一類軌跡問題的探求(阿波羅尼斯圓與卡西尼卵形線)

1、專題：一類動點(diǎn)軌跡問題的探求 專題來源：學(xué)習(xí)了 “橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ”后，對于 PA PB 2a ，我們可以進(jìn)一步研究：PAPB 2a, 2a ，各自的軌跡方程如何？PB引例：已知點(diǎn) M （x,y） 與兩定點(diǎn) O（0,0）, A（3,0） 的距離之比為 1 ，那么點(diǎn) M 的坐標(biāo)應(yīng)滿足什2么關(guān)系？（必修 2 P103 探究 ·拓展）探究 已知動點(diǎn) M 與兩定點(diǎn) A、 B 的距離之比為 （ 0） ，那么點(diǎn) M 的軌跡是什么？背景展示 阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期 數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作圓錐 曲線一書，

2、阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一 類題 1： （1994,全國卷 ） 已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q（2， 0）和圓 C： x2+y2=1 ，動點(diǎn) M 到圓 C 的切線長與 |MQ|的比等于常數(shù) （ >求0）動. 點(diǎn) M 的軌跡方程，說明它表示什么曲線 .本小題考查曲線與方程的關(guān)系，軌跡概念等解析幾何的基本思想以及 綜合運(yùn)用知識的能力 .解：如圖，設(shè) MN 切圓于 N ，則動點(diǎn) M 組成的集合是P=M|MN|= |MQ|， 式中常數(shù) >0. 2 分 因?yàn)閳A的半徑 |ON|=1，所以 |MN|2=|MO|2 |ON|2=|MO|21. 4分 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 （x，y），則 x2 y2 1

3、 x 2 2 y2 5 分 整理得 （ 21）（x2+y2 ） 42x+（1+42）=0.經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個方程的點(diǎn)都屬于集合P.故這個方程為所求的軌跡方程 . 8 分當(dāng) =1時，方程化為當(dāng) 1時，方程化為x= 5 ，它表示一條直線，該直線與 x 軸垂直且交 x 軸于點(diǎn) （ 5 ， 0）， 44222 2 1 3 2（x 2 ）2+y2= 2 它表示圓，2 1 2 1 2該圓圓心的坐標(biāo)為 （2221132，0），半徑為2112 分類題 2：（ 2008，江蘇）滿足條件 AB2，AC類題 3：（2002，全國）已知點(diǎn) P到兩定點(diǎn) M （2BC 的 ABC 的面積的最大值是 1,0）、 N （1

4、,0）距離的比為 2 ，點(diǎn) N 到直線 PM 的距離為 1 ，求直線 PN 的方程 解：設(shè) P的坐標(biāo)為 ( x, y) ，由題意有 |PM | 2，即| PN |(x 1)2 y22 (x 1)2 y2 ，整理得 x2 y2 6x 1 0因?yàn)辄c(diǎn) N 到 PM 的距離為 1，|MN | 2所以 PMN 30 ，直線 PM 的斜率為 3 ，直線 PM 的方程為 y 3 (x 1) 33將 y3 (x 1) 代入 x2 y2 6x 1 0 整理得 x2 4x 1 03解得 x 2 3， x 2 3則點(diǎn) P 坐標(biāo)為 (2 3,1 3)或 (2 3, 1 3)(2 3, 1 3)或(2 3,1 3)，直

5、線 PN的方程為 y x 1或 y x 1類題 4：(2006，四川)已知兩定點(diǎn) A( 2,0), B(1,0),如果動點(diǎn) P 滿足條件 PA 2PB,則 點(diǎn) P 的軌跡所包圍的圖形的面積等于 MP類題 5：(2011，浙江)P,Q 是兩個定點(diǎn)， 點(diǎn)為平面內(nèi)的動點(diǎn)， 且 ( 0且 1)， MQ點(diǎn)的軌跡圍成的平面區(qū)域的面積為S，設(shè) S f ( ) ，試判斷函數(shù)的單調(diào)性F1( 1,0)和 F2(1,0)的距離的積等于常引例：( 2011，北京)曲線 C 是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn) 數(shù) a2(a 1) 的點(diǎn)的軌跡 .給出下列三個結(jié)論：曲線 C 過坐標(biāo)原點(diǎn)； 曲線 C 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；1 若點(diǎn) P在曲線 C

