現(xiàn)代信號(hào)處理-維納和卡爾曼濾波ppt課件

1、 維納濾波和卡爾曼濾波 2.1 引言引言 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的z域解域解 2.4 維納預(yù)測(cè)維納預(yù)測(cè) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.1 引引 言言 在消費(fèi)實(shí)際中，觀測(cè)到的信號(hào)都是遭到噪聲干擾的。如何最大限制地抑制噪聲，并將有用信號(hào)分別出來(lái)，是信號(hào)處置中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。換句話說(shuō)，信號(hào)處置的目的就是要得到不受干擾影響的真正信號(hào)。相應(yīng)的處置系統(tǒng)稱(chēng)為濾波器。這里，只思索加性噪聲的影響，即觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n)是信號(hào)s(n)與噪聲v(n)之和如圖2.1.1所示, 即 x(n)=s(n)+v(n)2.1.1 圖

2、2.1.1 觀測(cè)信號(hào)的組成 x(n)s(n)v(n)2.1 引引 言言 2.1 引引 言言 為了得到不含噪聲的信號(hào)s(n)，也稱(chēng)為期望信號(hào)，假設(shè)濾波系統(tǒng)的單位脈沖呼應(yīng)為h(n)如圖2.1.2所示， 系統(tǒng)的期望輸出用yd(n)表示，yd(n)應(yīng)等于信號(hào)的真值s(n)；系統(tǒng)的實(shí)踐輸出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估計(jì)，用公式表示為yd(n)=s(n)， y(n) = 。因此對(duì)信號(hào)x(n)進(jìn)展處置，可以看成是對(duì)期望信號(hào)的估計(jì)，這樣可以將h(n)看作是一個(gè)估計(jì)器，也就是說(shuō), 信號(hào)處置的目的是要得到信號(hào)的一個(gè)最正確估計(jì)。那么， 采用不同的最正確準(zhǔn)那么，估計(jì)得到的結(jié)果能夠不同。 )( nsh(

3、n)x(n)s(n)v(n)y(n)圖 2.1.2 信號(hào)處置的普通模型 2.1 引引 言言 假假設(shè)知x(n-1), x(n-2), , x(n-m)，要估計(jì)當(dāng)前及以后時(shí)辰的信號(hào)值 , N0，這樣的估計(jì)問(wèn)題稱(chēng)為預(yù)測(cè)問(wèn)題；假設(shè)知x(n-1), x(n-2), , x(n-m) ，要估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)值 ，稱(chēng)為過(guò)濾或?yàn)V波； 根據(jù)過(guò)去的觀測(cè)值x(n-1), x(n-2), , x(n-m)，估計(jì)過(guò)去的信號(hào)值 , N1，稱(chēng)為平滑或內(nèi)插。 )( ns)( Nns)( Nns2.1 引引 言言 維納(Wiener)濾波與卡爾曼(Kalman)濾波就是用來(lái)處理這樣一類(lèi)從噪聲中提取信號(hào)的過(guò)濾或預(yù)測(cè)問(wèn)題, 并以估計(jì)的

4、結(jié)果與信號(hào)真值之間的誤差的均方值最小作為最正確準(zhǔn)那么。維納濾波器的求解，要求知道隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度，得到的結(jié)果是封鎖公式；維納濾波的最大缺陷是僅適用于一維平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，這是由于采用頻域設(shè)計(jì)法所呵斥的 。 2.1 引引 言言 1950年，伯特和香農(nóng)給出了當(dāng)信號(hào)的功率譜為有理譜時(shí)，由功率譜直接求取維納濾波器傳輸函數(shù)的設(shè)計(jì)方法。 采用譜分解的方法求解，簡(jiǎn)單易行，具有一定的工程適用價(jià)值，并且物理概念清楚。 因此人們逐漸轉(zhuǎn)向在時(shí)域內(nèi)直接設(shè)計(jì)最正確濾波器的方法。 2.1 引引 言言 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.1 維納濾波器時(shí)域求解的方法

5、維納濾波器時(shí)域求解的方法根據(jù)線性系統(tǒng)的根本實(shí)際，并思索到系統(tǒng)的因果根據(jù)線性系統(tǒng)的根本實(shí)際，并思索到系統(tǒng)的因果性，可以得到濾波器的輸出性，可以得到濾波器的輸出y(n), 0)()()()()(mmnxmhnhnxnyn=0, 1, 2, 2.2.2 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.1 維納濾波器時(shí)域求解的方法維納濾波器時(shí)域求解的方法設(shè)期望信號(hào)為，誤差信號(hào)及其均方值設(shè)期望信號(hào)為，誤差信號(hào)及其均方值分別為分別為 ：2.2. 2022)()()(| )()(| )(|mmnxmhndEnyndEneE2.2. )()()()()(nynsnyndne)(nd)(n

6、e| )(|2neE2.2.1 維納濾波器時(shí)域求解的方法維納濾波器時(shí)域求解的方法要使均方誤差為最小，須滿足要使均方誤差為最小，須滿足因此，上式闡明，均方誤差到達(dá)最小值的充要條件因此，上式闡明，均方誤差到達(dá)最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是通常所說(shuō)的正交性原理。是通常所說(shuō)的正交性原理。0)()(2| )(|*2nejnxEhneEj2.2.5 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.1 維納濾波器時(shí)域求解的方法維納濾波器時(shí)域求解的方法它的重要意義在于提供了一個(gè)數(shù)學(xué)方法，用以它的重要意義在于提供了

