MATLAB語言在 現(xiàn)代科學運算中的應用

1、Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010薛定宇、陳陽泉著基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用(第2版)，清華大學出版社，2010第第3章章 MATLAB語言在語言在現(xiàn)代科學運算中的應用現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇東北大學信息學院Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010

2、第第3章章 MATLAB語言在語言在現(xiàn)代科學運算中的應用現(xiàn)代科學運算中的應用主要內(nèi)容解析解與數(shù)值解數(shù)值線性代數(shù)問題及求解微積分問題的MATLAB求解常微分方程的數(shù)值解法非線性方程與最優(yōu)化問題求解動態(tài)規(guī)劃及其在路徑規(guī)劃中的應用數(shù)據(jù)插值與統(tǒng)計分析Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.1 解析解與數(shù)值解解析解與數(shù)值解現(xiàn)代科學與工程的進展離不開數(shù)學。數(shù)學家們感興趣的問題和其他科學家、工程技術(shù)人員所關(guān)注的問題不同數(shù)學家對數(shù)學問題的解析解，或稱

3、閉式解(closed-form solution)和解的存在性嚴格證明工程技術(shù)人員對如何求出數(shù)學問題的解更關(guān)心能用某種方法獲得問題的解則是工程技術(shù)人員更關(guān)心的問題最直接方法就是通過數(shù)值解法技術(shù)Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010必須使用數(shù)值解的場合必須使用數(shù)值解的場合(1) 解析解不存在p不存在解析解祖沖之，公元480年，公元前250年(?)阿基米德近年，精確到60億位 數(shù)值運算取16位有效數(shù)字足矣，3.1418也未嘗不可定積分 沒有

4、解析解數(shù)學家的方法：引入特殊函數(shù) erf(x)別介意erf(0.5)=?工程技術(shù)人員需要得出近似的數(shù)值解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010(2) 解析解存在但不實用時nn矩陣的行列式解析解：代數(shù)余子式的方法，n階矩陣行列式化成n-1階行列式，n-1階變換成n-2階結(jié)論：任意階次的矩陣行列式均有解析解忽略了計算量問題：n=20，計算量為每秒百億次的計算機計算3000年！550550矩陣行列式數(shù)值解不足1s即可得出很多領域需要計算更大規(guī)

5、模矩陣的行列式Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010其他應用數(shù)值解的場合其他應用數(shù)值解的場合力學領域常用有限元法求解偏微分方程在航空、航天與自動控制領域經(jīng)常用數(shù)值線性代數(shù)與常微分方程的數(shù)值解法等解決實際問題工程與非工程系統(tǒng)的計算機仿真差分方程、常微分方程的數(shù)值解法高科技的數(shù)字信號處理領域快速Fourier變換已經(jīng)成為其不可或缺的工具Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用

6、薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.2 數(shù)值線性代數(shù)問題及求解數(shù)值線性代數(shù)問題及求解本節(jié)主要內(nèi)容特殊矩陣的MATLAB輸入矩陣基本分析與運算矩陣逆與廣義逆運算矩陣的相似變換與分解矩陣的特征值與特征向量代數(shù)方程求解矩陣的非線性運算Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.2.1 特殊矩陣的特殊矩陣的MATLAB輸入輸入零矩陣、幺矩陣和單位矩陣偽隨機元素矩陣偽隨機數(shù)”：通過某種數(shù)學

7、公式生成的、滿足某些隨機指標的數(shù)據(jù)，是可以重復的Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010對角矩陣Hilbert矩陣及逆矩陣Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010伴隨矩陣由首一多項式生成的矩陣MATLAB函數(shù)p為多項式向量，自動首一化Monday, 2010-10- 11, 22:0

8、6:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Hankel矩陣反對角線上元素相等MATLAB調(diào)用格式舉例Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Vandermonde矩陣已知向量符號矩陣及矩陣轉(zhuǎn)換數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)符號矩陣符號矩陣轉(zhuǎn)雙精度矩陣Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用

