數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料(理工)

1、數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料(理工)第一講 函數(shù)與極限（一）內(nèi)容要點(diǎn)及重要方法提示1.不等式與有限和公式: 1. 對n個正數(shù)式中的三項(xiàng)依次稱為這些正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù).2. 對n個實(shí)數(shù)3. 對2n個實(shí)數(shù)4. 若0a>-1,且整數(shù)n>1,則有5. 若實(shí)數(shù)均大于-1且同號,則6. 對任意實(shí)數(shù)x有且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=0 ;若7. 8. 9. 10. 11. 12.13. 14.2.函數(shù),復(fù)合函數(shù)與變量替換.例1.1.設(shè)函數(shù)f(x) =，fj(x) = 1- x，且j(x)³0，求j(x) . (1990北京理工大學(xué)競賽)解. 因3.簡單函數(shù)方程的求解.一般通過變量替換

2、,從方程得到關(guān)于f(x)、fg(x)等的方程組,然后解出f(x) .例1.2.求滿足方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy的函數(shù)f(x),其中f(0)=a與f(p/ 2)=b為已知常數(shù) .解. 以(x, y)=(0,u),(u+p/ 2,p/ 2),(p/ 2, u+p/ 2)代入原方程,可得含f(u)、f(-u)、f(u+p)的方程組,然后解出f(u) = a cos u + bsin u ,即有f(x) = a cos x + bsin x .4.數(shù)列與函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則: (1)夾擠準(zhǔn)則. (2)單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則. (3)柯西收斂準(zhǔn)則.例1.3.設(shè)存在，并求其值.分析.給定數(shù)

3、列的奇數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)增加有上界，偶數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)減少有下界，因此兩子列均收斂 .對于這種數(shù)列仍可應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則.解.首先易見命題1.1. 若命題1.2.設(shè)例1.4. 設(shè)解.5.冪指函數(shù)的極限. 命題1.3.在某變化過程中,函數(shù)f(x)為無窮小量, g(x) 為無窮大量,limf(x)g(x)=b, 則命題1.4. 在某變化過程中, f(x)與g(x), F (x)與G (x)均為等價無窮小(大),且f(x)>0 , g(x)>0, 例1.5.計(jì)算極限 解.令故原式=1.6.用洛必達(dá)法則與泰勒展開式計(jì)算極限.應(yīng)用洛必達(dá)法則之前應(yīng)注意: (1)先判斷極限是否型;(2)通過分解、變量的等價

4、替換、析出可成為常數(shù)的變量等整理和化簡,以便于計(jì)算導(dǎo)數(shù); (3)可重復(fù)上述步驟. 應(yīng)用泰勒展開式時需注意分子與分母展開的階數(shù)為各自主部的階數(shù).例1.6.設(shè)函數(shù)f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且解.因例1.7.若( )(A) 0 . (B) 6 . (C) 36 . (D) .解.用sin6x的泰勒展開式,知應(yīng)選: C . 注.由于f(x)無可微條件,此題不能用洛必達(dá)法則 .7.無窮小、無窮大量階的比較.(1)當(dāng)正整數(shù)n®¥時,以下各無窮大數(shù)列的階由低到高排列為:(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x®+¥時，以下各無窮大量的階由低到高排列為:(3)當(dāng)x®0時，下列各無窮小量

5、x :sin x , arcsin x , tan x , arctanx ,(4)設(shè)ar¹0，k為正整數(shù)，則x®0時: arx , (5)當(dāng)x®¥時: 8.等價無窮小(大)量在極限計(jì)算過程中的替換：命題1.5.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，x®0時f(x).命題1.6.設(shè)在某個變化過程中,無窮小(大)量函數(shù)f(x)ab,a0b, r>0,s>0:(1)若s<r (r<s), 則f(x)+ g(x)b.(2)若r=s, a+b0,則f(x)+g(x)(a+b).命題1.7.在某變化過程中, f(x)、g(x)、F (x)與G (x

6、)均為無窮小(大)量,且f(x)g(x), F (x)G (x), g(x)G(x)0,=c是不等于1的數(shù)或,則對任何變量u(x),有l(wèi)imu(x)(f(x)F(x)=limu(x)(g(x)G (x) .例1.8.當(dāng)x®0+時,與等價的無窮小量是(A)1 (B) (C) (D) (2007研招一)解.ln(1+x)x , ,應(yīng)選: B .例1.9. 計(jì)算極限(2001天津競賽理工) 解.例1.10.設(shè)f(x)=則當(dāng)x®0時，( )(A) f(x)與g(x)為同階但非等價無窮小. (B) f(x)與g(x)為等價無窮小. (C) f(x)是比g(x)更高階的無窮小. (D)

