信號(hào)及其描述

1、在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，需要觀測大量的現(xiàn)象及其參量的變化。這些變化量可以通過測量裝置變成容易測量、記錄和分析的電信號(hào)。一個(gè)信號(hào)包含著反映被測系統(tǒng)的狀態(tài)或特性的某些有用的信息，它是人們認(rèn)識(shí)客觀事物內(nèi)在規(guī)律、研究事物之間的相互關(guān)系、預(yù)測未來發(fā)展的依據(jù)。這些信號(hào)通常用時(shí)間的函數(shù)（或序列）來表述該函數(shù)的圖形稱為信號(hào)的波形。本章學(xué)習(xí)要求：1.了解信號(hào)分類方法2.掌握信號(hào)波形分析方法3.掌握信號(hào)頻譜分析方法4.了解其它信號(hào)分析方法第一節(jié)信號(hào)的分類與描述1.1 信號(hào)的分類為了深入了解信號(hào)的物理實(shí)質(zhì)，將其進(jìn)行分類研究是非常必要的。以不同的角度來看待信號(hào)，可以將信號(hào)進(jìn)行如圖1.1-1的分類。圖1.1-1 信號(hào)的

2、分類描述1.1.1確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)確定性信號(hào)可以用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號(hào)稱為確定性信號(hào)。它可以進(jìn)一步分為周期信號(hào)、非周期信號(hào)與準(zhǔn)周期信號(hào)。圖1.1-1 信號(hào)的分類描述周期信號(hào)是指經(jīng)過一定時(shí)間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)，滿足條件。 x ( t ) = x ( t + nT )(1.1-1)式中T周期，T=2/0；0基頻； n=0,±1, 例如，下面圖1.1-2是一個(gè)50Hz正弦波信號(hào)10sin(2×50t)的波形，信號(hào)周期為1/50=0.02秒。圖1.1-2 50Hz正弦波信號(hào)波形機(jī)械系統(tǒng)中，回轉(zhuǎn)體不平衡引起的振動(dòng)，往往也是一種周期性運(yùn)動(dòng)。例如，圖1.1-4是某鋼廠減速機(jī)上測

3、得的振動(dòng)信號(hào)波形(測點(diǎn)3)，可以近似地看作為周期信號(hào)。圖1.1-3 某鋼廠減速機(jī)振動(dòng)測點(diǎn)布置圖圖1.1-4 某鋼廠減速機(jī)測點(diǎn)3振動(dòng)信號(hào)波形非周期信號(hào)是不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)。例如，錘子的敲擊力、承載纜繩斷裂時(shí)的應(yīng)力變化、熱電偶插入加熱爐中溫度的變化過程等，這些信號(hào)都屬于瞬變非周期信號(hào)，并且可用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述。例如，圖1.1-5是單自由度振動(dòng)模型在脈沖力作用下的響應(yīng)。 圖1.1-5 單自由度振動(dòng)模型脈沖響應(yīng)信號(hào)波形準(zhǔn)周期信號(hào)是非周期信號(hào)的特例，處于周期與非周期的邊緣情況，是由有限個(gè)周期信號(hào)合成的，但各周期信號(hào)的頻率相互間不是公倍數(shù)關(guān)系，其合成信號(hào)不滿足周期條件，例如 是兩個(gè)正弦信號(hào)的合成，其頻率比不

4、是有理數(shù)，不成諧波關(guān)系。下面是其信號(hào)波形。圖1.1-6 準(zhǔn)周期信號(hào)波形這種信號(hào)往往出現(xiàn)于通信、振動(dòng)系統(tǒng)，應(yīng)用于機(jī)械轉(zhuǎn)子振動(dòng)分析、齒輪噪聲分析、語音分析等場合。注：l 最小公倍數(shù)（Least common multiple，縮寫LCM），對于兩個(gè)整數(shù)來說，指兩個(gè)數(shù)共有倍數(shù)中最小的一個(gè)。l 最大公因數(shù)（Greatest common divisor，簡寫為GCD），指某幾個(gè)整數(shù)共有因子中最大的一個(gè)。l 通常所說的非周期信號(hào)是指瞬變非周期信號(hào)，不包括準(zhǔn)周期信號(hào)。但如果在判斷題中出現(xiàn)，這時(shí)的非周期信號(hào)即包括瞬變非周期信號(hào)，也包括準(zhǔn)周期信號(hào)。(2)非確定性信號(hào) 非確定性信號(hào)不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，其幅值、