9、薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.2.3 矩陣基本分析與運算矩陣基本分析與運算矩陣的行列式數(shù)學求解MATLAB求解舉例矩陣的跡 矩陣的秩 Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010向量范數(shù)滿足的三個條件 向量的范數(shù)矩陣的范數(shù)矩陣的范數(shù)矩陣的范數(shù)Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/

10、Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010常用矩陣范數(shù) MATLAB求解函數(shù)選項：1, 2, inf, froMonday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010特征多項式、特征方程與特征根特征多項式、特征方程與特征根特征多項式特征方程特征根：上述方程的根例：A 矩陣的特征多項式有誤差，對某些問題可能有極大誤差Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于

11、MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Leverrier-Faddeev遞推算法遞推算法遞推求解多項式系數(shù) 其中Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010多項式及多項式矩陣的求值多項式及多項式矩陣的求值矩陣多項式MATLAB求解：點運算多項式MATLAB求解：Hamilton-Cailey定理Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、

12、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.2.5 矩陣逆與廣義逆運算矩陣逆與廣義逆運算矩陣的逆矩陣inv()函數(shù)可以用于符號矩陣求解奇異矩陣和長方形矩陣可以求廣義逆這樣的廣義逆不唯一Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Moore-Penrose廣義逆廣義逆前面介紹的廣義逆有無窮多解引入最優(yōu)化準則 則可以得出唯一的逆矩陣，滿足下面條件 稱為Moore-Penrose廣義逆，或偽逆Monday

13、, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010矩陣廣義逆舉例矩陣廣義逆舉例長方形矩陣MATLAB求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.2.6 矩陣的相似變換與分解矩陣的相似變換與分解對方陣A，存在非奇異方陣T，使得上述變換稱為相似變換，T 稱為變換矩陣正交矩陣 滿足化零空間 (null sp

14、ace)Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010矩陣的三角分解矩陣的三角分解任意矩陣分解成 MATLAB函數(shù)這樣構(gòu)造的函數(shù)使用了主元素法，不能保證得出的一定是三角矩陣，也可能是置換Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010為符號矩陣重載了lu()函數(shù)數(shù)值分解解析分解Monday, 20

15、10-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010對稱矩陣的對稱矩陣的Cholesky分解分解LU分解的特例：MATLAB函數(shù)：例：對稱33 Hilbert矩陣重載的chol()函數(shù)Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010矩陣的奇異值分解矩陣的奇異值分解任意矩陣滿足奇異值分解 MATLAB命令：條件數(shù)：Monda

16、y, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.2.6 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量特征值、特征向量定義MATLAB求解廣義特征值例Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.2.7 代數(shù)方程求解代數(shù)方程求解線性方程求解解的三種可能：唯一解無窮多解無解Monday, 2010-10

17、- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010(1) 唯一解：A為非奇異方陣 方程的解 MATLAB語句：(2) 方程有無窮多解 構(gòu)造解的判定矩陣 如果(3) 無解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010代數(shù)方程求解舉例代數(shù)方程求解舉例例1 檢驗解的類型求出所有的解基于基本變換的另一種解法Monday, 2010-10

18、- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010矛盾方程的最小二乘解矛盾方程的最小二乘解判定解的形式求最小二乘解該解不滿足原始代數(shù)方程組，但該解能使解的整體誤差（誤差向量的范數(shù)）最小Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Kronecker積與矩陣方程求解積與矩陣方程求解線性代數(shù)方程記方程可以轉(zhuǎn)換成Monday, 201

19、0-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Sylvester方程求解方程求解Sylvester方程又稱為廣義Lyapunov方程應用Kronecker乘積，可以變換為方程的解析解為Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Sylvester方程求解函數(shù)方程求解函數(shù)Lyapunov方程離散Lyapunov方程S

20、ylvester方程例Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Riccati方程求解方程求解Riccati方程MATLAB求解例Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.2.8 矩陣的非線性運算矩陣的非線性運算面向矩陣元素的非線性運算常用函數(shù)表Monday, 2010-10- 11