6、上，則 F1PF2 的面積不大于 a22 其中正確命題的序號為 背景展示：在數(shù)學(xué)史上，到兩個頂點(diǎn)(叫做焦點(diǎn))的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡成為卡西 尼卵形線( Cassini Oval)，喬凡尼·多美尼科 ·卡西尼是一位意大利出生的法國籍天文學(xué)家和 水利工程師，他是第一個發(fā)現(xiàn)土星的四個衛(wèi)星的人 .1675 年，他發(fā)現(xiàn)土星光環(huán)中間有條暗 縫，這就后來以他名字命名的卡西尼環(huán)縫。他猜測，光環(huán)是由無數(shù)小顆粒構(gòu)成，兩個多世 紀(jì)后的分光觀測證實(shí)了他的猜測。為了紀(jì)念卡西尼對土星研究的貢獻(xiàn)，當(dāng)代人類探測土星 的探測器 “卡西尼號 ”即以他的名字命名。卡西尼卵形線是 1675 年他在研究土星及其

7、衛(wèi)星 的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的。探究：設(shè)兩定點(diǎn)為 F1,F2，且 F1F2 2，動點(diǎn) P滿足 PF1 PF2 a2(a 0且為定值 ),取直線 F1F2作為 x軸， F1F2的垂直平分線為 y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) P(x, y) ，則(x 1)2 y2 (x 1)2 y2 a2整理得：(x2 y2)2 2(x2 y2) a2 1解得： y2( x21)4x2a2(1 a x21 a )于是曲線 C的方程可化為y2 (x21)4x2 a2 (1 ax2 1 a)對于常數(shù) a 0,可討論如下六種情況：(1) 當(dāng) a 0時，圖像變?yōu)閮蓚€點(diǎn) F1( 1,0), F2(1,0) ；(2) 當(dāng) 0 a 1時

8、，圖像分為兩支封閉曲線，隨著 a的減小而分別向點(diǎn) F1,F2 收縮；(3) 當(dāng) a 1時，圖像成 8 字形自相交叉，稱為雙紐線；( 4)當(dāng) 1 a 2 時，圖像是一條沒有自交點(diǎn)的光滑曲線，曲線中部有凹進(jìn)的細(xì)腰；5)當(dāng) a= 2 時，與前種情況一樣，但曲線中部變平；6)當(dāng) a2 時，曲線中部凸起。北京高考題的背景即為本研究的46 里研究的結(jié)論；學(xué)有余力的同學(xué)可作進(jìn)一步思考：思考 1：若將 “兩定點(diǎn) ”之一變?yōu)?“定直線 ”，那么距離之比為定值的動點(diǎn)軌跡是什么？思考 2：若將 “兩定點(diǎn) ”之一變?yōu)?“定直線 ”，那么距離之和為定值的動點(diǎn)軌跡是什么？ 思考 3：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的k 倍之

9、和為定值的定點(diǎn)軌跡是什么？思考 4：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之差（的絕對值）為定值的定點(diǎn)軌跡是什么？ 思考 5：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為定值的定點(diǎn)軌跡是什么？在高考試題中常常以這類軌跡問題的探究為背景來設(shè)計考查綜合能力的試題，如1.（ 2009湖南）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P到點(diǎn) F（3,0）的距離的 4倍與它到直線 x=2 的距離的 3倍之和記為 d，當(dāng) P點(diǎn)運(yùn)動時， d 恒等于點(diǎn) P的橫坐標(biāo)與 18之和（）求點(diǎn) P 的軌跡 C ；（）設(shè)過點(diǎn) F的直線 I與軌跡 C 相交于 M，N 兩點(diǎn)，求線段 MN 長度的最大值。解（）設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ x， y），則 d4 (