7、一個(gè)數(shù)學(xué)方法，用以判別線性濾波系統(tǒng)能否任務(wù)于最正確形狀。判別線性濾波系統(tǒng)能否任務(wù)于最正確形狀。 下面計(jì)算輸出信號(hào)與誤差信號(hào)的相互關(guān)函數(shù)下面計(jì)算輸出信號(hào)與誤差信號(hào)的相互關(guān)函數(shù) 0*0*)()()( )()()()()(jjnejnxEjhnejnxjhEnenyE(2.2.6) 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.1 維納濾波器時(shí)域求解的方法維納濾波器時(shí)域求解的方法假定濾波器任務(wù)于最正確形狀，濾波器的輸出假定濾波器任務(wù)于最正確形狀，濾波器的輸出yopt(n)與期望信號(hào)與期望信號(hào)d(n)的誤差為的誤差為eopt(n)，把，把2.2.5式代入上式，得到式代入上式，得

8、到 0)()(*nenyEoptopt(2.2.7) eopt(n)d(n)yopt(n)圖 2.2.1 期望信號(hào)、 估計(jì)值與誤差信號(hào)的幾何關(guān)系 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.1 維納濾波器時(shí)域求解的方法圖2.2.1闡明在濾波器處于最正確任務(wù)形狀時(shí)， 估計(jì)值加上估計(jì)偏向等于期望信號(hào)， 即 )(e)()(optoptnnynd留意我們所研討的是隨機(jī)信號(hào)，圖2.2.1中各矢量的幾何表示應(yīng)了解為相應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)平均或者是數(shù)學(xué)期望。再?gòu)哪芰康慕嵌葋?lái)看，假定輸入信號(hào)和期望信號(hào)都是零均值, 運(yùn)用正交性原理,那么, 因此在濾波器處于最正確形狀時(shí)， 估計(jì)值的能量總是小于等于

9、期望信號(hào)的能量。 |2opt22dopteEy2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.2 維納維納霍夫方程霍夫方程將將2.2.5式展開(kāi)，式展開(kāi)， 可以得到可以得到將輸入信號(hào)分配進(jìn)去，將輸入信號(hào)分配進(jìn)去， 得到得到0)()()()(0*mmnxmhndknxE)()()(0*kmrmhkrmxxdxk=0, 1, 2, 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.2 維納維納霍夫方程霍夫方程對(duì)上式兩邊取共軛，利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)上式兩邊取共軛，利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì): 得到得到 ：上式稱(chēng)為維納上式稱(chēng)為維納-霍夫霍夫WienerHopf方程。方程

10、。當(dāng)當(dāng)h(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為是一個(gè)長(zhǎng)度為M的因果序列的因果序列(即即h(n)是一個(gè)是一個(gè)長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為M的的FIR濾波器濾波器)時(shí)，時(shí)， 維納維納-霍夫方程表述為霍夫方程表述為)()()()()(0krkhmkrmhkrxxmxxxdk=0, 1, 2, 2.2.8)()()()()(10krkhmkrmhkrxxMmxxxd2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 )()(*krkryxxy2.2.2 維納維納霍夫方程霍夫方程把把k的取值代入的取值代入(2.2.9)式，式， 得到：得到：當(dāng)k=0時(shí)，h1rxx(0)+h2rxx(1)+hMrxx(M-1)=rxd(0)k=1時(shí)

11、， h1rxx(1)+ h2rxx(0)+ hMrxx(M-2)= rxd(+1) k=M-1時(shí)， h1rxx(M-1)+ h2rxx (M-2)+hMrxx(0)= rxd(M-1) (2.2.10) 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.2 維納維納霍夫方程霍夫方程定義定義可以寫(xiě)成矩陣的方式，可以寫(xiě)成矩陣的方式， 即即求逆，得到求逆，得到 ：)0()2() 1()2()0()0() 1() 1 ()0(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrMrMrMrrrMrrrRhRRxxxdxdxxRRh1(2.2.11) 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離

12、散方式時(shí)域解時(shí)域解 TxdxdxdxdTMMrrrRhhhh),1(,),1 (),0(,212.2.2 維納維納霍夫方程霍夫方程2.2.11式闡明知期望信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的相互式闡明知期望信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的相互關(guān)函數(shù)及觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以經(jīng)過(guò)矩陣關(guān)函數(shù)及觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以經(jīng)過(guò)矩陣求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最正確解。同時(shí)可以求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最正確解。同時(shí)可以看到，直接從時(shí)域求解因果的維納濾波器，看到，直接從時(shí)域求解因果的維納濾波器， 中選擇中選擇的濾波器的長(zhǎng)度的濾波器的長(zhǎng)度M較大時(shí)，較大時(shí)， 計(jì)算任務(wù)量很大，計(jì)算任務(wù)量很大， 并且并且需求計(jì)算需求計(jì)算Rxx的逆矩陣，從而要

13、求的存貯量也很大。的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.2 維納維納霍夫方程霍夫方程此外，此外， 在詳細(xì)實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器的長(zhǎng)度是由實(shí)驗(yàn)在詳細(xì)實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器的長(zhǎng)度是由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定的，假設(shè)想經(jīng)過(guò)添加長(zhǎng)度提高逼近的精度，來(lái)確定的，假設(shè)想經(jīng)過(guò)添加長(zhǎng)度提高逼近的精度，就需求在新就需求在新M根底上重新進(jìn)展計(jì)算。因此，從時(shí)域求根底上重新進(jìn)展計(jì)算。因此，從時(shí)域求解維納濾波器，并不是一個(gè)有效的方法。解維納濾波器，并不是一個(gè)有效的方法。 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 假設(shè)不思索濾波器的因果性，2.2.8式可以寫(xiě)為 )()

