概率論與數(shù)理統(tǒng)計金治明李永樂版課后答案

1、1. 第二章2. 設隨機變量的分布律為：求c的值。解：由分布律的性質(zhì)：，得所以有 3. 一口袋中裝有m個白球，n m個黑球，連續(xù)無放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，此時取出了個白球，求的分布律。解：由題設知，隨機變量的可能取值為：，且事件表示一共取了k +1次球，前k次取到的都是白球，第k +1次取到的是黑球。所以有4. 設一個試驗只有兩個結(jié)果：成功或失敗，且每次試驗成功的概率為，現(xiàn)進行重復試驗，求下列的分布律。（1） 將試驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以表示所需的試驗次數(shù)（幾何分布）（2） 將試驗進行到出現(xiàn)k次成功為止，以表示獲得k次成功時的試驗次數(shù)（巴斯卡分布）解：（1）由題設知，隨機變量的

2、可能取值為：，且事件表示一共進行了n 次試驗，且前n 1次均是失敗，而第n 次成功。所以有（2） 由題設知，隨機變量的可能取值為：，且事件表示一共進行了n 次試驗，且前n 1次中成功了k 1次，而第n 次也成功。所以有5. 求k使得二項分布達到最大值。解：假設有則有：所以當為整數(shù)時，或時，的值最大；當不是整數(shù)時，（表示不超過x的最大整數(shù)）時，的值最大。6. 設某商店銷售某商品的數(shù)量服從參數(shù)為5的泊松分布，問在月初進貨多少才能保證當月不脫銷的概率為0.999。解：假設在月初進貨量為x時，才能保證當月不脫銷的概率為0.999。則由題意有即由此得到x = 16。7. 設隨機變量具有對稱的密度函數(shù)，即

3、，證明對任意的，有（1） ；（2） ；（3） 。證明：（1） (=1-F(a)（2）因為 所以由（1）知，有（3） 因為 所以由（2）知，有8. 設都是一元分布函數(shù)，證明也是分布函數(shù)。證明：令，要證是分布函數(shù)，只要證滿足以下性質(zhì)既可：（1） 非降函數(shù)；（2） ；（3）是右連續(xù)函數(shù)。因為都是一元分布函數(shù)，所以滿足上面的性質(zhì)，又因為，所以有是非降函數(shù)即是分布函數(shù)9. 設隨機變量的分布函數(shù)為，求常數(shù)及密度函數(shù)。解：由分布函數(shù)的性質(zhì)有：由此得到：。所以密度函數(shù)是：10. 設隨機變量的密度函數(shù)為求c，使得。解：因為，所以有11. 確定下列函數(shù)中的常數(shù)A，使之成為密度函數(shù)：（1） ；（2） （3） 解：（

4、1） 由 ，有驗證下列函數(shù) （2） （3） 12. 某城市每天用電量不超過百萬度，以表示每天的耗電量（即用電量除以百萬度），它具有密度函數(shù)若該城市每天的供電量僅80萬度，求供電量不夠需要的概率是多少？如果每天供電量80萬度呢？解：若該城市每天的供電量僅80萬度，則供電量不夠需要的概率是：若該城市每天供電量為90萬度，則供電量不夠需要的概率是：13. 某城市每天用電量不超過百萬度，以表示每天的耗電量（即用電量除以百萬度），它具有密度函數(shù)若該城市每天的供電量僅80萬度，求供電量不夠需要的概率是多少？如果每天供電量80萬度呢？解：若該城市每天的供電量僅80萬度，則供電量不夠需要的概率是：若該城市每天

5、供電量為90萬度，則供電量不夠需要的概率是：14. 設隨機變量服從正態(tài)分布，（1） 求；（2） 求常數(shù)a，使；（3） 求常數(shù)a，使。解： 因為，所以，則有（1）又因為 ，所以有（3）又因為 ，所以15. 設隨機變量服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)解： 易知的取值范圍是，對任意的，有所以的密度函數(shù)為16. 設隨機變量服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)。解：先求的分布函數(shù)當時，有所以的密度函數(shù)是：17. 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間（以分記）服從指數(shù)分布，其密度為：某顧客若等待時間超過10分，他就離開，一個 月他去銀行5次，以表示一個月內(nèi)他未等待服務而離開的次數(shù)。寫出的分布律，并求。解：設顧客的等

