有理數(shù)概念（課堂PPT）

1、2021/3/2912021/3/292（1）在正數(shù)前面加上“-”的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。 負(fù)數(shù)0（2）0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù) 0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界 0是最小的自然數(shù)，也是整數(shù)，也是偶數(shù)注意：正數(shù)前面的“+”號(hào)，可以省略 負(fù)數(shù)前面的“-”號(hào)，不可以省略2021/3/293（1）按整數(shù)和分?jǐn)?shù)分類 正整數(shù) 整數(shù) 0 有理數(shù) 負(fù)整數(shù) 分?jǐn)?shù) 正分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)自然數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)2021/3/294（2）按正數(shù)、負(fù)數(shù)、0分類 正有理數(shù) 正整數(shù) 正分?jǐn)?shù) 有理數(shù) 0 負(fù)有理數(shù) 負(fù)整數(shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)2021/3/295注意：非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0 正整數(shù)：正數(shù)且整數(shù)非正數(shù)：負(fù)數(shù)和0 負(fù)整數(shù)：負(fù)數(shù)且整數(shù)非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和0

2、正分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)且正數(shù)（自然數(shù)）非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和0 負(fù)分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)且負(fù)數(shù)2021/3/2961、概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線 。 原點(diǎn) 三要素： 正方向 單位長度 2021/3/2972、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系 所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示 正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示 負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示 0可以用原點(diǎn)表示2021/3/2983、利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小數(shù)軸上兩個(gè)數(shù)右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大 正數(shù)0 負(fù)數(shù)0 正數(shù)負(fù)數(shù)（正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)）2021/3/299畫數(shù)軸時(shí)：（1）都是正數(shù)時(shí)，原點(diǎn)適當(dāng)靠左 都是負(fù)數(shù)時(shí)，原點(diǎn)適當(dāng)靠右（2）既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)時(shí)，如果所表示的正數(shù)離原點(diǎn)較遠(yuǎn)，

3、則原點(diǎn)適當(dāng)靠左；如果所表示的負(fù)數(shù)離原點(diǎn)較遠(yuǎn)，則原點(diǎn)適當(dāng)靠右2021/3/29101、概念：代數(shù)定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。 求一個(gè)數(shù)或者式子的相反數(shù)，只要在數(shù)和式子前面加上負(fù)號(hào)，EX：數(shù)a的相反數(shù)為-a 正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù) 負(fù)數(shù)的相反數(shù)是整數(shù) 0的相反數(shù)是02021/3/2911幾何定義：在原點(diǎn)兩旁，且到原點(diǎn)的距離相等 的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。2、相反數(shù)關(guān)系若a,b互為相反數(shù)，則a+b=0若a+b=0，則a,b互為相反數(shù)2021/3/29123、相反數(shù)性質(zhì)： 任何一個(gè)數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè) 正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，即當(dāng)有理數(shù)a0，-a0 負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，即當(dāng)有理數(shù)a0，-a0 0的

4、相反數(shù)是0，即當(dāng)有理數(shù)a=0，-a=0 所以-a表示的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)2021/3/2913注意：（1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)一定是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù)。（2）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)只是符號(hào)不同。2021/3/2914多重符號(hào)化簡(jiǎn)“-”號(hào)的個(gè)數(shù)倒數(shù)：相乘為1的兩個(gè)數(shù)負(fù)倒數(shù)：相乘為-1的兩個(gè)數(shù)奇數(shù)個(gè) “-”偶數(shù)個(gè) “+”2021/3/2915概念：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離，記作： ，讀作：a的絕對(duì)值a2021/3/2916性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù) 0的絕對(duì)值等于0 a （a0） = 0 （a=0） -a （a0）a絕對(duì)值