21、, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)矩陣輸入矩陣指數(shù)函數(shù)的數(shù)值解和解析解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010矩陣三角函數(shù)矩陣三角函數(shù)利用Euler公式可以推導出可以利用expm()函數(shù)求三角函數(shù)例擴展：利用funm()函數(shù)的重載函數(shù)求任意矩陣函數(shù)的解析解Monday, 2010-10- 11, 2

22、2:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.3 微積分問題的微積分問題的MATLAB求解求解高等數(shù)學中的各種問題可以通過手工的方式推導出來，也可以通過計算機求出其解析解MATLAB的符號運算工具箱能直接求解相關(guān)的問題，用一個語句即可得出結(jié)果本節(jié)主要內(nèi)容微積分問題的解析解運算數(shù)值差分與微分運算數(shù)值積分運算多重定積分的數(shù)值求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿

23、真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.3.1 微積分問題的解析解運算微積分問題的解析解運算極限問題求解求解高階導數(shù) ：不定積分運算定積分運算給定函數(shù)的前n項Taylor級數(shù)展開級數(shù)求和多重微分、積分可以嵌套使用相應函數(shù) Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010微積分問題解析解求解實例微積分問題解析解求解實例函數(shù)的極限給定函數(shù)級數(shù)Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定

24、宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010級數(shù)函數(shù)數(shù)值方法無法求解解析解二重積分問題Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010 3.3.2 數(shù)值差分與微分運算數(shù)值差分與微分運算數(shù)值差分MATLAB提供的diff()函數(shù)可以對數(shù)值向量求取差分數(shù)值微分算法前向差分算法后向差分算法算法精度：Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇

25、、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010中心差分的數(shù)值微分算法中心差分的數(shù)值微分算法各階數(shù)值微分公式（精度 ）編寫MATLAB函數(shù)，調(diào)用格式Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010程序清單程序清單Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010數(shù)

26、值微分實例數(shù)值微分實例原始函數(shù)步距選擇0.05，生成樣本點數(shù)據(jù)各階數(shù)值微分解析解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.3.3 數(shù)值積分運算數(shù)值積分運算一維函數(shù)的定積分解析解經(jīng)常不存在，需要求數(shù)值解基于MATLAB的數(shù)值積分方法各種積分函數(shù)quad()、quadl() 、quadgk()例相應的不定積分沒有解析解這里演示數(shù)值解方法Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用

27、薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010描述被積函數(shù)的三種方法匿名函數(shù)M-函數(shù)inline函數(shù)求解命令Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.3.4 多重定積分的數(shù)值求解多重定積分的數(shù)值求解矩形邊界的定積分MATLAB求解函數(shù)例：雙重積分該函數(shù)不能處理非矩形區(qū)域問題Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉

28、基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010非矩形區(qū)域的多重積分問題非矩形區(qū)域的多重積分問題非矩形區(qū)域的雙重積分問題美國學者Howard Wilson與Bryce Gardner開發(fā)了數(shù)值積分工具箱(Numerical Integration Toolbox，NIT工具箱)可以直接求解需要用戶編寫3個函數(shù)不能返回被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010雙重積分求解實例雙重積分求解實例非矩

29、形邊界的重積分編寫三個函數(shù)，然后求出積分值多重超維長方體邊界的定積分quadg()Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.4 常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法微分方程初值問題的數(shù)值解法實際上是動態(tài)系統(tǒng)數(shù)字仿真的基礎一階常微分方程組狀態(tài)向量初值問題：已知初值其他形式的微分方程和邊值問題等均可以通過這里提供的方法求取出來Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇

30、、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容常微分方程的數(shù)值解法MATLAB下的常微分方程求解函數(shù)剛性方程的MATLAB求解微分方程組的變換和技巧微分方程數(shù)值解正確性的驗證微分代數(shù)方程的數(shù)值解法線性隨機微分方程的數(shù)值解法常微分方程的解析求解方法Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.4.1常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法Euler算法演示微分方程 時刻的值為迭代