14、()()()(krkhmkrmhkrxxmxxxd設(shè)定d(n)=s(n)，對(duì)上式兩邊做Z變換，得到 Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z) )()()(zSzSzHxxxsopt2.3.12.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) 假設(shè)信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即rsv(m)=0，那么 2.3.1式可以寫(xiě)成 )()()()()()(zSzSzSzSzSzHvvssssxxxsopt2.3.2顯然，當(dāng)噪聲為0時(shí)，信號(hào)全部經(jīng)過(guò)；當(dāng)信號(hào)為0時(shí)， 噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的才干。2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾

15、波器的域解 把信號(hào)的頻譜用Pss(ej)表示，噪聲的頻譜用Pvv(ej)表示，那么非因果的維納濾波器的傳輸函數(shù)Hopt(ej)的幅頻特性如圖2.3.1所示。 Hopt(ej)PSS(ej)Pvv(ej)0圖 2.3.1 非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 011)e (joptHPss(ej)0, Pvv(ej)=0 Pss(ej)0, Pvv(ej) 0 Pss(ej)=0, Pvv(ej) 0 然而實(shí)踐的系統(tǒng)都是因果的。對(duì)于一個(gè)因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求解的緣由是由于輸入信號(hào)與期望信號(hào)的相互關(guān)序列是一個(gè)因果序列，假設(shè)可以把因果維納濾波器

16、的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非因果問(wèn)題，求解方法將大大簡(jiǎn)化。2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 假設(shè)x(n)的信號(hào)模型B(z)知如圖2.3.2(a)所示，求出信號(hào)模型的逆系統(tǒng)B-1(z)， 并將x(n)作為輸入，那么逆系統(tǒng)B-1(z)的輸出(n)為白噪聲。普通把信號(hào)轉(zhuǎn)化為白噪聲的過(guò)程稱(chēng)為白化，對(duì)應(yīng)的濾波器稱(chēng)為白化濾波器。 圖 2.3.2 x(n)的時(shí)間序列信號(hào)模型及其白化濾波器 B(z)(n)x(n)B 1(z)(n)x(n)2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 詳細(xì)思緒如圖2.3.3所示。用白噪聲作為待求的維納濾波器的輸入，設(shè)定1/B(z)為信號(hào)x(n)的白化濾波器的傳輸函數(shù)，

17、那么維納濾波器的傳輸函數(shù)G(z)的關(guān)系為： )()()(zBzGzH(2.3.3) 因此，維納濾波器的傳輸函數(shù)H(z)的求解轉(zhuǎn)化為G(z)的求解。 (n)x(n)G(z)y(n) s(n)(1zB圖 2.3.3 維納濾波解題思緒 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解 假設(shè)待求維納濾波器的單位脈沖呼應(yīng)為假設(shè)待求維納濾波器的單位脈沖呼應(yīng)為(n)，期，期望信號(hào)望信號(hào)d(n)=s(n)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)y(n)=s(n)，g(n)是是G(z)的逆的逆Z變換，變換， 如圖如圖2.3.3所示。所示。 kknkgngnnsn

18、y)()()()()( )(2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解kskskkskskkkkkrkrkgrkrkgkrkgkgrnsknkgnsknkgErnknrgkgEnsEknkgnsEneE222ss*22ss*222|)()()0()()()()(| )(|)0()()()()()()()()()()(| )(|)()()(| )(|(2.3.4) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 0)()(krkgs -k (2.3.5) 因此g(n)的最正確值為 2)()(krkgsopt -k (2.3.6)

19、2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解可以看出，均方誤差的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)都是非可以看出，均方誤差的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)負(fù)數(shù), 要使均方誤差為最小，當(dāng)且僅當(dāng)要使均方誤差為最小，當(dāng)且僅當(dāng) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2)()(zSzGsopt(2.3.7) 2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解對(duì)上式兩邊同時(shí)做對(duì)上式兩邊同時(shí)做Z變換，得到：變換，得到：這樣，非因果維納濾波器的最正確解為： )()(1)()()(2optoptzBzSzBzGzHs(2.3.8) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 (2.3.9) 對(duì)上式兩邊

20、做Z變換，得到： 因此： )()()(1zBzSzSxss(2.3.10) 2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解由于，且，根由于，且，根據(jù)相關(guān)卷積定理?yè)?jù)相關(guān)卷積定理, 得到得到 ：)()()(1zBzSzSsxs)(*)()(nbnrnrsxs)(*)()(nnsns)(*)()(nbnnx2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.1 非因果維納濾波器的求解將上式代入(2.3.)式，并根據(jù)x(n)的信號(hào)模型，得到非因果的維納濾波器的復(fù)頻域最正確解的普通表達(dá)式 )()()()()(11)(12optzSzSzBzSzBzHxxxsxs(2.3.11) 假定信號(hào)