5、的非負(fù)性： 0 a2021/3/2917注意：（1）任何一個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一的絕對(duì)值，且任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，其中 最?。?）絕對(duì)值相等的數(shù)一般有兩個(gè)，且數(shù)字相同，符號(hào)相反 即：若 ，則m=n 或m=-n（3）在進(jìn)行絕對(duì)值相關(guān)化簡(jiǎn)時(shí)，首先要弄清這個(gè)數(shù)是正，是負(fù)，還是0，在進(jìn)行化簡(jiǎn)，若題目未指清正負(fù)情況時(shí)，一般就要分情況考慮。0nm 2021/3/2918兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大?。?）先分別求出這兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值（2）比較這兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值大?。?）根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做判斷注：（1）在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大 （2）負(fù)數(shù)0正數(shù) 兩個(gè)負(fù)數(shù)作比較，絕對(duì)值大的反而小2021/3/2919

6、有理數(shù)加法法則：1、同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。2、絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加為03、一個(gè)數(shù)同0相加，扔得這個(gè)數(shù)加法法則加法法則2021/3/2920提示：有理數(shù)的加法運(yùn)算遵循規(guī)律“一定二求三加減”即第一步：確定和的符號(hào) 第二步：求加數(shù)的絕對(duì)值 第三步：依據(jù)加法法則把絕對(duì)值相加還有相減加法法則加法法則2021/3/2921加法法則加法法則2021/3/2922互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加等于0即a和b互為相反數(shù)，那么a+b=0 a+b=0，那么a和b互為相反數(shù)加法法則加法法則2021/3/2923加法

7、交換律：a+b=b+a 有理數(shù)的加法中，兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+(b+c)有理數(shù)加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變加法法則加法法則2021/3/2924注意:(1)有理數(shù)的加法運(yùn)算律不但適用于兩個(gè)或者三個(gè)數(shù)相加，而且適合于多個(gè)有理數(shù)相加(2)在運(yùn)用加法交換律交換加數(shù)的位置時(shí)，各加數(shù)連同其符號(hào)一起交換加法法則加法法則2021/3/2925知識(shí)拓展：(1)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)可先相加相反數(shù)結(jié)合法(2)同分母的分?jǐn)?shù)可先相加同分母結(jié)合法(3)幾個(gè)數(shù)相加得整數(shù)時(shí)，可先相加湊整法(4)符號(hào)相同的數(shù)，可先相加同號(hào)結(jié)合法(5)帶分?jǐn)?shù)可拆成

8、整數(shù)和正分?jǐn)?shù)兩部分再相加同形結(jié)合法加法法則加法法則2021/3/2926減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)注意：兩變一不變即：一是減法變加法 二是把減數(shù)變成相反數(shù)，被減數(shù)不變注意：有理數(shù)的減法在轉(zhuǎn)化為加法之前，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能改變，因?yàn)閷?duì)于減法來說，沒有交換律減法法則減法法則2021/3/2927任何數(shù) 0=任何數(shù)0任何數(shù)=它的相反數(shù)一個(gè)數(shù)減去它本身=0減法法則減法法則2021/3/2928注意：(1)兩個(gè)有理數(shù)相加，和未必大于每個(gè)加數(shù) （當(dāng)其中一個(gè)加數(shù)為負(fù)時(shí)，和就小于另外一個(gè)加數(shù)）(2)兩個(gè)有理數(shù)相減，差未必就小于被減數(shù) （減數(shù)為負(fù)時(shí)，差就大于被減數(shù)）(3)在進(jìn)行有理數(shù)加減運(yùn)算

9、時(shí)，式子中的任何數(shù)都可以調(diào)到任意位置，但是在調(diào)換時(shí)，要連同其運(yùn)算符號(hào)和性質(zhì)符號(hào)一同調(diào)換。減法法則減法法則2021/3/2929有理數(shù)的加減混合運(yùn)算方法：（1）運(yùn)用減法法則，將有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化 為加法，轉(zhuǎn)化為加法后的式子是幾個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)的和的形式。（2）運(yùn)用加法交換律、加法結(jié)合律運(yùn)算 a+b-c=a+b+(-c)減法法則減法法則2021/3/2930提示：根據(jù)有理數(shù)減法法則把有理數(shù)加減混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法運(yùn)算按照從左往右的順序計(jì)算：有括號(hào)的先算括號(hào)里邊兒的減法法則減法法則2021/3/2931同級(jí)運(yùn)算從左往右計(jì)算，有括號(hào)先算括號(hào)里面的，多重括號(hào)（先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)）

