《圓》全章復習與鞏固—知識講解(基礎(chǔ))

1、 讓更多的孩子得到更好的教育圓全章復習與鞏固知識講解（基礎(chǔ)）知識點一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角1圓的定義：(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.要點詮釋： 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可； 圓是一條封閉曲線.2圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心. 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.(2)軸對稱：圓

2、是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.(3)垂徑定理及推論： 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧. 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧. 弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧. 平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦. 平行弦夾的弧相等.要點詮釋： 在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）3兩圓的性質(zhì)：(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.(2)相交兩圓的連心線垂直平分

3、公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.4與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角. 圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. 圓周角的性質(zhì)： 圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半. 同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等. 90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角. 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形. 圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角.要點詮釋：(1)圓周角必須滿足兩個條件：頂點在圓上；角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立

4、的前提條件是在同圓或等圓中.知識點二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1判定一個點P是否在O上.設(shè)O的半徑為，OP=，則有點P在O 外；點P在O 上；點P在O 內(nèi).要點詮釋：點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2判定幾個點在同一個圓上的方法：當時，在O 上.3直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)O 半徑為，點O到直線的距離為.(1)直線和O沒有公共點直線和圓相離.(2)直線和O有唯一公共點直線和O相切.(3)直線和O有兩個公共點直線和O相交.4切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 到圓心

5、的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.(2)切線的性質(zhì)： 圓的切線垂直于過切點的半徑. 經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點. 經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.5圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為，圓心距.(1)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離 .(2)和沒有公共點，且的每一個點都在內(nèi)部內(nèi)含(3)和有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切.(4)和有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內(nèi)部內(nèi)切.

6、(5)和有兩個公共點相交.知識點三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.要點

7、詮釋：(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個點都在圓上

8、的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角.(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.知識點四、圓中有關(guān)計算1圓中有關(guān)計算：圓的面積公式：，周長.圓心角為、半徑為的弧長.圓心角為，半徑為，弧長為的扇形的面積.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點詮釋：(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；(2)在

9、扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.類型一、圓的基礎(chǔ)知識1如圖所示，ABC的三個頂點的坐標分別為A(1，3)、B (2，2)、C (4，2)，則ABC外接圓半徑的長度為 【答案】；【解析】由已知得BCx軸，則BC中垂線為 那么，ABC外接圓圓心在直線x=1上， 設(shè)外接圓圓心P(1,a)，則由PA=PB=r得到：PA2=PB2 即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2 化簡得 4+a2-6a+

10、9=9+a2+4a+4 解得 a=0 即ABC外接圓圓心為P(1,0) 則 【點評】 三角形的外心是三邊中垂線的交點，由B、C的坐標知：圓心P（設(shè)ABC的外心為P）必在直線x=1上；由圖知：BC的垂直平分線正好經(jīng)過（1，0），由此可得到P（1，0）；連接PA、PB，由勾股定理即可求得P的半徑長 類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理2如圖所示，O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE1cm，EB5cm，DEB60°，求CD的長 【答案與解析】作OFCD于F，連接OD AE1，EB5， AB6 ， OEOA-AE3-12在RtOEF中， DEB60°， EOF30&#

11、176;， ， 在RtDFD中，OF，ODOA3， (cm) OFCD， DFCF， CD2DFcm【點評】因為垂徑定理涉及垂直關(guān)系，所以常常可以利用弦心距（圓心到弦的距離）、半徑和半弦組成一個直角三角形，用勾股定理來解決問題，因而，在圓中常作弦心距或連接半徑作為輔助線，然后用垂弦定理來解題作OFCD于F，構(gòu)造RtOEF，求半徑和OF的長；連接OD，構(gòu)造RtOFD，求CD的長【變式】如圖，AB、AC都是圓O的弦，OMAB，ONAC，垂足分別為M、N，如果MN3，那么BC 3如圖，以原點O為圓心的圓交x軸于點A、B兩點，交y軸的正半軸于點C，D為第一象限內(nèi)O上的一點，若DAB = 20°

12、;，則OCD = yxOABDC（第3題）【答案】65°.【解析】連結(jié)OD，則DOB = 40°，設(shè)圓交y軸負半軸于E，得DOE= 130°，OCD =65°.【點評】根據(jù)同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系可求.【變式】如圖所示，ABC內(nèi)接于O，點D是CA延長線上一點，若BOC=120°，BAD等于( )A.30° B.60° C.75° D.90°類型三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系4如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F，且ACB=DCE請判斷直線CE與O的位置