10、x 3)2 y2 3 x-2由題設(shè) 當(dāng) x>2 時，由得 (x 3) y 6 1x,2x2 y2化簡得 x y 1.36 27當(dāng) x 2 時 由得 (3 x)2 y2 3 x, 化簡得 y2 12xx2 y2故點(diǎn) P的軌跡 C是橢圓 C1:xy 1在直線 x=2的右側(cè)1 36 272部分與拋物線 C2: y2 12 x在直線 x=2 的左側(cè)部分 （包括它與直線 x=2 的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖 12，2 6 ），B（2， 2 6），）如圖 2所示，易知直線 x=2 與C1 ， C2的交點(diǎn)都是直線 AF，BF 的斜率分別為 kAF= 2 6， kBF =2 6 .當(dāng)點(diǎn) P 在 C1上時

11、，由知 PF當(dāng)點(diǎn) P 在 C2上時，由知 PF3x若直線 l 的斜率 k 存在，則直線l 的方程為 y k(x 3)i）當(dāng) kkAF ，或 kkBF ，即k-2 6 時，直線I 與軌跡C 的兩個交點(diǎn) M（ x1， y1 ），N（ x2 ， y2 ）都在 C1上，此時由知MF= 6 - 1 x12從而 MN= MF1NF= 6 -x2221NF= (6 -x1)21x2 )=12 - 12 ( x1+x2 )y k(x 由 x2 y236 273)得 (312 2 24k2)x2 24k2x36k2108則 x1 ， y1 是這個方程的兩根，所以 x1+x2 =24k3 4k2MN =12 -

12、1 (2x1+ x2 )=12 -12k23 4k2因?yàn)楫?dāng) k 2 6, 或k2 6時,k224,MN12 3124kk2 23 4k212 1212 k12 4100. 當(dāng)且僅當(dāng) k112 6 時，等號成立。2)當(dāng) kAE k kAN , 2 6 k2 6 時，直線 L 與軌跡 C 的兩個交點(diǎn)M（x1,y1）,N（x2,y2） 分別在 C1,C 2上，不妨設(shè)點(diǎn) M 在C1上，點(diǎn) C2上，則知，MF 6x1, NF 3 x22設(shè)直線 AF 與橢圓 C1的另一交點(diǎn)為 E(x0,y0),則x0 x1,x2 2.MF6 1 x123 x232AF所以 MNMFNFEFAF知AE10011,所以EF

13、, NFkAE2 6,有( 1)MN6 12 x0AE 。而點(diǎn)A，E都在 C1上，且若直線 的斜率不存在，則 x1= x2 =3，此時 MN1001112112(x1 x2) 910011綜上所述，線段 MN 長度的最大值為 100P 到點(diǎn) F (1,0) 的距離與點(diǎn) P 到 y 軸的112. ( 2011, 湖南文科高考試題)已知平面內(nèi)一動點(diǎn) 距離的差等于 1)求動點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程；) 過點(diǎn) F 作兩條斜率存在且互相垂直的直線 l1,l2，設(shè)l1與軌跡 C相交于點(diǎn) A,B ，l2與軌跡 C 相交于點(diǎn)D,E ，求的最小值 .21解析：( I)設(shè)動點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (x,y)，由題意為 (x 1)2 y2 |x| 1. 化簡得 y2 2x 2|x|,當(dāng) x 0時 ,y2 4x;當(dāng)x 0時 ,y=0. 、 所以動點(diǎn) P的軌跡 C的方程為 ,y2 4x(x 0)和y=0( x 0).( II )由題意知，直線 l1的斜率存在且不為 0，設(shè)為 k，則 l1的方程為 y k(x 1)由 y 2k(x 1)，得 k2x2 (2k2 4)x k2 0.y2 4x設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2)