7、 f(x)是比g(x)更低階的無窮小.解.因x®0時知應(yīng)選: A .9.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與定積分定義計(jì)算極限.例1.11.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a可導(dǎo),解.原式=,令于是原式=0(n) ,原式=f (a) .例1.12.求= .解.原式=10.由包含參數(shù)的變量極限求參數(shù)的問題.例1.13.設(shè)函數(shù),當(dāng)x®0時的極限存在,求a的值 .解.11.曲線的漸近線.例1.14. 曲線漸近線的條數(shù)為(A)0 . (B)1 . (C)2 . (D)3 . (2007研招一)解.曲線有漸近線x=0, y=0 , y=x . 應(yīng)選:D .12.多元函數(shù)的(多重)極限. 一般通過一元函數(shù)的極限來研究二(多)

8、元函數(shù)的極限,有時也可利用極坐標(biāo)來研究二元函數(shù)的極限;通過兩條不同路徑考察函數(shù)的變化情況來驗(yàn)證二元函數(shù)的極限不存在 .例1.15.求極限:解.顯然因此原式=0 . （二）習(xí)題1.1.填空題:(1)設(shè)函數(shù)f(x) =，則函數(shù)f(x¤2) + f(1¤x)的定義域?yàn)?. (2004天津競賽理工)(2)設(shè)對一切實(shí)數(shù)x和y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且知= . (2003天津競賽理工)(3)設(shè)f(x)=x+sinx , 則f(x)與其反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)是 . (4)設(shè)k > 0,且對每個x>0,函數(shù)f(x)滿足= . (5)函數(shù)y = sin x|sin x

9、|(其中| x |£p/ 2)的反函數(shù)為 . (6)在x=0的附近與函數(shù)f(x)=sec x的差為的高階無窮小的二次多項(xiàng)式為 .(7)設(shè)f(x)定義在(-¥,+¥)上, a、b為常數(shù), 則曲線y=f(a+2x)+f(b-2x)關(guān)于直線x= 對稱 .(8)設(shè)函數(shù)f(x) =, 則f(x)的定義域是 . (1996北京競賽本科)(9)= .(1998北京競賽本科)(10)若數(shù)列= .(11)當(dāng)x®0時,a(x)=是等價無窮小,則k= .(12)= .(2003研招一)(13)= .(1996北京競賽本科)(14)設(shè)數(shù)列= .(2000北京競賽本科)(15)=

10、 ,其中a>0,b>0為常數(shù),且a¹1,b¹1. (2002北京競賽本科甲、乙)(16)已知函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有定義,且= .(17)若=2,則a= .(2000北京競賽本科甲、乙)(18)曲線y=的斜漸近線方程為 . (2005研招一)(19)= .(20)設(shè)曲線y= f(x)與y=sinx在原點(diǎn)相切,則極限= .(2004北京競賽本科甲、乙)1.2.單項(xiàng)選擇題:(1)設(shè)(A)(B)(C)(D)(2)若f(x)與g(x)互為反函數(shù),則fg (3x)¤2的反函數(shù)是 ( ) (A) gf (3x)¤2 . (B) f2g(x)

11、64; 3 . (C) g2 f(x¤ 3) . (D)2gf(x)¤ 3 .(3)定義在(-¥,+¥)上的下列函數(shù)中沒有反函數(shù)的是 ( )(A)y=x+sinx . (B) y=x-sinx . (C) y=xsinx . (D)(4)若對一切實(shí)數(shù)x ,都有f(x)= -f(x+5) ,則曲線y= f(x) ( )(A)向左(或向右)平移10個單位后與原曲線重合 . (B)關(guān)于直線x=5/ 2對稱 .(C)關(guān)于點(diǎn)(5/ 2,0)對稱 . (D)關(guān)于直線y= x對稱 .(5)下列函數(shù)中的非周期函數(shù)是 ( )(A)cos(sin|x|) . (B) (C)

12、 (D)(6)設(shè)數(shù)列則下列斷言正確的是 ( )(A)若 (B)若 (C)若 (D)若(1998研招二)(7)若 (D)A、B、C均不正確 . (2001天津競賽理工)(8)曲線y=的漸近線有 ( ) (A)1條 . (B)2條 . (C)3條 . (D)4條 . (2002天津競賽理工)(9)曲線y=x+ ( ) (A)沒有漸近線 . (B)有一條水平漸近線和一條斜漸近線 . (C)有一條鉛直漸近線 . (D)有兩條水平漸近線 . (2006天津競賽理工)(10)設(shè)函數(shù)f(x)在(-,+)內(nèi)單調(diào)有界,為數(shù)列,下列命題正確的是 ( )(A)若收斂. (B)若收斂. (C)若收斂. (D)若收斂