21、與噪聲不相關(guān)，即當(dāng)時(shí)，有： 0)()(nvnsE)()(*)()()(mrmnsnvnsEmrssxs)()()()(*)()()(mrmrmnvmnsnvnsEmrvvssxx2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.1 非因果維納濾波器的求解對(duì)上邊兩式做Z變換, 得到(2.3.12) (2.3.13) )()(zSzSssxs)()()(zSzSzSvvssxx把(2.3.12)式代入(2.3.10)式, 得到 )()()(1zBzSzSsss(2.3.14) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 )()()()()()(optzSzSzSzSzSzHvvsss

22、sxxxs)()()()e ()e ()e ()e (jjjjoptvvssssvvssssPPPSSSH(2.3.15) 2.3.1 非因果維納濾波器的求解將2.3.13式和2.3.14式代入2.3.11式, 得到信號(hào)和噪聲不相關(guān)時(shí)，非因果維納濾波器的復(fù)頻域最正確解和頻率呼應(yīng)分別為(2.3.16) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.1 非因果維納濾波器的求解以下推出該濾波器的最小均方誤差E|e(n)|2min的計(jì)算, 重新寫(xiě)出(2.3.4)式的最正確解 kssskrrneE22min2| )(|)0(| )(|2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.

23、1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解根據(jù)圍線積分法求逆根據(jù)圍線積分法求逆Z變換的公式變換的公式, rss(m)用下用下式表示式表示: CmsssszzzSmrd)(j21)(1(2.3.17) 得出 CsssszzzSrd)(j21)0(1(2.3.18) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解由復(fù)卷積定理由復(fù)卷積定理 zzzYzXnynxCnd1)(j21)()(*(2.3.19) 取y(n)=x(n), 有 zzzXzXnxCnd)(j21| )(|12(2.3.20) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波

24、器的域解 2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解因此因此 zzzSzSkrCssnsd)()(j21| )(|12(2.3.21) 把(2.3.18)式和(2.3.21)式代入(2.3.4)式， 得到 ：zzzSzSzSneEsssCd)()(1)(j21| )(|12min2(2.3.22) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解將將2.3.14式代入上式，式代入上式， 得到得到 zzzSzHzSzzzBzSzBzSzSneEssoptssCsssssCd)()()(j21d)()()()(1)(j21|

25、)(|1112min2(2.3.23) 由于實(shí)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，因此： )()(1zSzSssss)()(mrmrssss2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，Es(n)v(n)=0， 那么那么 CxxvvssCssxxsssszzzSzSzSzzzSzSzSzSneEd)()()(j21d)()()()(j21| )(|1min2(2.3.24) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.2 2.3.2 因果維納濾波器的求解因果維納濾波器的求解 假設(shè)維納濾波

26、器是一個(gè)因果濾波器，假設(shè)維納濾波器是一個(gè)因果濾波器， 要求要求 g(n)=0 n0 那么濾波器的輸出信號(hào) 0)()()()()( )(kknkgngnnsny(2.3.26) (2.3.25) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.2 2.3.2 因果維納濾波器的求解因果維納濾波器的求解估計(jì)誤差的均方值估計(jì)誤差的均方值 類(lèi)似于2.3.4式的推導(dǎo)，得到 022202| )(|1)()()0(| )(|kskssskrkrkgrneE(2.3.27) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 )()(| )(|22nynsEneE2.3.2 因果維納濾波器的求解因果維納

27、濾波器的求解要使均方誤差獲得最小值，要使均方誤差獲得最小值， 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) )()(000)()(22optnunrnnnrngss(2.3.28) 令 0)()()()(nnsnnssznrznunrzS(2.3.29) (2.3.30) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 )(1)(ZT)(2optzSngzGsopt2.3.2 因果維納濾波器的求解因果維納濾波器的求解又由又由2.3.15式得到式得到 )()(1)(12optzBzSzGxs(2.3.31) 所以因果維納濾波器的復(fù)頻域最正確解為 )()()(11)()()(12optzBzSzBzBzGzHxsopt(2

28、.3.32) 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.2 因果維納濾波器的求解因果維納濾波器的求解維納濾波的最小均方誤差為維納濾波的最小均方誤差為: ksssskrkukrr)()()(1)0(*2022min2| )(|)0(| )(|kssskrrneEzzzSzSrsCsssd)()(1j21)0(12zzzBzSzBzSzSxsxsssCd)()()()(1)(j211122.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 2.3.2 因果維納濾波器的求解因果維納濾波器的求解即維納濾波的最小均方誤差為即維納濾波的最小均方誤差為: (2.3.33) zzzSzHzSneE

29、xsssCd)()()(j21| )(|1optmin22.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 比較2.3.23式和2.3.33式，可以看出因果維納濾波器的最小均方誤差與非因果維納濾波器的最小均方誤差的方式一樣，但公式中的的表達(dá)式不同, 分別參見(jiàn)(2.3.11) 式和(2.3.32)式。)(optzH 2.3.2 因果維納濾波器的求解前面曾經(jīng)導(dǎo)出， 對(duì)于非因果情況，kssskrrneE22min2| )(|)0(| )(|對(duì)于因果情況， 022min2| )(|)0(| )(|kssskrrneE比較兩式，它們的第二項(xiàng)求和域不同，由于因果情況下，因此可以闡明非因果情況的一定小于等于因