6、待時間為，則有： 所以，即1. 第三章2. 在袋中裝有個球，其中有個紅球，個白球，且，現(xiàn)從中任取個球（），設取出的紅球數(shù)為，取出的白球數(shù)為，求的分布律與邊緣分布律。解：的分布律為：邊緣分布律為：3. 設離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為：，求邊緣分布律。解：關于的邊緣分布律為：即服從參數(shù)為的Poisson分布。關于的邊緣分布律為：即服從參數(shù)為的Poisson分布。4. 設隨機向量的密度函數(shù)為：求中至少有一個小于的概率。解：設為事件“中至少有一個小于”。則有所以中至少有一個小于的概率為：5. 設隨機向量的密度函數(shù)為：求常數(shù)c及求邊緣密度函數(shù)。解：由得 關于的邊緣密度函數(shù)為：關于的邊緣密度函數(shù)為：6.

7、設隨機向量在由曲線：所圍成的區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，寫出的聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)。解：因為區(qū)域：的面積是，所以的聯(lián)合密度函數(shù)為：關于的邊緣密度函數(shù)為：關于的邊緣密度函數(shù)為：7. 設隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)為：求：在的條件下，的分布函數(shù)與密度函數(shù)。解：因為所以在的條件下，的分布函數(shù)為：當時，即在的條件下，的分布函數(shù)為：在的條件下，的密度函數(shù)為： 設是相互獨立的隨機變量，且服從上的均勻分布，求方程有實根的概率。解：方程有實根的充要條件是：所以方程有實根的概率為：設隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)為：求的密度函數(shù)。解：由隨機變量和的密度公設隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)為：求的密度函數(shù)。解：的分布函數(shù)為：當時，所以的密

8、度函數(shù)為：設隨機變量與相互獨立，且服從同一的參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。解： 的分布函數(shù)當時，所以的密度函數(shù)為：設隨機變量與相互獨立，且服從同一正態(tài)分布，證明：與相互獨立。證明：令則有所以與的聯(lián)合密度為：由上式易知與相互獨立。設隨機變量與相互獨立，且服從同一指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：證明：與相互獨立。證明：令則有所以與的聯(lián)合密度為：又因為的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為：所以與相互獨立18. 設某種電子裝置的輸出是隨機變量，它的密度函數(shù)為：現(xiàn)對它的輸出進行了5次獨立的測量，得到測量值。（1） 求的分布函數(shù)；（2） 求。解：（1）的取值范圍為，其分布函數(shù)為：當時，所以的分布函數(shù)為： 第四章設隨機變量

9、具有分布率: ,求解: ，則 設隨機變量的分布律為 說明的數(shù)學期望不存在.解： 由于，而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)不絕對收斂，由數(shù)學期望的定義知，的數(shù)學期望不存在.4.某人的一串鑰匙有把,其中只有一把能開大門,他隨意地試用這些鑰匙.求試用次數(shù)的數(shù)學 期望與方差.假定: (1)把每次試用過的鑰匙分開;(2)每次試用過的鑰匙不分開.解：設試用次數(shù)為 ，表示第次打開門這一事件，（1）的分布率為 則（2）因為 是一列相互獨立的事件，所以的分布率為則5.設隨機變量的密度函數(shù)為求：（1）；（2）的數(shù)學期望。 解：（1）（2） 6.設隨機變量的密度函數(shù)為求.解：因為 所以7.設在時間內(nèi)經(jīng)搜索發(fā)現(xiàn)沉船的概率為求發(fā)現(xiàn)沉船

10、所需的平均搜索時間.解：設發(fā)現(xiàn)沉船所需時間為,其分布函數(shù)記為，故的密度函數(shù)為 ，所以設隨機變量，令求.解：因為 ， 的密度函數(shù)則.一工廠生產(chǎn)某種設備的壽命（以年計）服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為 為確保消費者的利益，工廠規(guī)定出售的設備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺設備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元.試求工廠出售一臺設備贏利的數(shù)學期望.解：設工廠出售一臺設備贏利元，則的分布率為 故 13. 設隨機變量在上服從均勻分布，在上服從均勻分布，且相互獨立，試求解：因為在上服從均勻分布，在上服從均勻分布，所以， 相互獨立，因此15.設是獨立同分布的隨機變量，記，.試證：（1）；（2）；（3）.

