雙曲線經(jīng)典知識(shí)點(diǎn)總結(jié)名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)班級(jí)姓名知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線. 這兩個(gè)定點(diǎn)、 叫雙曲線的焦點(diǎn)， 兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距 .注意： 1.雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；2. 若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2 為端點(diǎn)的兩條射線 （包括端點(diǎn)）；4若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡

2、為線段F1F2 的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中.注意： 1只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí), 才能得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2 在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有；3雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，即系數(shù)為正的項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上. 當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時(shí)， 焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時(shí)， 焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.知識(shí)點(diǎn)三：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線（ a 0， b 0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（ 1）對(duì)稱(chēng)性： 對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a 0，b 0），把 x 換成x，或把 y 換

3、成 y，或把 x、y 同時(shí)換成 x、 y，方程都不變，所以雙曲線（ a 0， b 0）是以 x 軸、y 軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)為雙曲線的中心。（ 2）范圍：雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x= a 和 x=a 的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x -a 或 xa。（ 3）頂點(diǎn)：雙曲線與它的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線的頂點(diǎn)。雙曲線（ a 0， b 0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（ a， 0）， A2（ a，0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段A A 叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B （ 0，

4、b）， B （0， b）為 y 軸上的兩個(gè)點(diǎn)，1212B |=2b 。 a 叫做雙曲線的實(shí)半則線段 B B 叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A A |=2a ， |B121212軸長(zhǎng)， b 叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。注意：雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱(chēng)為等軸雙曲線。（ 4）離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e 表示，記作。因?yàn)?ca 0，所以雙曲線的離心率。由 c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開(kāi)口大小，越大， e 也越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊。所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線

5、開(kāi)口的大小程度。等軸雙曲線，所以離心率。（ 5）漸近線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2、 A1 作 y 軸的平行線x=± a，經(jīng)過(guò)點(diǎn) B1、B2 作 x 軸的平行線y=± b，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是，我們把直線叫做雙曲線的漸近線。注意：雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交。知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線與的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)，性質(zhì)焦距范圍，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于 x 軸、 y 軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng) =，虛軸長(zhǎng) =離心率漸近線方程知識(shí)點(diǎn)五：雙曲線的漸近線：（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為注意：（ 1）已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“

6、常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（ 2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（ 3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在 y 軸上）（ 4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為.知識(shí)點(diǎn)六：雙曲線圖像中線段的幾何特征：雙曲線，如圖：；（ 3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；（ 4）中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、和角結(jié)合起來(lái) .1如何確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。2雙曲

7、線標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、 b、c 的幾何意義雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、 c 三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c a，c b，且 c2=b2+a2。3如何由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2 的系數(shù)，如果x2 項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x 軸上；如果y2 項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y 軸上。注意：對(duì)于雙曲線， a 不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。4方程 Ax2+By2=C（ A、B、 C

8、均不為零）表示雙曲線的條件22，即，所以只有A、B 異號(hào)，方程表示雙曲線。方程 Ax +By =C 可化為當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上；當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y 軸上。5求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”； 定義法 ：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。注意： 若定義中 “差的絕對(duì)值” 中的絕對(duì)值去掉， 點(diǎn)的集合成為雙曲線的一支， 先確定方程類(lèi)型，再確定參數(shù) a、 b，即先定型，再定量。若兩種類(lèi)型都有可能，則需分類(lèi)討論。6如何解決與焦點(diǎn)三角形P

9、F 1F2（ P 為雙曲線上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題？與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，常考慮到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理） 、（ 1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng), 焦距，（ 2）離心率：三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、，有關(guān)角結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系 .7如何確定離心率e 的取值情況與雙曲線形狀的關(guān)系？：離心率，因?yàn)?c2 =a2+b2，用 a、b 表示為，當(dāng) e 越大時(shí)，越大，即漸近線夾角（含x 軸）越大，故開(kāi)口越大；反之，e 越小，開(kāi)口越小。離心率反映了雙曲線開(kāi)口的大小，且e1。8橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù) |MF1|+|MF 2|=2a根據(jù) |MF1| |M