30、果情況。在詳細(xì)計(jì)算時(shí),可以選擇單位圓作為積分曲線， 運(yùn)用留數(shù)定理， 計(jì)算積分函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)的留數(shù)來(lái)得到。 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 min2| )(|neEmin2| )(|neE 0k 2.3.2 因果維納濾波器的求解經(jīng)過(guò)前面的分析, 因果維納濾波器設(shè)計(jì)的普通方法可以按下面的步驟進(jìn)展： (1) 根據(jù)觀測(cè)信號(hào)x(n)的功率譜求出它所對(duì)應(yīng)的信號(hào)模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。詳細(xì)方法為，把單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)分配給，單位圓外的零極點(diǎn)分配給，系數(shù)分配給。 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 )()()(12zBzBzSwxx)(zB)(1zB

31、2w 2.3.2 因果維納濾波器的求解(2)求取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得： (3) 積分曲線取單位圓，運(yùn)用2.3.32式和2.3.33式，計(jì)算：)()(1zBzSIZTxs)()(1zBzSxs。 2.3 離散維納濾波器的域解離散維納濾波器的域解 min2opt| )(|)(neEzH和2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.1 2.4.1 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算維納預(yù)測(cè)的計(jì)算 在維納濾波中，期望的輸出信號(hào)，實(shí)在維納濾波中，期望的輸出信號(hào)，實(shí)踐的輸出為。在維納預(yù)測(cè)中，期望的輸出踐的輸出為。在維納預(yù)測(cè)中，期望的輸出信號(hào)，信號(hào)， 實(shí)踐的輸出。實(shí)踐的輸出。前面曾經(jīng)推導(dǎo)得到維納濾波的最正

32、確解為：前面曾經(jīng)推導(dǎo)得到維納濾波的最正確解為：)()()()()(optzSzSzSzSzHxxxdxxxs2.4.1 )()(nsnd)()(Nnsny)()(Nnsnd)()(nsny其中,是觀測(cè)數(shù)據(jù)的功率譜；是觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望信號(hào)的互功率譜。)(zSxx)(zSxd2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.1 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算維納預(yù)測(cè)的計(jì)算相互關(guān)函數(shù)的傅里葉變換相互關(guān)函數(shù)的傅里葉變換 ：)()()(*kndnxEkrxd2.4.2 )(krxd 對(duì)應(yīng)于維納預(yù)測(cè)器， 其輸出信號(hào)y(n)和預(yù)測(cè)誤差信號(hào)e(n+N)分別為 )( )()()()()( )(0NnsNnsNnemNnxmhNnsnym2

33、.4.3 2.4.4 2.4.1 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算維納預(yù)測(cè)的計(jì)算同理，要使預(yù)測(cè)誤差的均方值為最小，須滿足同理，要使預(yù)測(cè)誤差的均方值為最小，須滿足 0| )(|2khNneE2.4.5 其中，hk表示h(k)。 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望的輸出的相互關(guān)函數(shù)rxyd(k)和互譜密度Sxyd(z)分別為 NxsxyzzSzSd)()(2.4.6 2.4.7 )()()()()()(*kNrkNnsnxEkndnxEkrxsxd2.4.1 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算維納預(yù)測(cè)的計(jì)算這樣，非因果維納預(yù)測(cè)器的最正確解為這樣，非因果維納預(yù)測(cè)器的最正確解為 )()()()()(optzSzSzzSzSzH

34、xxxsNxxxyd2.4.8 因果維納預(yù)測(cè)器的最正確解為： )()()(11)()()(11)(1212optzBzSzzBzBzSzBzHxsNxyd2.4.9 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.1 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算維納預(yù)測(cè)的計(jì)算維納預(yù)測(cè)的最小均方誤差為維納預(yù)測(cè)的最小均方誤差為 CxsssCxysszdzzSzHzSzdzzSzHzSNneEd)()()(j21)()()(j21| )(|1opt1optmin2從上面分析可以看出， 維納預(yù)測(cè)的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.10 2.4.2 2.4.2 純預(yù)測(cè)純預(yù)測(cè) 假設(shè)假設(shè) ，式中，式中

35、 是噪聲，且是噪聲，且 ，期望信號(hào)為，期望信號(hào)為 ，此種，此種情況稱(chēng)為純預(yù)測(cè)。情況稱(chēng)為純預(yù)測(cè)。 假定維納預(yù)測(cè)器是因果的，仍設(shè)假定維納預(yù)測(cè)器是因果的，仍設(shè)s(n)s(n)與與v(n)v(n)不相不相關(guān)，純預(yù)測(cè)情況下的輸入信號(hào)的功率譜及維納預(yù)測(cè)器關(guān)，純預(yù)測(cè)情況下的輸入信號(hào)的功率譜及維納預(yù)測(cè)器的最正確解分別為的最正確解分別為 )()()()()(12zBzBzSzSzSssxsxx2.4.11 2.4.12 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) )()(1)()()(11)(12optzBzzBzBzSzzBzHNxsN0)(nvE)()()(nvnsnx)(nv，Nns)( 2.4.2 純預(yù)測(cè)純預(yù)測(cè)純預(yù)

36、測(cè)器的最小均方誤差為純預(yù)測(cè)器的最小均方誤差為 CNNCNNCNxssszdzzBzzzBzBzBzdzzzBzBzBzBzzBzBzdzzzSzHzSNneE)()()()(j2)()()()()()(j21)()()(j21| )(|11212121optmin22.4.13 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.2 純預(yù)測(cè)純預(yù)測(cè)運(yùn)用復(fù)卷積定理運(yùn)用復(fù)卷積定理 zzzYzXnynxCnd1)(j21)()(*2.4.14 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 取y(n)=x(n) zzzXzXnxCnd)()(j21)(122.4.15 2.4.2 純預(yù)測(cè)純預(yù)測(cè)將上式代入將上式代入(2.4.13)

