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文檔簡介
1、泉州七中數(shù)學組 王劍峰參數(shù)方程和極坐標系一、 知識要點(一)曲線的參數(shù)方程的定義:在取定的坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù),即并且對于t每一個允許值,由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上,那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù),簡稱參數(shù)(二)常見曲線的參數(shù)方程如下:1過定點(x0,y0),傾角為的直線:(t為參數(shù))其中參數(shù)t是以定點P(x0,y0)為起點,對應于t點M(x,y)為終點的有向線段PM的數(shù)量,又稱為點P與點M間的有向距離根據(jù)t的幾何意義,有以下結(jié)論設(shè)A、B是直線上任意兩點,它們對應的參數(shù)分別為tA和tB,則線段AB
2、的中點所對應的參數(shù)值等于2中心在(x0,y0),半徑等于r的圓:(為參數(shù))3中心在原點,焦點在x軸(或y軸)上的橢圓:(為參數(shù))(或)中心在點(x0,y0)焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程4中心在原點,焦點在x軸(或y軸)上的雙曲線:(為參數(shù))(或)5頂點在原點,焦點在x軸正半軸上的拋物線:(t為參數(shù),p0)直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過定點P(x0,y0),傾斜角為的直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù))J3.2極坐標系1、定義:在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點,引一條射線Ox,叫做極軸,再選一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內(nèi)的任意一點M,用表示線段OM的長度,表示從O
3、x到OM的角,叫做點M的極徑,叫做點M的極角,有序數(shù)對(, )就叫做點M的極坐標。這樣建立的坐標系叫做極坐標系。2、極坐標有四個要素:極點;極軸;長度單位;角度單位及它的方向極坐標與直角坐標都是一對有序?qū)崝?shù)確定平面上一個點,在極坐標系下,一對有序?qū)崝?shù)、對應惟一點P(,),但平面內(nèi)任一個點P的極坐標不惟一一個點可以有無數(shù)個坐標,這些坐標又有規(guī)律可循的,P(,)(極點除外)的全部坐標為(,)或(,),(Z)極點的極徑為0,而極角任意取若對、的取值范圍加以限制則除極點外,平面上點的極坐標就惟一了,如限定>0,0或<0,等極坐標與直角坐標的不同是,直角坐標系中,點與坐標是一一對應的,而極坐
4、標系中,點與坐標是一多對應的即一個點的極坐標是不惟一的 3、直線相對于極坐標系的幾種不同的位置方程的形式分別為: 4、圓相對于極坐標系的幾種不同的位置方程的形式分別為: 5、極坐標與直角坐標互化公式: 例題(j3.1參數(shù)方程)例1.討論下列問題:1、已知一條直線上兩點、,以分點M(x,y)分所成的比為參數(shù),寫出參數(shù)方程。2、直線(t為參數(shù))的傾斜角是 ABCD3、方程(t為非零常數(shù),為參數(shù))表示的曲線是 ( )A直線B圓C橢圓D雙曲線4、已知橢圓的參數(shù)方程是(為參數(shù)),則橢圓上一點 P (,)的離心角可以是 A B C D例2 把彈道曲線的參數(shù)方程 化成普通方程例3. 將下列數(shù)方程化成普通方程
5、, 例4. 直線3x2y6=0,令y = tx 6(t為參數(shù))求直線的參數(shù)方程例5.已知圓錐曲線方程是(1) 若t為參數(shù),為常數(shù),求該曲線的普通方程,并求出焦點到準線的距離;(2) 若為參數(shù),t為常數(shù),求這圓錐曲線的普通方程并求它的離心率。例6. 在圓x22xy2=0上求一點,使它到直線2x3y5=0的距離最大例7. 在橢圓4x29y2=36上求一點P,使它到直線x2y18=0的距離最短(或最長) 例8.已知直線;l:與雙曲線(y-2)2-x2=1相交于A、B兩點,P點坐標P(-1,2)。求:(1)|PA|.|PB|的值; (2)弦長|AB|; 弦AB中點M與點P的距離。例9.已知A(2,0)