11、證明：（1）因為是獨立同分布的隨機變量，故（2）（3）因為所以 16.設隨機變量有密度函數(shù)求，并問與是否相關？解： 因為,所以與是不相關的.18.已知隨機向量的協(xié)方差矩陣為，求的相關系解：因為，所以 故 21.設，與獨立同分布，令，試求的相關系數(shù)(其中為非零常數(shù)).解 :因為與獨立，所以.則故 25.設為獨立同分布的隨機變量，服從柯西分布即其密度為其中，為常數(shù)。已知柯西分布的特征函數(shù)為，證明：也服從柯西分布.解：因為為獨立的隨機變量，由定理知隨機變量的特征函數(shù)為，其中則的特征函數(shù)為，由唯一性定理知也服從柯西分布.27. 設隨機變量服從二維正態(tài)分布，它的均值向量為，協(xié)方差矩陣為，試求的密度函數(shù)及

12、特征函數(shù).解：記，則 ，故的密度函數(shù)為的特征函數(shù)為 第五章1.（馬爾可夫大數(shù)定律）設為隨機變量序列，滿足馬爾可夫條件：證明：對任給的，有證明：對任給的，有切比雪夫不等式得因為，所以2. 設相互獨立得隨機變量序列滿足：，證明當時，滿足大數(shù)定律。證明：，當時， ，因此滿足馬爾可夫條件，故當時，滿足大數(shù)定律。3. 計算器在進行加法時，將每個加數(shù)舍入最接近的整數(shù)。舍入誤差是獨立的且在上均勻分布。（1）若將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？（2）最多可有幾個數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90？解：設第個加數(shù)的舍入誤差為，則為獨立的且在上均勻分布的隨機變量列。（

13、1）1500個數(shù)相加，其誤差總和為，由中心極限定理知 （2）設）最多可有個數(shù)相加其誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90，即也即 查表可得由此可計算得最多可有443個數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90。6. 某單位設置一電話總機，共有200架電話分機。設每部分機是否使用外線是相互獨立的，并且每時刻每部分機使用外線通話的概率為0.05，問總機需要多少外線才能以不低于0.90的概率保證每個分機使用外線？解：設總機需要外線才能以不低于0.90的概率保證每個分機使用外線，令則相互獨立且同服從二項分布，易知，由條件知，根據(jù)中心極限定理 查表可知， ，故總機至少需要14外線才能以

14、不低于0.90的概率保證每個分機使用外線。第七章3.設總體具有密度函數(shù)是其樣本,求的矩估計.解 ，由矩法令，解得4.設為其樣本.求和的矩估計.解因 ，由例7-1，令解得5.設總體的密度函數(shù)(或分布律)為為其樣本,求下列情況下的極大似然估計.似然函數(shù)為似然方程為解得似然函數(shù)為似然方程為解得6.設總體的密度為其中未知，為其樣本,求的矩估計和極大似然估計.今得樣本觀察值0.30,0.80,0.27,0.35,0.62,0.55,求的矩估計值和極大似然估計值.解，由矩法令，解得矩估計，矩估計值為似然函數(shù)為似然方程為解得極大似然估計，極大似然估計值9.設總體具有密度函數(shù)其中未知,為其樣本.求的極大似然估