37、式式, 并思索到并思索到b(n)是因果系統(tǒng)，得到是因果系統(tǒng)，得到 nnNnbnuNnbnbNneE)()()()(| )(|22min2 可以看到，隨著N 添加， 也添加。這一點(diǎn)也容易了解，當(dāng)預(yù)測(cè)的間隔越遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)的效果越差，偏向越大，因此 越大。 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) min2| )(|NneEmin2| )(|NneE )()(00222nnNnbnb)(1022nbNn2.4.3 2.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解 知知x(n-1), x(n-2)x(n-1), x(n-2)，,x(n-p), ,x(n-p), 預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)x(n)x(n)，假，假設(shè)噪聲設(shè)噪聲v(n

38、)=0v(n)=0，這樣的預(yù)測(cè)稱(chēng)為一步線性預(yù)測(cè)。設(shè)定，這樣的預(yù)測(cè)稱(chēng)為一步線性預(yù)測(cè)。設(shè)定系統(tǒng)的單位脈沖呼應(yīng)為系統(tǒng)的單位脈沖呼應(yīng)為h(n)h(n)，根據(jù)線性系統(tǒng)的根本實(shí)，根據(jù)線性系統(tǒng)的根本實(shí)際，輸出信號(hào)：際，輸出信號(hào)： pkknxkhnxny1)()()( )(令apk=-h(k)，那么 pkpkknxanx1)()( 2.4.21 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.3 2.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)誤差 pkpkpkpkknxaknxanxnxnxne01)()()()( )()(2.4.22 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 其中, ap0=1, 要使均方

39、誤差為最小值，要求：212)()(| )(|pkpkknxanxEneE2.4.23 planeEpl, 2 , 10| )(|2 2.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解同維納濾波的推導(dǎo)過(guò)程一樣, 可以得到 2.4.24 把(2.4.22)式代入(2.4.24)式, 得到 pllkralrpkxxpkxx, 2 , 10)()(12.4.25 pllnxneE, 2 , 10)()(*2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 由于預(yù)測(cè)器的輸出 是輸入信號(hào)的線性組合，參見(jiàn)2.4.21)式, 得到 )( nx0)( )(*nxneE2.4.26 2.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解(2.4.24)式闡明誤差信號(hào)與輸入

40、信號(hào)滿足正交性原理， (2.4.26)式闡明預(yù)測(cè)誤差與預(yù)測(cè)的信號(hào)值同樣滿足正交性原理。 預(yù)測(cè)誤差的最小均方值 pkxxpkxxpkpkkrarnxknxanxEnxneEnxnxneEneE11*min2)()0()()()()()()( )()(| )(|(2.4.27 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解 將將(2.4.25)式和式和(2.4.27)式聯(lián)立，式聯(lián)立， 得到下面的方程得到下面的方程組：組： pkxxpkxxpkxxpkxxpllkralrneEkrar11min2, 2 , 10)()(| )(|)()0(2.4.28 2.4

41、維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解 將方程組寫(xiě)成矩陣方式將方程組寫(xiě)成矩陣方式 00| )(|1)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(min21neEaarprprprrrprrrpppxxxxxxxxxxxxxxxxxx2.4.29 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 這就是有名的Yule-Walker方程 2.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解Yule-Walker方程具有以下特點(diǎn)： (1) 除了第一個(gè)方程外，其他都是齊次方程; (2) 與維納-霍夫方程相比，不需求知道觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n)與期望信號(hào)s(n)的相互關(guān)函數(shù)。 2.4 維維 納納

42、 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解Yule-Walker方程組有p+1個(gè)方程，對(duì)應(yīng)地，可以確定apk,k=1, 2, , p和Ee2(n)min，合計(jì)p+1個(gè)未知數(shù)，因此可用來(lái)求解AR模型參數(shù)。這就是后面要引見(jiàn)的AR模型法進(jìn)展功率譜估計(jì)的原理，它再一次提示了時(shí)間序列信號(hào)模型、功率譜和自相關(guān)函數(shù)描畫(huà)一個(gè)隨機(jī)信號(hào)的等價(jià)性。 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 卡爾曼濾波是用形狀空間法描畫(huà)系統(tǒng)的，由形狀方程和量測(cè)方程所組成?？柭鼮V波用前一個(gè)形狀的估計(jì)值和最近一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)形狀變量的當(dāng)前值， 并以形狀變量的估計(jì)值的方式給出。2.5 卡爾曼卡爾

43、曼(Kalman)濾波濾波 卡爾曼濾波具有以下的特點(diǎn)： (1) 算法是遞推的形狀空間法采用在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器的方法，因此適用于多維隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)；離散型卡爾曼算法適用于計(jì)算機(jī)處置。2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 卡爾曼濾波具有以下的特點(diǎn)： (2) 用遞推法計(jì)算，不需求知道全部過(guò)去的值，用形狀方程描畫(huà)形狀變量的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，因此信號(hào)可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的， 即卡爾曼濾波適用于非平穩(wěn)過(guò)程。 (3) 卡爾曼濾波采取的誤差準(zhǔn)那么仍為估計(jì)誤差的均方值最小。 2.5.1 2.5.1 卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程 假設(shè)某系統(tǒng)假設(shè)某系統(tǒng)k k時(shí)辰的形狀變量

