極坐標(biāo)與全參數(shù)方程講義(教師版)(共14頁)

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程 一、極坐標(biāo)知識點(diǎn)1.極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn),叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)引一條射線,叫做極軸;再選定一個(gè)長度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作.一般地,

2、不作特殊說明時(shí),我們認(rèn)為可取任意實(shí)數(shù).特別地,當(dāng)點(diǎn)在極點(diǎn)時(shí),它的極坐標(biāo)為(0, )(R).和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示;同時(shí),極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的.2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)互化公式:設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是(),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式在一般情況下,由確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)所在的象限最小正角.3.常見圓與直線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓

3、心在極點(diǎn),半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點(diǎn),傾斜角為的直線(1)(2)過點(diǎn),與極軸垂直的直線過點(diǎn),與極軸平行的直線注:由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式,只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對于極坐標(biāo)方程點(diǎn)可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標(biāo)滿足方程.二、考點(diǎn)闡述考點(diǎn)1、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化例題1、在極坐標(biāo)中，求兩點(diǎn)之間的距離以及過它們的直線的極坐標(biāo)方程。 解：兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)為它們之間的距離.由于直線垂直于極軸，且距離極點(diǎn)，所以直線的極坐標(biāo)方程為練習(xí)1.1、已知曲線

4、的極坐標(biāo)方程分別為，求曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo) 解：我們通過聯(lián)立解方程組解得,即兩曲線的交點(diǎn)為。12. 已知圓C：，則圓心C的極坐標(biāo)為_答案：（ ）練習(xí)1.3已知點(diǎn)c極坐標(biāo)為，求出以C為圓心，半徑r=2的圓的極坐標(biāo)方程（寫出解題過程）； 考點(diǎn)2、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化 例題2、已知曲線的極坐標(biāo)方程是以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求|的最小值解：曲線的極坐標(biāo)方程可化為, 其直角坐標(biāo)方程為，即. （3分） 直線的方程為.所以圓心到直線的距離 （6分） 所以，的最小值為. （10分）練習(xí)2.1、設(shè)過原點(diǎn)的直

5、線與圓：的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)。(1) 求圓C的極坐標(biāo)方程；(2) 求點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線解：圓的極坐標(biāo)方程為4分設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)， ， 7分 將，代入圓的極坐標(biāo)方程，得點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為，它表示圓心在點(diǎn)，半徑為的圓 10分練習(xí)2.2（2015理數(shù)）(23)(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中.直線:x2，圓：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（I） 求，的極坐標(biāo)方程；（II） 若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為， ，求C2MN的面積 （23）解：（I）因?yàn)椋缘臉O

6、坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為。 5分 （II）將代入，得，解得，。故，即。 由于的半徑為1，所以的面積為。 10分二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù),并且對于的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)中的一個(gè)與參數(shù)的關(guān)系,例如,把它代入普通方程,求出

7、另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系,那么就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點(diǎn)從初始位置出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則。這就是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過的角度。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱為離心角；焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是其

8、參數(shù)方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0，2）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)時(shí)，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類似。5雙曲線的參數(shù)方程（了解）以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為其參數(shù)方程為，其中焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為7直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的普通方程是而過，傾斜角為的直線的

9、參數(shù)方程為。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點(diǎn)為起點(diǎn)，任一點(diǎn)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，0；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，0；當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，=0。我們也可以把參數(shù)理解為以為原點(diǎn)，直線向上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其單位長度與原直角坐標(biāo)系中的單位長度相同?？键c(diǎn)3、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化例題3：已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為 （1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （2）曲線，是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由解：（1）由得曲線的普通方程為 ，即曲線的直角坐標(biāo)方程

10、為（分）（2）圓的圓心為，圓的圓心為兩圓相交設(shè)相交弦長為，因?yàn)閮蓤A半徑相等，所以公共弦平分線段 公共弦長為（10分） 練習(xí)3.1（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.已知曲線C：為參數(shù)，0<2)，（）將曲線化為普通方程；（）求出該曲線在以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)方程（） 5分（） 10分練習(xí)3.2已知曲線C1：，曲線C2：。（1）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都壓縮為原來的一半，分別得到曲線，。寫出，的參數(shù)方程。與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說明你的理由。練習(xí)3.3

11、(2014II)（23）(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求得參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，在處的切線與直線垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，確定的坐標(biāo).（23）解： （I）C的普通方程為. 可得C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，） （）設(shè)D.由（I）知C是以G（1,0）為圓心，1為半徑的上半圓。因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與t垂直，所以直線GD與t的斜率相同, . 故D的直角坐標(biāo)為，即。練習(xí)3.4（2013）（23）（本小題10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為

12、極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為。（）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（0,02）?！久}意圖】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化及兩曲線交點(diǎn)求法、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，是容易題.【解析】將消去參數(shù)，化為普通方程，即：，將代入得，的極坐標(biāo)方程為；（）的普通方程為，由解得或，與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（），.練習(xí)3.5(2015II)23（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），其中，在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線，曲線（）.求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（）.若與相交于點(diǎn)

13、，與相交于點(diǎn)，求的最大值【答案】（）和；（）解：（）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為聯(lián)立解得或所以與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和（）曲線的極坐標(biāo)方程為，其中因此得到極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為考點(diǎn)：1、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化；2、三角函數(shù)的最大值考點(diǎn)4：利用參數(shù)方程求求值域例題4、在曲線：上求一點(diǎn)，使它到直線：的距離最小，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)和最小距離。解：直線C2化成普通方程是x+y-2-1=02分設(shè)所求的點(diǎn)為P（1+cos,sin),3分則C到直線C2的距離d=5分 =|sin(+)+2|7分當(dāng)時(shí)，即=時(shí)，d取最小值19分此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1-，-）10分練習(xí)4

14、.1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓的圓心為 ，求的取值范圍. 【解】由題設(shè)得（為參數(shù)）. 3分于是， 6分所以 . 10分練習(xí)4.2（本小題滿分10分）已知曲線的極坐標(biāo)方程是，設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)） （）將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程； （）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.答案：（本小題滿分10分）解：（1）曲線的極坐標(biāo)方程可化為： 又 .所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為：. （2）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程得： 令 得 即點(diǎn)的坐標(biāo)為 又曲線為圓，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則 練習(xí)4.3（2014理數(shù)）3. （本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線：，直線

15、：（為參數(shù)）.()寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（）過曲線上任一點(diǎn)作與夾角為的直線，交于點(diǎn)，求的最大值與最小值.【解析】：.() 曲線C的參數(shù)方程為： （為參數(shù)）， 直線l的普通方程為： 5分 （）（2）在曲線C上任意取一點(diǎn)P (2cos,3sin)到的距離為，則+-，其中為銳角且.當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為. 10分考點(diǎn)5：直線參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義考點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)二：直線參數(shù)方程中的幾何意義的應(yīng)用 表示直線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.直線參數(shù)方程（為參數(shù)），橢圓方程，相交于兩點(diǎn)，直線上定點(diǎn)將直線的參數(shù)方程帶入橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，則： 若為的中點(diǎn)，則 例題5：已知直線經(jīng)過點(diǎn),