一道好題,若干解法,變式訓練,升華提升

1、一道好題，若干解法，變式訓練，升華提升說明：常州于新華（于特）供題，群里眾大師巧解，本人整理與變通（揚州段廣猛）于2016年10月3日下16:00 !（第二十五屆“五羊杯”卷第 19題）如圖， ABC中，/ C=90°, /ABD=45, BD=13 , CD=5,則AD的長度為.（注：已知數(shù)據(jù)已同比例放縮至最簡整數(shù)比）法五（構(gòu)造等腰直角三角形 +三垂直全等2+面積法或相似或三角）ABD =45 B簡析：AEF0BAC,再由 EFDsBCD 得:x58544r,解得：x=一 ,故x 17127AD=85 127169法六（構(gòu)造等腰直角三角形 +勾股定理+母子型相似）85 _ 1691

2、277簡析：在RtA ABC中由勾股定理得，再由 ABDA AEB得，所以有解得：x=,故AD=.法七（構(gòu)造雙等腰直角三角形 +一線三等角1）:簡析：由一線三等角得 AFBsBED得，即，即，解得：x=,故AD=169.7法八（構(gòu)造雙等腰直角三角形 +一線三等角2）:1697簡析：由一線三等角得 AFBsBED得，即，即，解得：x=,故AD=.法九（構(gòu)造輔助圓+勾股定理，“圖中無圓，心中有圓”）：簡析：構(gòu)造 ADB的外接圓。O,則/ AOD = 2/ABD = 90°,過點B作BFLOE于F,在RtAOBF中，由勾股定理得得|可解得：x=,故AD=2x=.法十（翻折+造正方形出股）：

3、簡析：將 CDB沿BD翻折至 EDB位置，再將 CAB沿AB翻折至 FAB位置，則 易證四邊形BEGF為正方形，在RtAAGD中，由勾股定理得得，解得： x=,故AD=.O1312) tan tan1 tan tan知：tanABC tan(451芻DBC) 一121 -5121217 -204一,所以AC ，即77204AD=1695 一7法十一（構(gòu)造坐標系+K字形全等）（本人方法）：簡析：構(gòu)造如圖所示坐標系及輔助線，則直線AB解析式為：，則點A坐標為A（ _204,72041690),故 AD=( 5)()（因果法+三角函數(shù)法）：ABD = 45D 5 C簡析：借助因果關(guān)系知/ CBDe定

4、，且/ABC=45°+/CBDfe是確定的，故可解！借助正切和三角公式 tan（最后一種解法是站在高視角下的因果關(guān)系分析法，無需做任何輔助線，但缺憾明顯，用到了高中三角函數(shù)公式， 再初中屬超綱范疇。 回歸此法，過程中用到了正切和三角公式，反 思此過程，筆者聯(lián)想到正切差三角公式，因而演變出下面一題：（變式訓練） 如圖， ABC 中，/ BCD=0°, / ABD=45, BD=13 , CD=5 ,貝U AD 的長 度為.（注：此題相當于原題中的 45度角關(guān)于BD對稱所得）tan tan "門知：1 tan tan此題是否可以如原題那樣， 各種解法均適用呢？讀者可以嘗試完成！筆者先來最后一法（高視角下的因果關(guān)系分析 +三角函數(shù)法）：借助因果關(guān)系知/ CBD確定，且/ ABC=45° /CBD也是確定的，故可解！借助正切差三角公式tan（tan A