44、為時(shí)辰的形狀變量為xkxk，形狀方程和量，形狀方程和量測(cè)方程也稱(chēng)為輸出方程表示為測(cè)方程也稱(chēng)為輸出方程表示為 ：kkkkwxAx1(2.5.1a) kkkkvxCy(2.5.1b) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.1 卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程闡明：闡明：k表示時(shí)間，指第表示時(shí)間，指第k步迭代時(shí)，相應(yīng)信號(hào)的取值步迭代時(shí)，相應(yīng)信號(hào)的取值k輸入信號(hào)白噪聲輸入信號(hào)白噪聲vk輸出信號(hào)的觀測(cè)噪聲白噪聲輸出信號(hào)的觀測(cè)噪聲白噪聲Ak表示形狀變量之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間發(fā)表示形狀變量之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間發(fā)生變化生變化Ck 表示形狀變量與輸出信號(hào)之間

45、的增益矩陣，可表示形狀變量與輸出信號(hào)之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間變化以隨時(shí)間變化2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.1 卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程信號(hào)模型如圖信號(hào)模型如圖2.5.1所示。所示。z1Ak1Ckk1xk1xkvkyk2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 圖 2.5.1 卡爾曼濾波器的信號(hào)模型 2.5.1 卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程將形狀方程中時(shí)間變量將形狀方程中時(shí)間變量k用用k-1替代，得到的形狀替代，得到的形狀方程和量測(cè)方程如下所示：方程和量測(cè)方程如下所示： 其中，xk是形狀變量;k-1表

46、示輸入信號(hào)是白噪聲; vk是觀測(cè)噪聲; yk是觀測(cè)數(shù)據(jù)。 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 11kkkkwxAxkkkkvxCy 2.5.1 卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程為了后面的推導(dǎo)簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)形狀變量的增益矩陣A不隨時(shí)間發(fā)生變化，k,vk都是均值為零的正態(tài)白噪聲，方差分別是Qk和Rk，并且初始形狀與k,vk都不相關(guān)，i,j表示相關(guān)系數(shù)。2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.1 卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程用數(shù)學(xué)方式表示為：kjkvvkvkkkjkkkkRRvEvQQEjkjk,2,2, 0:, 0:其中 jkjkkj012.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)

47、濾波濾波 2.5.2 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法 卡爾曼濾波是采用遞推的算法實(shí)現(xiàn)的，其根本思卡爾曼濾波是采用遞推的算法實(shí)現(xiàn)的，其根本思想是先不思索輸入信號(hào)想是先不思索輸入信號(hào)kk和觀測(cè)噪聲和觀測(cè)噪聲vkvk的影響，得的影響，得到形狀變量和輸出信號(hào)即觀測(cè)數(shù)據(jù)的估計(jì)值，再到形狀變量和輸出信號(hào)即觀測(cè)數(shù)據(jù)的估計(jì)值，再用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差加權(quán)后校正形狀變量的估計(jì)值，用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差加權(quán)后校正形狀變量的估計(jì)值，使形狀變量估計(jì)誤差的均方值最小。使形狀變量估計(jì)誤差的均方值最小。 因此因此, , 卡爾曼卡爾曼濾波的關(guān)鍵是計(jì)算出加權(quán)矩陣的最正確值。濾波的關(guān)鍵是計(jì)算出加權(quán)矩陣的最正確值

48、。2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法 當(dāng)不思索觀測(cè)噪聲和輸入信號(hào)時(shí)，形狀方程和量當(dāng)不思索觀測(cè)噪聲和輸入信號(hào)時(shí)，形狀方程和量測(cè)方程為：測(cè)方程為： 11 kkkkkkkkkxACxCyxAx(2.5.4) (2.5.5) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法顯然，由于不思索觀測(cè)噪聲的影響，輸出信號(hào)的顯然，由于不思索觀測(cè)噪聲的影響，輸出信號(hào)的估計(jì)值與實(shí)踐值是有誤差的，用估計(jì)值與實(shí)踐值是有誤差的，用 表示表示 kykkkyyy(2.5.6) 為了提高形狀估計(jì)的質(zhì)量，

49、用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差 來(lái)校正形狀變量 。ky2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法如如(2.5.7)所示：所示：)()(111kkkkkkkkkkkkkxACyHxAyyHxAx(2.5.7) 其中，Hk為增益矩陣，本質(zhì)是一加權(quán)矩陣。2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法經(jīng)過(guò)校正后的形狀變量的估計(jì)誤差及其均方值分別用 和Pk表示，把未經(jīng)校正的形狀變量的估計(jì)誤差的均方值用 表示 kxkP2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 kkkxxx(2.5.8) (2.5.9) (

50、2.5.10) )(TkkkkkxxxxEP)(TkkkkkxxxxEP 卡爾曼濾波要求形狀變量的估計(jì)誤差的均方值Pk為最小， 因此卡爾曼濾波的關(guān)鍵就是要得到Pk與Hk的關(guān)系式，即經(jīng)過(guò)選擇適宜的Hk,使Pk獲得最小值。 首先推導(dǎo)形狀變量的估計(jì)值 和形狀變量的估計(jì)誤差 ， 然后計(jì)算 的均方值Pk ，并經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)Pk ，得到一組卡爾曼濾波的遞推公式。 kx kxkx 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法將2.5.3、 (2.5.5)式代入2.5.7式： kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvHxACHxA

