R第十九章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)

1、1第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)19-1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)19-2 計(jì)算固有頻率的能量法計(jì)算固有頻率的能量法19-3 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)19-4 單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)2機(jī)械振動(dòng)：在一定條件下，振動(dòng)體在其平衡位置附近所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。本章僅研究單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)，討論振動(dòng)的基本特征。系統(tǒng)偏離平衡位置后，僅在恢復(fù)力作用下維持的振動(dòng)稱為自由振動(dòng)。靜平衡時(shí)stkmg19-1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)一振動(dòng)微分方程一振動(dòng)微分方程3以平衡位置為原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)振動(dòng)微分方程為kxxkmgFmgxms

2、t)( 得0kxxm mkn2令代入上式，得02xxn 上式通解為：)sin(tAxn式中積分常數(shù)A和分別為振幅和初位相。它們由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。二微分方程的解二微分方程的解4000 xxxxt ，時(shí)設(shè)得：2202nxxA1、圓頻率mkn(rad/s)為2秒內(nèi)系統(tǒng)振動(dòng)的次數(shù)彈簧懸置系統(tǒng)：stkmgstng因此00tgxxn三三.振動(dòng)的頻率和周期振動(dòng)的頻率和周期52、頻率為系統(tǒng)每秒振動(dòng)的次數(shù)mkfn2123、周期為系統(tǒng)振動(dòng)一次所需的時(shí)間kmTn22 頻率和周期只與系統(tǒng)本身所固有的慣性和彈性有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的起始條件無關(guān)6例例19-1 質(zhì)量m=0.5kg的物塊，沿光滑斜面無初速度滑下，如圖19-4

3、所示。當(dāng)物塊下落高度h=0.1m時(shí)撞于無質(zhì)量的彈簧上并不再分離。彈簧剛度k=0.8kN/m，傾角=30，求此系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率和振幅，并寫出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。解解：物塊平衡時(shí)，彈簧的變形為kmg/sin0以物塊平衡位置為原點(diǎn)，建立圖示x坐標(biāo)。物塊受力如圖，其運(yùn)動(dòng)微分方程為7)(sin0 xkmgxm 化簡后得0)/(xmkx rad/s40/mkn運(yùn)動(dòng)的初始條件為：m1006. 3300 xm/s4 . 120ghv則mmvxAn1 .35/22020rad087. 0)/arctg(00vxn則物塊的運(yùn)動(dòng)方程)(mm)087. 040sin(1 .35tx81）并聯(lián)彈簧stkF11stkF22

4、由平衡方程得mgkkksteqst)(2121kkkeqkeq等效彈簧剛度四四.等效彈簧等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧92）串聯(lián)彈簧靜平衡時(shí)，變形分別為st1和st2。11kmgst22kmgst彈簧總伸長mgkkkkmgkkststst21212121)11(2121kkkkkeq10對于單自由度的保守系統(tǒng)，固有頻率可簡便地由機(jī)械能守恒定律求出，稱為能量法。設(shè)圖示的系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)，則有)cos(tAxnn)sin(tAxn若以平衡位置為勢能零點(diǎn)，則系統(tǒng)勢能 mgxssxkVstst22)(21)(sin2121222tkAkxn19-2 計(jì)算固有頻率的能量法計(jì)算固有頻率的能量法11系統(tǒng)

5、動(dòng)能)(cos21212222tAmxmTnn由機(jī)械能守恒，則maxmaxVT得2222121kAAmnmkn/以上計(jì)算表明：如取平衡位置為勢能零點(diǎn)，則可以彈簧在平衡位置為原長計(jì)算彈性勢能，而不考慮重力勢能。12例例19-5 如圖所示振動(dòng)系統(tǒng)中，擺桿AO對鉸鏈O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在桿的點(diǎn)A和B各安置剛度分別為k1和k2的彈簧，系統(tǒng)在水平位置處于平衡，求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。解解：設(shè)擺桿作自由振動(dòng)時(shí)，其擺角的變化規(guī)律為)sin(tn系統(tǒng)動(dòng)能)(cos21212222tJJTnn13以平衡位置為勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)勢能222212221)(21)(21)(21dklkdklkV)(sin)(2122222

