112導(dǎo)數(shù)的概念

1、舊知回顧舊知回顧平均變化率的定義平均變化率的定義 我們把式子我們把式子 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f(x)從從 到到 的的平均變化平均變化 率率 . （ average rate of change）2121f x-f xx -x1 1x x2 2x x 平均速度不能反映物體在某段平均速度不能反映物體在某段時間里的運(yùn)動狀態(tài)，那么用什么來時間里的運(yùn)動狀態(tài)，那么用什么來衡量物體的狀態(tài)呢？衡量物體的狀態(tài)呢？新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入 如何知道運(yùn)動員在每一時刻的速度呢？ 汽車在每一刻的汽車在每一刻的速度怎么知速度怎么知道呢？道呢？3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)知識與能力知識與能力（1）體會導(dǎo)數(shù)的思想及

2、其內(nèi)涵）體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵. .（2）能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). .（3）理解瞬時速度的概念）理解瞬時速度的概念. .過程與方法過程與方法 （1）體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，通過分析實(shí)例，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背通過分析實(shí)例，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù). （2）通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的意義數(shù)的意義.情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀 能夠在已有的經(jīng)驗(yàn)（生活經(jīng)驗(yàn)，能夠在已有的經(jīng)驗(yàn)（生活經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)）的基礎(chǔ)上，更好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)）的基礎(chǔ)上，更好的學(xué)習(xí)瞬時速度，導(dǎo)數(shù)等概

3、念學(xué)習(xí)瞬時速度，導(dǎo)數(shù)等概念 .教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn) 體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，形成導(dǎo)數(shù)概念形成導(dǎo)數(shù)概念.難點(diǎn)難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及其內(nèi)涵的概念及其內(nèi)涵. 在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員在不同在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員在不同時刻的速度是不同的時刻的速度是不同的.我們把物體在某一我們把物體在某一時刻的速度稱為時刻的速度稱為瞬時速度瞬時速度（instaneous velociy）. 平均速度平均速度反映了物體運(yùn)動時的快反映了物體運(yùn)動時的快慢程度慢程度, ,但要精確地描述非勻速直線但要精確地描述非勻速直線運(yùn)動運(yùn)動, ,就要知道物體在每一時刻運(yùn)動就要知道物體在每一時刻運(yùn)動的快慢程度的

4、快慢程度, ,也即需要通過也即需要通過瞬時速度瞬時速度來反映來反映. . 已知物體作變速直線運(yùn)動已知物體作變速直線運(yùn)動, ,其其運(yùn)動方程為運(yùn)動方程為ss（t）( (表示位表示位移移, ,t表示時間）表示時間）, ,求物體在求物體在t0 時刻時刻的速度的速度00()( )limlim.ttss tts tvtt 物體的運(yùn)動規(guī)律是物體的運(yùn)動規(guī)律是 s=s(t)，那，那么物體在時刻么物體在時刻 t 的的瞬時速度瞬時速度v，就，就是物體在是物體在t到到 t+t這段時間內(nèi)，當(dāng)這段時間內(nèi)，當(dāng) t0 時的平均速度時的平均速度: 物體作自由落體運(yùn)動物體作自由落體運(yùn)動,運(yùn)動方程運(yùn)動方程為：為： 其中位移單位是其

5、中位移單位是m，時，時間單位是間單位是s，g=10m/s2.求：求：（1） 物體在時間區(qū)間物體在時間區(qū)間2，2.1上的上的平均速度；平均速度；（2） 物體在物體在t=2(s)時的瞬時速度時的瞬時速度.2 21 1s s = =g gt t2 2s ss(2+t)Os(2)解解:_s1v =2g+g(t)t2(1)將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得: _v =2.05g=20.5m/s.(2)t0,2+ t2當(dāng)./202limlim0_0smgtsvvtt 即物體在時刻即物體在時刻t0=2(s)的的瞬時速度瞬時速度等等于于20(m/s).當(dāng)時間間隔當(dāng)時間間隔t 逐漸變小時逐漸變小時,平平均