6、,點B,C在圓x2+y2=4上移動,且有 求重心G的軌跡方程。例10.已知橢圓和圓x2+(y-6)2=5,在橢圓上求一點P1,在圓上求一點 P2,使|P1P2|達到最大值,并求出此最大值。例11.已知直線l過定點P(-2,0),與拋物線C: x2+ y-8=0相交于A、B兩點。(1)若P為線段AB的中點,求直線l的方程;(2)若l繞P點轉(zhuǎn)動,求AB的中點M的方程.例12.橢圓上是否存在點P,使得由P點向圓x2+y2=b2所引的兩條切線互相垂直?若存在,求出P點的坐標;若不存在,說明理由。例題(J3.2極坐標系)例1討論下列問題:1在同一極坐標系中與極坐標M(2, 40°)表示同一點的
7、極坐標是( ) (A)(2, 220°) (B)(2, 140°) (C)(2,140°) (D)(2,40°)2已知ABC的三個頂點的極坐標分別為A(4,0°), B(4,120°), C(22, 30°),則ABC為( )。 (A)正三角形 (B)等腰直角三角形 (C)直角非等腰三角形 (D)等腰非直角三角形3在直角坐標系中,已知點M(2,1),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,當極角在(, 內(nèi)時,M點的極坐標為( ) (A)(,argtg()) (B)(,argtg() (C)(,argtg) (D)(,a
8、rgtg)例2.把點的極坐標化為直角坐標。例3.把點的直角坐標化為極坐標。例4.已知正三角形ABC中,頂點A、B的極坐標分別為,試求頂點C的極坐標。例5.化圓的直角方程x2+y2-2ax=0為極坐標方程。例6.化圓錐曲線的極坐標方程為直角坐標方程。例7.討論下列問題:1在極坐標系里,過點M(4,30°)而平行于極軸的直線的方程是( ) (A)2 (B)2 (C) (D)2在極坐標系中,已知兩點M1(4,arcsin),M2(6,arccos(),則線段M1M2的中點極坐標為( ) (A)(1,arccos) (B)(1, arcsin) (C)(1,arccos() (D)(1,ar
9、csin)3. 已知P點的極坐標是(1,),則過點P且垂直于極軸的直線的極坐標方程是( )。 (A)=1 (B)cos (C)cos=1 (D)cos=14. 若>0,則下列極坐標方程中,表示直線的是( )。 (A)= (B)cos= (0) (C)tg=1 (D)sin=1(0)5. 若點A(4, )與B關(guān)于直線=對稱,在>0, <條件下,B的極坐標是 。6. 直線cos()=1與極軸所成的角是 。7. 直線cos()=1與直線sin()=1的位置關(guān)系是 。8. 直線y=kx1 (k<0且k)與曲線2sinsin20的公共點的個數(shù)是( )。 (A)0 (B)1 (C)
10、2 (D)3例8.討論下列問題;1. 圓的半徑是1,圓心的極坐標是(1, 0),則這個圓的極坐標方程是( )。 (A)cos (B)sin (C)2cos (D)2sin2. 極坐標方程分別是cos和sin的兩個圓的圓心距是( )。 (A)2 (B) (C)1 (D)3. 在極坐標系中和圓=4sin相切的一條直線方程是( ) (A)sin=2 (B)cos=2 (C)sin=4 (D)cos=44圓DcosEsin與極軸相切的充分必要條件是( ) (A)D·E0 (B)D2E20 (C)D0,E0 (D)D0,E05圓2sin2cos的圓心的極坐標為 。6. 若圓的極坐標方程為=6cos,則這個圓的面積是 。7. 若圓的極坐標方程為=4sin,則這個圓的直角坐標方程為 。8. 設(shè)有半徑為4的圓,它在極坐標系內(nèi)的圓心的極坐標為(4, 0),則這個圓的極坐標方程為 。例9.當a、b、c滿足什么條件時,直線與圓相切?例10.試把極坐標方程 化為直角坐標方程,并就m值的變化討論曲線的形狀。例11.過拋物線y2=2px的焦點F且
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