6、1tdklknmaxmaxVT由得固有頻率Jdklkn222114阻尼有不同形式，這里僅討論阻力與速度成正比的粘性阻尼。即vFccc阻尼系數(shù)。取決于阻尼介質(zhì)的性質(zhì)和物體的形狀取平衡位置為Ox坐標(biāo)原點(diǎn)，受力如圖。xcFcxkxxcxm 一一. 衰減振動(dòng)微分方程衰減振動(dòng)微分方程微分方程為19-3 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)15，代入上式得令mcn 2022xxnxn 設(shè)x=et，代入上式，得特征方程0222nnrr方程的兩個(gè)根222, 1nnnr有三種可能情形：nn，nn，nn1）小阻尼情形 nn)2(mkc 二、二、.微分方程的解微分方程的解16此時(shí)222, 1ninrn22n

7、nd得運(yùn)動(dòng)方程)sin(tAexdnt其中：由于振幅隨時(shí)間不斷衰減，故稱為衰減振動(dòng)。衰減振動(dòng)的周期2222nTndd初始幅值A(chǔ)和初位相取決于初始條件。ntntAexAe17mkcnn2令稱為阻尼比。22112TTnd則 可知，周期較之無阻尼自由振動(dòng)的周期略有略有增加。阻尼對振幅的影響阻尼對振幅的影響)(1diTtniieAA引入減幅系數(shù)ddiinTTtnntiieAeAeAA)(1上式表明：有阻尼時(shí)，振幅按幾何級數(shù)衰減。18例如：=0.05時(shí)，=0.7301?？梢运愠?，經(jīng)過10個(gè)周期后，振幅只及原振幅的4.3%。減幅系數(shù)的自然對數(shù)稱為對數(shù)減幅系數(shù)dnTnTedlnln2）臨界阻尼情形 n=n

8、)2(mkc 微分方程的解為)(21tCCexnt不具有振動(dòng)的特點(diǎn)193）大阻尼情形 nn )2(mkc 此時(shí)微分方程的解為)(222221tntnntnneCeCex20振動(dòng)系統(tǒng)在外加持續(xù)激勵(lì)下的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。下面僅討論簡諧激勵(lì)情形。激振力tHFsin1其中，H1為最大激振力，為激振力的圓頻率。19-4 單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)21一、振動(dòng)微分方程一、振動(dòng)微分方程以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)tHxckxxmsin1 運(yùn)動(dòng)微分方程mHhmcnmkn12,2 ,令整理化簡后，得單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式thxxnxnsin22 22二、微分方程的解二、微分方程的解)s

9、in()sin(tbtAexnnt上式右端第一項(xiàng)很快衰減，最后得到穩(wěn)態(tài)的簡諧振動(dòng)即系統(tǒng)的受迫振動(dòng))sin(tbx 由式可知，受迫振動(dòng)的頻率等于激振力的頻率。 受迫振動(dòng)的振幅和位相差22220222224)1 (4)(bnhbn222122tgnn23式中kHhbnnonn12,b0最大激振力引起的彈簧靜變形三、幅頻特性三、幅頻特性 受迫振動(dòng)振幅與靜變形之比稱放大系數(shù)，即0bb241）當(dāng)1時(shí)，阻尼對振幅的影響很小，可忽略不計(jì)。2）當(dāng)在0.751.25之間時(shí)，稱為共振區(qū)。在此區(qū)域內(nèi)阻尼對振幅有顯著影響。0.707的各條曲線，都有相應(yīng)的最大值0dtd由就可求得共振時(shí)的和20212max121通常阻尼比1時(shí)，阻尼對振幅影響可忽略不計(jì)。四、相頻特性四、相頻特性（1）1時(shí)， ，受迫振動(dòng)位移與激振力接近于反相位。（3） =1時(shí)， =/2 ，與阻尼大小無關(guān)。26例例19-9 圖中所示為一無重剛桿。其一端鉸支，距鉸支端l處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，距2l處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，A端處有一剛度為k的彈簧，并作用一簡諧激振力F=F0sint。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率n，以及當(dāng)激振力頻率等于n時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅。27解解：取擺角為廣義坐