51、CHIvHxCHxACHIxACvxCHxAyyHxAx)()()()()(1111111(2.5.11) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法同理，形狀變量的估計(jì)誤差 為： xkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvHxxACHIvHCHIxxACHIvHACHxxACHxxAvHxACHxACHIxAxxx11111111111111111)()()()()()()()(2.5.12) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾

52、曼濾波的遞推算法由上式可以看出，形狀變量的估計(jì)誤差 由三部分組成， 可記為 ：xcbax其中 kkkkkkkkkkvHcCHIbxxACHIa111)()()(2.5.13b) (2.5.13c) (2.5.13d) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法那么，形狀變量的估計(jì)誤差的均方值Pk就由9項(xiàng)組成:)(,TTTTTTTTTTTcbcabcbaacabccbbaaEcbacbaExxEPkkk(2.5.14a) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法TkTkkkkkkkk

53、kvHcCHIbCHIAxxaTTT1TTTT11T)()()(2.5.14b) (2.5.14d) (2.5.14c) 其中 下面化簡(jiǎn)Pk的表達(dá)式，根據(jù)假設(shè)的條件，形狀變量的增益矩陣A不隨時(shí)間發(fā)生變化，起始時(shí)辰為k0，那么2.5.2式經(jīng)過(guò)迭代， 得到： 00011)(kkllkkkklkAxAx令l=k-k0-j，得到 10010000)(kkjjkkkkkkjkAxAx2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法取k0=0，k=k-1，得到 jkjjkkkAxAx202011(2.5.15) 所以xk-1僅依賴于x0,0, 1,k-2,

54、與k-1不相關(guān)，即： 0T11T11kkkkxexE(2.5.16) 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 又據(jù)(2.5.7)式和(2.5.3)式， 得 )(2111111211kkkkkkkkkkxACvxCHxAx(2.5.17) 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 所以 僅依賴于xk-1,vk-1，而與vk不相關(guān)，即 1kx0)()(T11T11kkkkkkxxvEvxxE0)()(T111T111kkkkkkxxExxE(2.5.18) (2.5.19) 把2.5.

55、152.5.19式代入(2.5.14)式, Pk中的9項(xiàng)可以分別化簡(jiǎn)為: TT1TTT1111T)()()()()(kkkkkkkkkkkkkkkkkCHIAPACHICHIAxxxxACHIEaaET1TT11T)()()()(kkkkkkkkkkkCHIQCHICHICHIEbbE(2.5.20a) (2.5.20b) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法TTkkkkTkkkHRHHvvHEccE(2.5.20c) 0)(0)()(0)(0)()()(0)()(0)()()(TT1TTTTTT11TTT1TTTT111TTT11

56、TT11T111TkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkCHIvHEcbECHIAxxvHEcaEHvCHIEbcECHIAxxCHIEbaEHvxxACHIEacExxxxACHIEabE(2.5.20d) (2.5.20e) (2.5.20f) (2.5.20g) (2.5.20h) (2.5.20j) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法也就是說(shuō)，Pk僅有其中的三項(xiàng)不為零， 化簡(jiǎn)成 TkkkkkkTkkkkkTkkkkkkkkkkTkkkkkkHRHCHIQAPACHIHRHCHIQC

57、HICHIAPACHIccEbbEaaEPT11T1T1TTT)()()()()()(2.5.21) 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 為了進(jìn)一步化簡(jiǎn)Pk，推導(dǎo)未經(jīng)誤差校正的形狀估計(jì)誤差的均方值Pk，由下面推導(dǎo)結(jié)果可以看出，Pk是一對(duì)稱(chēng)矩陣，滿足Pk=(Pk)T。 1T1T11TT1111T111111T111111T)()()()()(defkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkQAPAEAxxxxEAxxAxxAExAxAxAxAExxxxEP(2.5.22) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman

58、)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法將(2.5.22)式代入(2.5.21)式，即把Pk代入Pk, TTTTTTTT)()()(kkkkkkkTkkkkkkkkkkkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkHRHPCHHCPPCHPHRHHPCHHCPPCHPHRHCHIPCHIP(2.5.23) 其中, 是正定陣. kTkkkRCPC2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法TSSRCPCkTkkk(2.5.24) 記令 T TTT)(kkkkkkPCPCCPU(2.5.25) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalma

59、n)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法將上式代入2.5.23式，得 TTTT)(kkTkkkkkHSSHUHUUUHPP(2.5.26) 將(2.5.26)式后三項(xiàng)配對(duì) 1TTT1T1TT1TT1T1T)()()()()()(kkkkkkkkkkkkkkkPCPCPCCPPSUSHSUSHUSSUPSUSHSUSHP(2.5.27) 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 第二項(xiàng)和第三項(xiàng)均與Hk無(wú)關(guān)，第一項(xiàng)為一半正定陣，因此使Pk最小的Hk應(yīng)滿足 01)(TSUSHk(2.5.28) (2.5.29) 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 1T1T11Topt)()()(kkkkTkkRCPCCPSSUSSUH將Hopt代入Pk，得到最小均方誤差陣 1TT)()(kkkkkkkkkkkkkkkkkPCHIPCHPPCRCPCCPPP 將(2.5.7)、 (2.5.22)、 (2.5.29)式和(2.5.30)式聯(lián)立， 得到一組卡爾曼遞推公式 (2.5.30) 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