10、 將有理數(shù)減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算符號(hào)與數(shù)的符號(hào)同時(shí)改變。減法法則減法法則2021/3/2932有理數(shù)加減法混合運(yùn)算時(shí)，方法歸納：(1)正數(shù)和負(fù)數(shù)分別相結(jié)合(2)同分母分?jǐn)?shù)或比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合(4)和為正數(shù)的數(shù)相結(jié)合(5)帶分?jǐn)?shù)一般拆成整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加減法法則減法法則2021/3/2933省略算式中的括號(hào)和加號(hào) 有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可統(tǒng)一成省略括號(hào)、加號(hào)的幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式ex：(-9)-(+12)+(-3)-(-7)=-9-12-3+72021/3/2934提示： (1)只有把加減法統(tǒng)一成加法之后，才能寫成省略加號(hào)和括號(hào)的

11、和的形式 (2)省略加號(hào)和括號(hào)的和的形式有兩種讀法： a、按加法的結(jié)果來讀：應(yīng)讀作“負(fù)9、負(fù)12、 負(fù)3、正7的和 b、按運(yùn)算來讀，應(yīng)讀作“負(fù)9減12減3加7減法法則減法法則2021/3/2935乘法法則：(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘(2)任何數(shù)與0相乘都得02021/3/2936提示：(1)確定積的符號(hào)是乘法運(yùn)算中至關(guān)重要的一步。同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)：專指兩數(shù)相乘，不要與加法法則混淆(2)有理數(shù)相乘的步驟：先觀察各因數(shù)中有無0因數(shù)，若有，則乘積等于0；若沒有，先確定乘積的符號(hào)，再確定乘積的絕對(duì)值2021/3/2937知識(shí)擴(kuò)展：(1)任何數(shù)同1相乘仍得原數(shù)， 任何數(shù)同-1相

12、乘仍得原數(shù)的相反數(shù)(2)小數(shù)和帶分?jǐn)?shù)在進(jìn)行有理數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，應(yīng)把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，這樣便于約分2021/3/2938倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)提示：（1）倒數(shù)是相互的，即若a是b的倒數(shù)，則b也是a的倒數(shù)，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能稱其為倒數(shù)（2）正數(shù)的倒數(shù)仍是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)仍是負(fù)數(shù)。因?yàn)闆]有一個(gè)數(shù)與0相乘等于1 ，所以0沒有倒數(shù)有理數(shù)的倒數(shù)有理數(shù)的倒數(shù)2021/3/2939（3）求有理數(shù)a(a0)的倒數(shù)的方法：當(dāng)a為整數(shù)時(shí)， 即為a的倒數(shù)當(dāng)a為分?jǐn)?shù)（真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，若為帶分?jǐn)?shù)，則化為假分?jǐn)?shù)）時(shí)，把a(bǔ)的分子與分母顛倒位置，即可得到a的倒數(shù)有理數(shù)的倒數(shù)有理數(shù)的倒數(shù)a12021/3/2940

13、知識(shí)拓展：(1)兩數(shù)互為相反數(shù)，則兩數(shù)和為0 兩數(shù)互為倒數(shù)，則兩數(shù)積為1(2)相反數(shù)是它本身的數(shù)是0 倒數(shù)是它本身的數(shù)是 絕對(duì)值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)有理數(shù)的倒數(shù)有理數(shù)的倒數(shù)12021/3/2941運(yùn)算方法：(1)幾個(gè)不是0的數(shù)相乘：負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)(2)幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)為0，那么積為0提示：多個(gè)有理數(shù)相乘，先確定乘積的符號(hào)，再求乘積的絕對(duì)值2021/3/2942乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)位置，積相等ab=ba乘法結(jié)合律：三數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或 者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等 (ab)c=a(bc)分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等

14、于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加a(b+c)=ab+ac有理數(shù)的乘法運(yùn)算律有理數(shù)的乘法運(yùn)算律2021/3/2943提示：（1）交換因數(shù)的位置時(shí)，要連同符號(hào)一起交換（2）利用分配律計(jì)算時(shí)，不要漏乘，不要弄錯(cuò)符號(hào)有理數(shù)的乘法運(yùn)算律有理數(shù)的乘法運(yùn)算律2021/3/2944除法法則：1、除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)ab=a (b0)2、兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；0除以任何一個(gè)不等于0得數(shù)，都得0b12021/3/2945提示：（1）如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，且能整除，一般用法2進(jìn)行計(jì)算，先確定商的符號(hào)，再將兩數(shù)的絕對(duì)值相除（2）如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，且不能