6、速度就越接近均速度就越接近t0=2(s) 時的時的瞬時速度瞬時速度v=20(m/s). 從而平均速度從而平均速度 的極限為的極限為v 還記得上節(jié)課講的關(guān)于高臺跳水問題嗎？運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系:2 2h(t)=-4.9t +6.5t+10h(t)=-4.9t +6.5t+10通過列表看出平均速度的變化趨勢通過列表看出平均速度的變化趨勢 ： 知道了瞬時速度的概念，那么在高臺跳水運(yùn)動中，如何求（比如，t=2)運(yùn)動員的瞬時速度？t0時，在時，在2,2+ t這段時間內(nèi)這段時間內(nèi) h 2 -h 2+h 2 -h 2+ t tv =v =2- 2+2-

7、 2+ t t2 24.94.9 t +13.1t +13.1 t t= =- - t t= = - -4 4. .9 9 t t - -1 13 3. .1 1當(dāng)當(dāng)t=0.01時，時， =-13.149；v當(dāng)當(dāng)t=0.001時，時， =-13.1049；v當(dāng)當(dāng)t=0.0001時，時， =-13.10049；v當(dāng)當(dāng)t=0.00001時，時， =-13.100049；v當(dāng)當(dāng)t=0.000001時，時， =-13.1000049；v.觀察觀察 當(dāng)當(dāng) 趨近于趨近于0時，平均速時，平均速度度 有什么樣的變化？有什么樣的變化？tv 我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 趨近于趨近于0時，即時，即無論無論t從小于從小

8、于2的一邊，還是從大于的一邊，還是從大于2的一邊趨近于的一邊趨近于2時，平均速度都趨近時，平均速度都趨近于一個確定的值于一個確定的值-13.1 .t 我們用我們用 表示表示 “當(dāng)當(dāng)t=2, t趨近于趨近于0 時時,平均速平均速度趨于確定值度趨于確定值-13.1”.0limth(2+h(2+ t)-h(2)t)-h(2)=-13.1=-13.1 t t探究探究l那么運(yùn)動員在某一時刻那么運(yùn)動員在某一時刻t0的瞬時速的瞬時速度怎么表示度怎么表示?0limt0000h(t +h(t + t)-h(t )t)-h(t ) t t探究探究 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率又怎么表示？ 一般地，函數(shù)

9、一般地，函數(shù) 在在 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是 y =f xy =f x0 0 x= xx= x 我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù) 在在 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)（derivative）. yf x0 xx0000limlimxxf xxf xfxx 一般將導(dǎo)數(shù)一般將導(dǎo)數(shù)記作記作 , ,或或 者者 , ,即即0f (x ) 0 x xy | ( ( ) ) ) ) 00000 x0 xx0f xxf(x )f(xf(x )f (x )limlim xxx 表示函數(shù)表示函數(shù)y關(guān)關(guān)于自變量于自變量x在在 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)0|xxy0 x0 xxy 有極限有極限f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)處可導(dǎo)f(x)在點(diǎn)

10、在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 是函數(shù)是函數(shù)f(x)在以在以x0與與x0+x 為端點(diǎn)的區(qū)間為端點(diǎn)的區(qū)間x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均變化率平均變化率,而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 處的處的變化率變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度化的快慢程度 00f(xx) f(x )yxx 000 xx0f(x)-f(x )f (x ) = limx-x事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)也可以用下式表示：事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)也可以用下式表示： 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=x0存在導(dǎo)數(shù)，存在導(dǎo)數(shù)，就說函數(shù)就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處可導(dǎo)可導(dǎo)，如果

