)域2有有3種方法，再

19、涂區(qū)域種方法，再涂區(qū)域4有有2種方法此時區(qū)域種方法此時區(qū)域3,5也也都只有都只有1種涂法，涂法總數(shù)為種涂法，涂法總數(shù)為4321124種因此種因此涂法共有涂法共有482472種種 【答案答案】72 探究探究4做為兩個計數(shù)原理應用之一的做為兩個計數(shù)原理應用之一的“涂色問題涂色問題”，曾是，曾是高考的熱點，解決此類問題體現(xiàn)了兩個原理的精髓高考的熱點，解決此類問題體現(xiàn)了兩個原理的精髓若給一個各邊不等的凸五邊形的各邊染若給一個各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種，但是不色，每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色，則不同的染色方法共有允許相鄰

20、的邊有相同的顏色，則不同的染色方法共有_種種 【解析解析】方法一：如圖，染五條邊總體分五步，染每一方法一：如圖，染五條邊總體分五步，染每一邊為一步邊為一步思考題思考題4 當染邊當染邊1時有時有3種染法，則染邊種染法，則染邊2有有2種染法種染法 (1)當當3與與1同色時有同色時有1種染法，則種染法，則4有有2種，種，5有有1種，此時染種，此時染法總數(shù)為法總數(shù)為3212112(種種) (2)當當3與與1不同色時，不同色時，3有有1種，種，當當4與與1同色時，同色時，4有有1種，種，5有有2種；種；當當4與與1不同色時，不同色時，4有有1種，種，5有有1種則此時有種則此時有321(1211)18(種

21、種) 綜合綜合(1)、(2)，由分類加法計數(shù)原理，可得染法的種數(shù)為，由分類加法計數(shù)原理，可得染法的種數(shù)為30種種【答案】30 對于分類計數(shù)原理，要重點抓住對于分類計數(shù)原理，要重點抓住“類類”字，應用時要注意字，應用時要注意“類類”及及“類類”之間的獨立性和并列性，對于分步計數(shù)原之間的獨立性和并列性，對于分步計數(shù)原理，要重點抓住理，要重點抓住“步步”字，應用時要注意字，應用時要注意“步步”與與“步步”之間的相依性和連續(xù)性，對于稍復雜問題，常常結(jié)合相關(guān)之間的相依性和連續(xù)性，對于稍復雜問題，常常結(jié)合相關(guān)知識混合使用兩個計數(shù)原理知識混合使用兩個計數(shù)原理 1從從1到到10的正整數(shù)中，任意抽取兩個相加所得和為奇數(shù)的正整數(shù)中，任意抽取兩個相加所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是的不同情形的種數(shù)是() A10B15 C20 D25 答案答案D 解析解析當且僅當偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù)，從而不同情形當且僅當偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù)，從而不同情形有有5525(種種) 2從集合從集合1,2,3，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為() A5 B4 C6 D8 答案答案D 3(2014安徽