31、公式這樣就能把數(shù)值解一步一步計算出來Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010精度與速度問題精度與速度問題Euler算法的精度為o(h)減小計算步長h是有代價的：增加計算量增大累計誤差動態(tài)系統(tǒng)分析應該注意選擇適當?shù)牟介L：不能太大也不能太小改進求解算法：Runge-Kutta、Adams等采用變步長算法：變化平緩是采用大步長，迅速變化時采用小步長Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算

32、中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.4.2 MATLAB下的常微分方程下的常微分方程求解函數(shù)求解函數(shù)主求解函數(shù)其他可用的求解函數(shù)，調(diào)用格式一致ode23、ode15s()、ode113()options可以由odeget和odeset函數(shù)處理微分方程可以用下面的方式之一描述匿名函數(shù)M-函數(shù)inline函數(shù)：不建議使用Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010常用常用opti

33、ons選項選項Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010常微分方程舉例常微分方程舉例Lorenz方程初值描述微分方程，然后求解繪圖Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Van der Pol方程求解方程求解Van der Pol方程選擇狀態(tài)變量帶有附加參數(shù)m，可以求解Monday,

34、2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010隱式微分方程求解舉例隱式微分方程求解舉例隱式微分方程可以寫出Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Van der Pol剛性方程剛性方程Van der Pol方程m=1000, 用ode45不能求解常用剛性微分方程求解函數(shù)ode15s()，可以根據(jù)需要自動選

35、擇合適的算法階次，得出微分方程的數(shù)值解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010教科書給出的剛性微分方程求解教科書給出的剛性微分方程求解微分方程解析解 常規(guī)微分方程求解合適直接求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010真正的剛性微分方程求解真正的剛性微分方程求解常微分方程初值Mond

36、ay, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.4.5 微分方程組的變換和技巧微分方程組的變換和技巧解決其他形式微分方程到標準型 的變換方法單個高階常微分方程處理方法選擇一組狀態(tài)變量原微分方程可以變換為Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010高階常微分方程組的變換方法高階常微分方程組的變換方法一

37、般高階微分方程組選擇狀態(tài)變量Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Apollo衛(wèi)星軌跡衛(wèi)星軌跡衛(wèi)星方程選擇狀態(tài)變量Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010微分方程變換成Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、

38、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010直接求解直接求解結(jié)果是錯誤的，應該檢驗Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.4.6 微分方程數(shù)值解微分方程數(shù)值解正確性的驗證正確性的驗證微分方程求解后應該對得出的解進行驗證具體驗證方法采用不同的求解算法，看看是不是能得出完全一致的結(jié)果可以采用不同的RelTol屬性：一般情況下，即使該參數(shù)有極大的變化，如從10-3變成10-10，計算量也不會有過大的變

39、化，所以可以考慮采用較小的RelTolMonday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.4.7 微分代數(shù)方程的數(shù)值解法微分代數(shù)方程的數(shù)值解法微分代數(shù)方程 (differential algebraic equation, DAE)，是指在微分方程中，某些變量間滿足某些代數(shù)方程的約束微分代數(shù)方程標準型將 f=odeget 中Mass屬性合理設置例Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的

40、應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010微分代數(shù)方程的標準化 求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010簡單微分代數(shù)方程到常規(guī)方程的轉(zhuǎn)換簡單微分代數(shù)方程到常規(guī)方程的轉(zhuǎn)換由第3方程可見代入前兩個方程得出MATLAB求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)

41、與應用清華大學出版社，2010復雜微分代數(shù)方程的求解復雜微分代數(shù)方程的求解前面的例子典型微分代數(shù)方程Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.4.8 線性隨機微分方程的數(shù)值解法線性隨機微分方程的數(shù)值解法線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型Gauss白噪聲向量滿足定義一個變量可以證明協(xié)方差矩陣Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系