11、極限，如果極限不存在，就說函數(shù)不存在，就說函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處不可導(dǎo)不可導(dǎo). 由導(dǎo)數(shù)的意義可知，求函數(shù)由導(dǎo)數(shù)的意義可知，求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是:（1）求函數(shù)的增量）求函數(shù)的增量00y = f(x +x)-f(x ).00f(x +x)-f(x )y=xx（2）求平均變化率）求平均變化率0 x0yf (x ) = lim.x（3）取極限，求得導(dǎo)數(shù)）取極限，求得導(dǎo)數(shù) 這里的增量不是一般意義上的增量，這里的增量不是一般意義上的增量，它可正也可負(fù)它可正也可負(fù).自變量的增量自變量的增量x的形式是的形式是多樣的多樣的,但不論但不論x選擇哪種形式選擇

12、哪種形式, y也必也必須選擇與之相對應(yīng)的形式須選擇與之相對應(yīng)的形式.注意！注意！求函數(shù)求函數(shù)y=x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).2 22 22 2解解： ( (1 1) ) y y= =( (1 1+ + x x) ) - -1 1 = =2 2 x x+ +( ( x x) ) , ,2 2 y y2 2 x x+ +( ( x x) )= = =2 2+ + x x, , x x x xx x= =1 1 x x0 0 x x0 0 y y l li im m= = l li im m( (2 2+ + x x) )= = 2 2, ,y y | |= = 2 2. . x x課堂小結(jié)課堂

13、小結(jié)1.瞬時速度的定義瞬時速度的定義 物體在某一時刻的速度稱為物體在某一時刻的速度稱為瞬瞬時速度時速度. .2.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) 在在 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是 yf x0 xx00 x0 x0f x +x -f xflim= limxx 我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù) 在在 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)（derivative）. yf x0 xx3.求導(dǎo)數(shù)的步驟求導(dǎo)數(shù)的步驟（1）求）求 y； x y（2）求）求 ；（3）取極限得取極限得 f (x)=lim . x y x0若若f(x0)=2，則，則00()()lim_.2kof xkf xk -1隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1.

14、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)可導(dǎo)可導(dǎo) ，則，則 x x0 0f(1+f(1+ x)-f(1)x)-f(1)limlim3 3 x x=（ ） A.f (1) B.1f (1)3 C. 不存在不存在 D. 以上都不對以上都不對 B2. 求函數(shù)求函數(shù)y=x+1/x在在x=2處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).1 11 1- - x x解解： y y = =( (2 2+ + x x) )+ +- -( (2 2+ + ) )= = x x+ +2 2+ + x x2 22 2( (2 2+ + x x) )- - x x x x+ + y y1 12 2( (2 2+ + x x) )= = =1 1- -, , x x

15、 x x2 2( (2 2+ + x x) )x x= =2 2 x x0 0 x x0 0 y y1 11 13 33 3l li im m= = l li im m 1 1- - = =1 1- -= =, ,y y | | = =. . x x2 2( (2 2+ + x x) )4 44 44 43.4. 已知函數(shù)已知函數(shù) 在在 處的附處的附近有定義，且近有定義，且 ，求，求 的值的值.y =x0 x = x0 x=x1y|=20 x0 00 0解解: : y y= = x x + + x x- - x x , ,0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 x x +

16、 + x x - - x x( ( x x + + x x - - x x ) )( ( x x + + x x+ + x x ) ) y y= = = x x x x x x( ( x x + + x x+ + x x ) )1 1= =. .x x + + x x+ + x x x x0 0 x x0 0000000 y11y11 lim= lim=,lim= lim=, x xx +x + x +x2 xx +x2 x0 0 x x= =x x0 00 01 11 11 1由由y y| |= =, ,得得= =, ,x x = =1 1. .2 22 22 2x x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,求求下列極限值下列極限值. .00 x 0f(x -x)-f(x )lim.x0 00 00 00 0 x x0 0 x x0 00 0f f( (x x - - x x) )- -f f( (x x ) )f f( (x x - - x x) )- -f f( (x x ) )1 1) )原原式式= = l li im m= =- - l li im m- -( (- - x x) )- -解解：( ( x x= =- -f f ( (x x ) ); ;5.習(xí)題答案習(xí)題答案練習(xí)（第練習(xí)（第6頁）頁） yf(3+