15、整除，或者如果被除數(shù)和除數(shù)中有小數(shù)或分?jǐn)?shù)，一般用法12021/3/2946知識(shí)拓展：（1）分?jǐn)?shù)可以理解為分子除以分母（2）兩個(gè)數(shù)相除，若商是1，則這兩個(gè)數(shù)相等，若商是-1，則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)2021/3/2947運(yùn)算順序：按照從左往右的順序計(jì)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里邊兒的步驟：1、一般將除法轉(zhuǎn)化為乘法2、確定積的符號(hào)3、最后求出結(jié)果2021/3/2948提示：乘除混合運(yùn)算：將除法轉(zhuǎn)化為乘法，算式化成乘積的形式，先由負(fù)因素的個(gè)數(shù)確定積的符號(hào)，同時(shí)將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，在進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算結(jié)果能約分的，必須約分有理數(shù)的除法沒有運(yùn)算律，只有統(tǒng)一為乘法時(shí)，才能按照乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。202

16、1/3/2949（1）有理數(shù)加減乘除混合運(yùn)算的順序：先乘除，后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里邊兒的（2）同級(jí)運(yùn)算中，按照從左到右的順序計(jì)算2021/3/2950有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù) 偶次冪是正數(shù)（3）0的任何正整數(shù)次冪都是02021/3/2951有理數(shù)乘方的運(yùn)算方法：（1）一是根據(jù)底數(shù)與指數(shù)確定冪的符號(hào) 二是把絕對(duì)值乘方（2）根據(jù)乘方的意義，先把乘方轉(zhuǎn)化為乘法，再利用乘法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算2021/3/2952知識(shí)拓展：(1)1的任何次冪都是1 -1的奇次冪是-1， 偶次冪是1(2)互為相反數(shù)的兩個(gè)非零數(shù)的奇次冪仍然互為相反數(shù)(3)互為相反數(shù)的

17、兩個(gè)非零數(shù)的偶次冪相等2021/3/2953概念：有理數(shù)的混合運(yùn)算中，包括加減運(yùn)算、乘除運(yùn)算、乘方運(yùn)算順序：1、先乘方，再乘除，最后加減2、同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行3、有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行先確定符號(hào)，再求絕對(duì)值2021/3/2954知識(shí)拓展：1、將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行乘方、乘除等運(yùn)算；另外，有些運(yùn)算可以同時(shí)進(jìn)行，以簡(jiǎn)化運(yùn)算2、分為三級(jí)：(1)第一級(jí)：加和減 (2)第二級(jí)：乘和除 (3)第三級(jí)：乘方2021/3/2955科學(xué)計(jì)數(shù)法：1、用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示數(shù)只是改變數(shù)的形式，并沒有改變數(shù)的大小2、負(fù)數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示時(shí)和正數(shù)一樣，區(qū)別就是前面多一個(gè)“-”號(hào)3、當(dāng)把一個(gè)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示的數(shù)還原為原數(shù)時(shí)，只需將小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位（不足的數(shù)位用0補(bǔ)齊），并把10的n次冪去掉2021/3/29561、確定n時(shí)，要根據(jù)科學(xué)計(jì)數(shù)法的規(guī)定，使它為只含有一位整數(shù)的數(shù)2、確定n的方法有兩種(1)利用整數(shù)的位數(shù)來求n。n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)1ex：5300時(shí)一個(gè)四位數(shù)，n=3(2)看小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了幾位，n就等于幾ex：5300到5.3，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了3位，所以n=32021/3/2957準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)準(zhǔn)確數(shù)：確切地反映實(shí)際的數(shù)，是一個(gè)準(zhǔn)確數(shù)近似數(shù)：與實(shí)際數(shù)接近，但有差別的數(shù)是一個(gè)近似數(shù)