42、統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010原微分方程重新寫成狀態(tài)變量的解析解可以寫成得出離散化模型Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010且可以證明 也為Gauss白噪聲式中利用Taylor級數(shù)展開，得出Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010遞推公式遞推初值由奇異值分解Cholesk

43、y分解得離散模型Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010離散算法的離散算法的MATLAB編程編程Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010線性系統(tǒng)隨機輸入分析線性系統(tǒng)隨機輸入分析傳遞函數(shù)模型可以得出離散化模型Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLA

44、B語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.4.9 常微分方程的解析求解方法常微分方程的解析求解方法線性常系數(shù)微分方程可以采用符號運算工具箱中的dsolve()函數(shù)求出原問題的解析解Van der Pol方程嘗試求取解析解（不可解）Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.5 非線性方程與最優(yōu)化問題求解非線性方程與最優(yōu)化問題求解本節(jié)主要內(nèi)容非線性方程組求解無

45、約束最優(yōu)化問題求解線性規(guī)劃問題二次型規(guī)劃問題一般非線性規(guī)劃問題求解最優(yōu)化問題的全局搜索解法Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010最優(yōu)化工具箱求解控制選項最優(yōu)化工具箱求解控制選項由optimset和optimget函數(shù)修改Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.5.1 非線性方程

46、組求解非線性方程組求解求解非線性方程組方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)一致MATLAB求解函數(shù)描述方程的方式匿名函數(shù)M-函數(shù)inline函數(shù)Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010方程求解實例方程求解實例二元方程兩個未知數(shù)，需要變量替換，變成標準型選擇變量得出標準型方程描述與求解改變初值，重新求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的

47、系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010再改變初值也不能求出其他的根問題：6次多項式方程為什么只有兩個根？方程的解析求解圖解法圖解法只能求出實根精度較低整體感較好Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010方程求解實例方程求解實例二元非線性方程組非線性方程，解析解只能求出一個根圖解法Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)

48、仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010非線性矩陣方程的求解非線性矩陣方程的求解Riccati方程利用 只能求出一個根問題：非線性矩陣方程到底有多少個根？其他矩陣方程是否能求解？Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010Riccati矩陣方程求解程序矩陣方程求解程序隨機初值，死循環(huán)，用Ctrl+C中斷，8個根Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB

49、/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.5.2 無約束最優(yōu)化問題求解無約束最優(yōu)化問題求解無約束最優(yōu)化問題物理意義如何求解最大化問題MATLAB求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010無約束最優(yōu)化求解舉例無約束最優(yōu)化求解舉例無約束最優(yōu)化問題直接求解提高求解精度控制雙精度數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)能得到的最好結(jié)果Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉

50、基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.5.3 線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃的數(shù)學模型MATLAB求解函數(shù)Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010線性規(guī)劃問題求解實例線性規(guī)劃問題求解實例四元線性規(guī)劃問題目標函數(shù)一個乘-1轉(zhuǎn)換成最小值問題不等式約束可以寫成矩陣形式MATLAB求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽

51、泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.5.4 二次型規(guī)劃問題二次型規(guī)劃問題二次型規(guī)劃標準型MATLAB求解函數(shù)Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.5.5 一般非線性規(guī)劃問題求解一般非線性規(guī)劃問題求解非線性規(guī)劃標準型MATLAB求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系

52、統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010有約束最優(yōu)化求解舉例有約束最優(yōu)化求解舉例最優(yōu)化問題約束統(tǒng)計描述MATLAB求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010第2約束是線性的，可以從非線性約束剔除新的求解語句還可以利用目標函數(shù)梯度信息求解目標函數(shù)重新定義Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社

53、，20103.5.6 最優(yōu)化問題的全局搜索解法最優(yōu)化問題的全局搜索解法曲面介紹的傳統(tǒng)最優(yōu)化方法都是從某個預先選定的初始搜索點出發(fā)尋找問題最優(yōu)解的數(shù)值方法，這樣的搜索方法對線性規(guī)劃、二次型規(guī)劃這類“凸問題”有效對非凸問題，可以粗略地理解成其目標函數(shù)曲面凹凸不平，這樣，如果初值選擇不當，則很容易陷入局部最優(yōu)值的求解區(qū)域可以考慮并行求解方法。較好的并行求解方法遺傳算法及其改進形式、粒子群算法、模擬退火方法及蟻群算法等Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版