15、計.解似然函數(shù)為似然方程為解得10.設總體有密度函數(shù)其中未知,為其樣本.求的矩估計和極大似然估計.解，令，解得矩估計似然函數(shù)為故的極大似然估計為11.設總體為其樣本. 求,使為的無偏估計; 求,使為的無偏估計.解 ，故 所以12.設是參數(shù)的無偏估計,且有證明不是的無偏估計.解.13.設從均值為,方差為的總體中,分別抽取容量為的兩個獨立樣本.和分別是兩樣本的均值.試證,對于任意都是的無偏估計,并確定常數(shù)使達到最小.解即在條件下,求的最小值.令，求導得 解得，14.設分別自總體和中抽取容量為的兩個獨立樣本.其樣本方差分別.試證,對于任何常數(shù)都是的無偏估計,并確定常數(shù)求求達到最小.解.利用 得，所以

16、即在下，求的最小值,求得，.15.設總體的密度函數(shù)為16.設總體的密度函數(shù)為為其樣本,試證及都是參數(shù)的無偏估計,問哪個較有效?解考慮一般情形，設為樣本，比較和的密度為的密度為由此算得又有故較有效，實際上是的最小方差無偏估計17.設總體服從指數(shù)分布,其密密函數(shù)為 為其樣本. 求的極大似然估計； 求,使為的無偏估計； 求的置信水平為的雙側(cè)置信區(qū)間.解 (1) 似然函數(shù)為 似然方程為 解得(2) 由此得(3) 因 ，由得的置信水平為的雙側(cè)置信區(qū)間為18.隨機地從一批零件中抽取16個,測得長度(單位:cm)為2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.1

17、02.132.112.142.11設零件長度的分布為正態(tài),試求總體均值的90%的置信區(qū)間:若；若未知.解 設為零件長度，則(1) 當已知時，的90%的置信區(qū)間為(2) 當未知時，的90%的置信區(qū)間為22.隨機地從批導線中抽取4根,并從批導線中抽取5根測得其電阻為A批導線0.1430.1420.1430.137B批導線0.1400.1420.1360.1380.140設測試數(shù)據(jù)分別服從正態(tài)分布和,且它們相互獨立,又未知,試求的0.95置信區(qū)間.解 的0.95置信區(qū)間為經(jīng)計算得查表得 ，最后算得區(qū)間是.第八章1.某電器元件平均電阻值一直保持2.64,今測得采用新工藝生產(chǎn)36個元件的平均阻值為2.6

18、1,假定在正常條件下,電阻值服從正態(tài)分布,而且新工藝不改變電阻的標準差.已知改變工藝前的標準偏差為0.06,問新工藝對產(chǎn)品的電阻值是否有顯著性影響?解 設為新工藝生產(chǎn)的電器元件的電阻值，則,.要檢驗的假設為 vs 檢驗統(tǒng)計量為，拒絕域為經(jīng)計算得因，故拒絕，即新工藝對產(chǎn)品的電阻值有顯著影響2.一種元件,要求其使用壽命不得低于1000(小時).現(xiàn)在從一批這種元件中隨機抽取25件,測得其壽命平均值為950(小時).已知該種元件壽命服從標準差(小時)的正態(tài)分布,試在顯著性水平0.05下確定這批元件是否合格.解 設為元件的使用壽命，則,要檢驗的假設為vs 檢驗統(tǒng)計量為，拒絕域為經(jīng)計算得 因，拒絕，在顯著

19、性水平0.05下這批元件不合格3.某廠生產(chǎn)的某種鋼索的斷裂強度服從正態(tài),其中(kg/cm2),現(xiàn)在一批這種鋼索的容量為9的一個樣本測得斷裂強度平均值為,與以往正常生產(chǎn)的相比,較大20(kg/cm2).設總體方差不變,問在能否認為這批鋼索質(zhì)量顯著提高?解 設為鋼索的斷裂強度，且,.要檢驗 vs 檢驗統(tǒng)計量為，拒絕域為經(jīng)計算得 因，不拒絕,這批鋼索質(zhì)量沒有顯著提高.8.為校正試用的普通天平,把在該天平上稱為100克的10個試樣在計量標準天平上進行稱量,得如下結(jié)果:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5, 99.2假設在天平上稱量的結(jié)果服從正態(tài),問普通天平稱量結(jié)果與標準天平稱量結(jié)果有無顯著差異?解 設為標準天