13、. (08研招一)1.3.設(shè)常數(shù)a¹0,求證:若f(x+a)=,或f(x+a) = ，則f(x)是周期函數(shù).1.4.求函數(shù)f(x)=x+x , xÎ(-¥,+¥), 的反函數(shù)1.5. 解下列函數(shù)方程: 當(dāng)x¹0,1時, f(x)滿足方程f(x)+ f(1-1/ x)=1+x .1.6.給定下列函數(shù)f(x),定義1.7.設(shè)對每一對實(shí)數(shù)(x, y) ,函數(shù)f滿足方程f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1, f(1)=1 .求整數(shù)n使f(n) = n1 .1.8.設(shè)定義在(-¥ ,+¥)上的函數(shù)f(x)滿足f(x+T) = k

14、 f(x)，xÎ(-¥ ,+¥)，其中T與k¹1均為給定的正的常數(shù),證明: 有正數(shù)a與以T為周期的函數(shù)j(x)使f(x) = j(x), xÎ(-¥ ,+¥) .1.9.試構(gòu)造整系數(shù)多項(xiàng)式a+bx+c,使它在(0,1)內(nèi)有相異實(shí)根,且a是滿足條件的最小正整數(shù) .1.10.證明: 若f(x)是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)(x) º f(x)，則f(x) º x .1.11.計(jì)算極限: . 1.12.設(shè)1.13.設(shè)1.14.設(shè)1.15.(1)(2) (3)(4)(5)1.16.設(shè)1.17.設(shè)1.18.設(shè)1.19.求

15、證:1.20.設(shè)=0 . 1.21.設(shè)1.22.計(jì)算下列各極限:(1) (2) (3) (4) (5)(6) (08研招一)1.23.設(shè)f(x)=1.24.如果f(x)是(-¥,+¥)上的周期函數(shù),且=0 . 求f(x) . 1.25.設(shè)x0+時函數(shù)f(x)是與x等價的無窮小量,且f(x)>x,試求極限1.26.設(shè)a, b是三維空間R上的兩非零常向量,且|b|=1,(a, b)=3,求極限(|a+xb|a|).1.27.設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且試求f(0)及f (0) . （三）習(xí)題解答或提示1.1. (1)x|1<|x|<2.(2)1&

16、#164; 2 . (3)(kp , kp ), kÎZ .(4) (5) (6)1+ (7)(b-a)/ 4 . (8)(- 1,1). (9)5 ¤ 2 . (10) 0 . (11)3 ¤ 4 . (12)(13)10ln3 .(14)1. (15) (16) e . (17) -4 . (18) (19)1 . (20) 1.2. D ,B,C,A,C, D ,D,B,B.(10)B正確. A的反例是f(x)= C與D的反例是f(x)=arctan x ,=n . 應(yīng)選: B .1.3.證.(1)由f(x+a) =(2)由f(x+a)=f(x) = f(x

17、+4a), 故f(x)以4a為周期 .1.4.=x-m , 2m£x<2m+1, mÎZ . 1.5. 1.6.(1) nN .(2), 1.7.解.令y = 1，從原方程可得f(x+1) = f(x) + x + 2 ×××××××××××××××××× (1)由此遞推式看出x為正整數(shù)時，f(x)為正，且f(x+1) > x + 2> x+1，再從0與負(fù)整數(shù)中求解，將x = 0

18、, -1, -2等代入(1)的等價式 f(x) = f(x+1) -(x+2) ×××××××××××××××××× (2)得f(0) = -1，f(-1) = -2，f(-2) = -2，于是有一解n = -2 . 此外還有f(-3) = -1，f(-4) = 1 .當(dāng)x<-4時，-(x+2)>2，由(2)式可知f(x) > 0，不可能有f(x) = x .總之我們得唯一整數(shù)解n= -2 .1.8.證. 由k>0，T >0，可設(shè)a=且不難驗(yàn)證j(x)以T為周期.1.9.解.設(shè)a+bx+c=a(x-l)(x-m),0<l<m<1,整數(shù)f(0) f(1)=l(1-l)m (1-m)>0,二次三項(xiàng)式x(1-x)在x=12達(dá)到最大值14,故于是a > 4 .若取a = 5,則由0<lm = c/ a<1,0<l+m = -b/ a < 2,>4ac得c = 1，b = -5 .我們得多項(xiàng)式5-5x + 1,它完全滿足條件 .而且可以通過枚