10、F2|= ±2aa c 0，0a c，a2 c2=b2（ b 0）c2 a2=b2（ b 0），（ a b 0）（ a 0， b 0，a 不一定大于b）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：類(lèi)型一：雙曲線的定義1已知 O1： (x+5) 2+y2=4， O2： (x 5) 2+y2 =9（ 1）若動(dòng)圓 P 與 1， 2 均內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心 P 點(diǎn)的軌跡；（ 2）若動(dòng)圓 Q與 1， 2 均外切，求動(dòng)圓圓心 Q點(diǎn)的軌跡。解析：（ 1）設(shè) P 半徑為 R， O1 與 O2 相離， |PO1|=R 2， |PO2|=R 3 |PO1| |PO2|=1 ，又 |O1O2|=10由雙曲線的定義， P 點(diǎn)的軌跡是以 O

11、1， O2 為焦點(diǎn)， 2a=1， 2c 10 的雙曲線的右支。（ 2）設(shè) Q半徑為 r ，則 |QO1|=r+2 ，|QO2|=r+3 |QO2| |QO1|=1 ，又 |O1O2|=10由雙曲線的定義，Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1，O2 為焦點(diǎn)， 2a=1， 2c 10 的雙曲線的左支。舉一反三：【變式 1】已知定點(diǎn)F1( 2,0) 、F2(2,0) ，平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡為雙曲線的是（ ）A|PF 1| |PF 2|= ± 3B|PF 1| |PF 2|= ± 4C|PF 1| |PF2 |= ± 5 D|PF 1| 2 |PF2 | 2=± 4

12、 【答案】 A【變式 2】已知點(diǎn) F1(0, 13) 、 F2(0,13) ，動(dòng)點(diǎn) P 到 F1 與 F2 的距離之差的絕對(duì)值為26，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A y=0 B y=0（ x 13 或 x 13）C x=0（|y| 13） D以上都不對(duì)【答案】C【變式3】已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A橢圓B雙曲線中的一支C兩條射線D以上都不對(duì)答案： B類(lèi)型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2 求與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：依題意設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，：故所求雙曲線的方程為.解法二：依題意設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入，解得，所以雙曲線方程為. 【

13、變式】 求中心在原點(diǎn)， 對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且頂點(diǎn)在軸，焦距為 10，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【答案】3已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2 之間的距離為26，雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為24，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：由題意得 2a=24，2222c=26。 a=12， c=13， b =13 12 =25。當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上時(shí)，雙曲線的方程為； 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y 軸上時(shí)，雙曲線的方程為?？偨Y(jié)升華：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求a2、 b2 的值，同時(shí)還要確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸。雙曲線所在的坐標(biāo)軸，不像橢圓那樣看x2、 y2 的分母的大小，而是看x2、 y2 的系數(shù)的正負(fù)?！绢?lèi)型三：雙曲線的

14、幾何性質(zhì)4方程表示雙曲線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：由題意得或或。實(shí)數(shù)m的取值范圍為?？偨Y(jié)升華：方程Ax2+By2=1 表示雙曲線時(shí)，A、 B 異號(hào)。【變式 1】k 9 是方程表示雙曲線的（）A充分必要條件B充分不必要條件C 必要不充分條件D 既不充分又不必要條件【答案】B【變式 2】求雙曲線的焦距?！敬鸢浮?8根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（ 1) 與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)；（ 2）一漸近線方程為，且雙曲線過(guò)點(diǎn)。解析：（ 1）解法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x 軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為由題意，得，解得，所以雙曲線的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在y 軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為由題意，得，解得，（舍去）綜上所得，雙曲線的方程為程為即（ 2）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是.故設(shè)雙曲線方程為，點(diǎn)在雙曲線上，解得，所求雙曲線方程為.總結(jié)升華：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過(guò)程中應(yīng)熟悉各元素（、及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（） .總結(jié)升華：雙曲線的漸近線方程為即；若雙曲線的方程為（，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在y 軸上），則其漸近線方程為。總結(jié)升華 ：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過(guò)程中應(yīng)熟悉各元素（、及準(zhǔn)線）