54、社，20103.6 動態(tài)規(guī)劃及其在動態(tài)規(guī)劃及其在路徑規(guī)劃中的應用路徑規(guī)劃中的應用前面介紹的最優(yōu)化問題是靜態(tài)最優(yōu)化問題在實際應用中，例如生產(chǎn)計劃制訂時，每一年度的計劃均取決于前一年的實際情況，這樣需要引入動態(tài)的最優(yōu)化問題。動態(tài)規(guī)劃是Richard 在1959年引入的一個新的最優(yōu)化領域，該成就是所謂的現(xiàn)代控制理論的三個基礎之一。該理論在多段決策過程和網(wǎng)絡路徑優(yōu)化等領域有重要的作用Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.6.1 圖的矩陣表示

55、方法圖的矩陣表示方法圖的基本概念在圖論中，圖是由節(jié)點和邊構(gòu)成的邊是連接兩個節(jié)點的直接路徑如果邊是有向的，則圖稱為有向圖否則稱為無向圖圖可以有多種表示方法，最適合計算機表示和處理的是其矩陣表示方法 Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010圖的圖的MATLAB表示表示可以表示起始節(jié)點向量和終止節(jié)點向量邊向量由稀疏矩陣可以表示圖稀疏矩陣和常規(guī)矩陣可以用sparse()和full()函數(shù)相互轉(zhuǎn)換Monday, 2010-10- 11, 22:06

56、:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.6.2 有向圖的路徑尋優(yōu)有向圖的路徑尋優(yōu)有向圖的最優(yōu)化問題可以手工求解生物信息學工具箱 (Bioinformatics) 的最優(yōu)路徑求解方法，該工具是Dijkstra算法的MATLAB實現(xiàn)例 路徑規(guī)劃問題：到的最短路徑Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010從終止節(jié)點反推，得出計算機求解建立

57、圖形求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010重新繪制 圖的表格描述Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010MATLAB求解建立有向圖最短路徑求解及解的可視顯示Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基

58、于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.6.3 無向圖的路徑最優(yōu)搜索無向圖的路徑最優(yōu)搜索無向圖的MATLAB表示如果A到B節(jié)點有路徑，則B到A也有同樣權(quán)值的路徑按有向圖方式先建立關(guān)聯(lián)矩陣R無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣還可以手工修改關(guān)聯(lián)矩陣建立了關(guān)聯(lián)矩陣，則可以用前述方法求解Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.7 數(shù)據(jù)插值與統(tǒng)計分析數(shù)據(jù)插值與統(tǒng)計分析本節(jié)主要內(nèi)容一維數(shù)據(jù)的插值擬合二維數(shù)據(jù)的插值擬合最小二乘

59、曲線擬合技術(shù)數(shù)據(jù)簡單排序快速Fourier變換數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計處理Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，20103.7.1 一維數(shù)據(jù)的插值擬合一維數(shù)據(jù)的插值擬合一維函數(shù) f(t) 表達式未知已知一些樣本點橫軸坐標縱軸坐標MATLAB表示 一維函數(shù)插值方法：linear、cubic、spline（建議使用） Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Si

60、mulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010插值舉例插值舉例假設已知的數(shù)據(jù)點來自函數(shù)生成稀疏的樣本點插值及其理論值比較Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應用清華大學出版社，2010樣本點的多項式擬合樣本點的多項式擬合為什么用多項式？Taylor展開MATLAB求解函數(shù)前面的例子，用不同階次的多項式逼近擬合效果逼近Monday, 2010-10- 11, 22:06:29 第3章：MATLAB語言在現(xiàn)代科學運算中的應用薛定宇、陳陽泉基于MATLAB/