13、關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案與解析】直線CE與O相切理由：連接OEOE=OAOEA=OAE四邊形ABCD是矩形B=D=BAD=90°，BCAD,CD=ABDCE+DEC=90°, ACB=DAC又DCE=ACBDEC+DAC=90°OE=OAOEA=DACDEC+OEA=90°OEC=90°OEEC直線CE與O相切.【點評】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線【變式】如圖，P為正比例函數(shù)圖象上的一個動點，的半徑為3，設(shè)點P的坐標為(x、y).(1)求與直線相切時點P的坐標.(2)請直接寫出與直線相交、相離時x的取值范

14、圍.類型四、圓中有關(guān)的計算5如圖所示，已知正方形的邊長為a，求陰影部分的面積【答案與解析】(幾何方法) 正方形邊長為a， ， ， 陰影部分的總面積為 (代數(shù)解法)觀察圖形，可知2個“葉瓣”與1個空白組成1個半圓；4個“葉瓣”與4個空白組成一個正方形 設(shè)每個“葉瓣”面積為x，每個空白面積為y，則 由×4-，得，即為陰影部分的總面積【點評】比較以上兩種方法，代數(shù)解法更加簡捷，在運用此法時，不需把兩個未知數(shù)求出來，只要求出表示陰影部分面積的代數(shù)式的值即可葉形的總面積可看做四個半圓面積減去正方形面積，則也可以用正方形面積減去四個空白處面積以上均為幾何方法，還可以設(shè)每個“葉瓣”面積為x，每個空

15、白面積為y，列方程組解答類型五、圓與其他知識的綜合運用6如圖(1)是某學校存放學生自行車的車棚示意圖(尺寸如圖(1)，車棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形圖(2)是車棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O車棚頂部用一種帆布覆蓋，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e(不考慮接縫等因素，計算結(jié)果保留)【答案與解析】連接OB，過點O作OEAB，垂足為E，交于點F，如圖(2) 由垂徑定理，可知E是AB中點，F(xiàn)是的中點， ，EF2 設(shè)半徑為R米，則OE(R-2)m 在RtAOE中，由勾股定理，得 解得R4 OE2， AOE60°， AOB120° 的長為(m) 帆布的面積為(m2)【點評】本題

16、以學生校園生活中的常見車棚為命題背景，使考生在考場上能有一種親切的感覺，這也體現(xiàn)了中考命題貼近學生生活實際的原則求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e，就是求以為底面的圓柱的側(cè)面積根據(jù)題意，應(yīng)先求出所對的圓心角度數(shù)以及所在圓的半徑，才能求的長【變式】某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.請你補全這個輸水管道的圓形截面圖；若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個圓形截面 的半徑.一、選擇題1.對于下列命題： 任意一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓； 任意一個圓一定有一個

17、內(nèi)接三角形，并且只有一個內(nèi)接三角形； 任意三角形一定有一個內(nèi)切圓，并且只有一個內(nèi)切圓； 任意一個圓一定有一個外切三角形，并且只有一個外切三角形 其中，正確的有( ) A1個 B2個 C3個 D4個2下列命題正確的是( ) A相等的圓周角對的弧相等 B等弧所對的弦相等 C三點確定一個圓 D平分弦的直徑垂直于弦3秋千拉繩長3米，靜止時踩板離地面0.5米，某小朋友蕩秋千時，秋千在最高處踩板離地面2米(左右對稱)，如圖所示，則該秋千所蕩過的圓弧長為( ). A.米 B.米 C.米 D.米4已知兩圓的半徑分別為2、5，且圓心距等于2，則兩圓位置關(guān)系是( ) A外離 B外切 C相切 D內(nèi)含5如圖所示，在直

18、角坐標系中，一個圓經(jīng)過坐標原點O，交坐標軸于E、F，OE8，OF6，則圓的直徑長為( ) A12 B10 C4 D15 第3題圖 第5題圖 第6題圖 第7題圖6如圖所示，方格紙上一圓經(jīng)過(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四點，則該圓圓心的坐標為( ) A(2，-1) B(2，2) C(2，1) D(3，1)7如圖所示，CA為O的切線，切點為A，點B在O上，若CAB55°，則AOB等于( ) A55° B90° C110° D120°8一個圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是( )A60° B90° C120° D180°二、填空題9如圖所示，ABC內(nèi)接于O，要使過點A的直線EF與O相切于A點，則圖中的角應(yīng)滿足的條件是_(只填一個即可).10已知兩圓的圓心距為3，的半徑為1.的半徑為2，則與的位置關(guān)系為_.11如圖所示，DB切O于點A，AOM=66°，則DAM=_. 第9題圖 第11題圖 第12題圖 第15題圖12如圖所示，O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=CD，則圖中與1相等的角有_.13點M到O上的最小距離為2cm，最大距離為10 cm，那么O的半徑為_ _14已知半徑為R的半圓O，過直徑AB上一點C，作CDAB交半圓于點D，且，則AC的長