5、相位變化是不可預(yù)知的，所描述的物理現(xiàn)象是一種隨機(jī)過程。隨機(jī)信號(hào)具有某些統(tǒng)計(jì)特征，可以用概率統(tǒng)計(jì)方法由其過去來估計(jì)其未來。隨機(jī)信號(hào)所描述的現(xiàn)象是隨機(jī)過程。自然界中有許多隨機(jī)過程，例如，汽車奔馳時(shí)所產(chǎn)生的振動(dòng)、飛機(jī)在大氣流中的浮動(dòng)、樹葉隨風(fēng)飄蕩、環(huán)境噪聲等。 圖1.1-7 加工過程中螺紋車床主軸受環(huán)境影響的振動(dòng)信號(hào)波形隨機(jī)過程有平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程之分。所謂平穩(wěn)隨機(jī)過程是指其統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)不隨時(shí)間而變化的隨機(jī)過程，否則為非平穩(wěn)隨機(jī)過程。在平穩(wěn)隨機(jī)過程中，若任意單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過程的幾何平均統(tǒng)計(jì)特征，這樣的平穩(wěn)隨機(jī)過程叫各態(tài)歷經(jīng)（遍歷性）隨機(jī)過程。然而，必須指出的是，實(shí)際物理過

6、程往往是很復(fù)雜的，既無理想的確定性，也無理想的非確定性，而是相互參雜的。1.1.2 能量信號(hào)與功率信號(hào)(1)能量信號(hào)在所分析的區(qū)間（-，），能量為有限值的信號(hào)稱為能量信號(hào)，滿足條件(1.1-2)關(guān)于信號(hào)的能量，可作如下解釋：對于電信號(hào)，通常是電壓或電流，電壓在已知區(qū)間（t1，t2）內(nèi)消耗在電阻上的能量(1.1-3)對于電流，能量 (1.1-4)在上面每一種情況下，能量都是正比于信號(hào)平方的積分。討論消耗在電阻上的能量往往是很方便的，因?yàn)楫?dāng)R=1時(shí)，上述兩式具有相同形式，采用這種規(guī)定時(shí)，就稱方程(1.1-5)為任意信號(hào)x(t) 的“能量”。如矩形脈沖信號(hào)、衰減指數(shù)函數(shù)等均為能量信號(hào)。 (2)功率信

7、號(hào) 有許多信號(hào)，如周期信號(hào)、隨機(jī)信號(hào)等，它們在區(qū)間（-，）內(nèi)能量不是有限值。在這種情況下，研究信號(hào)的平均功率更為合適。在區(qū)間（t1，t2）內(nèi)，信號(hào)的平均功率 (1.1-6)若區(qū)間變?yōu)闊o窮大時(shí)，上式仍然是一個(gè)有限值，信號(hào)具有有限的平均功率，稱之為功率信號(hào)。具體講，功率信號(hào)滿足條件 (1.1-7)對比上式，顯而易見，一個(gè)能量信號(hào)具有零平均功率，而一個(gè)功率信號(hào)具有無限大能量。1.1.3 時(shí)限信號(hào)與頻限信號(hào)時(shí)域有限信號(hào)是在有限區(qū)間（t1，t2 ）內(nèi)有定義，而其在有限區(qū)間外恒等于零。例如，矩形脈沖、三角脈沖、余弦脈沖等。而周期信號(hào)、指數(shù)衰減信號(hào)、隨機(jī)過程等，則稱為時(shí)域無限信號(hào)。 圖1.1-8 時(shí)域有限信

8、號(hào)頻域有限信號(hào)是指信號(hào)經(jīng)過傅里葉變換，在頻域內(nèi)占據(jù)一定帶寬（f1 ，f2），其外恒等于零。例如，正弦信號(hào)、sinc（t）函數(shù)、限帶白噪聲等，為頻域有限信號(hào)。白噪聲、理想采樣信號(hào)等，則為頻域無限信號(hào)。 圖1.1-9 頻域有限信號(hào)時(shí)間有限信號(hào)的頻譜，在頻率軸上可以延伸至無限遠(yuǎn)。由時(shí)、頻域?qū)ΨQ性可推論，一個(gè)具有有限帶寬的信號(hào)，必然在時(shí)間軸上延伸至無限遠(yuǎn)處。顯然，一個(gè)信號(hào)不能夠在時(shí)域和頻域都是有限的。1.1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)：在所討論的時(shí)間間隔內(nèi)，對于任意時(shí)間值(除若干個(gè)第一類間斷點(diǎn)外)都可給出確定的函數(shù)值，此類信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)或模擬信號(hào)。連續(xù)信號(hào)的幅值可以是連續(xù)的也可以

9、是不連續(xù)的，但獨(dú)立變量（時(shí)間）取值是連續(xù)的。若時(shí)間變量和幅值均為連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào)。 圖1.1-10連續(xù)信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)：離散時(shí)間信號(hào)在時(shí)間上是離散的。只是在某些不連續(xù)的規(guī)定瞬時(shí)給出函數(shù)值，而在其它時(shí)間沒有定義的信號(hào)。 離散信號(hào)又可分為兩種：時(shí)間離散而幅值連續(xù)的信號(hào)稱為采樣信號(hào)；時(shí)間離散且幅值離散（量化）的信號(hào)稱為數(shù)字信號(hào)。圖1.1-11 離散時(shí)間信號(hào)1.1.5 物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)又稱為單邊信號(hào)，滿足條件t0時(shí)，x(t) =0，即在時(shí)刻小于零的一側(cè)全為零，信號(hào)完全由時(shí)刻大于零的一側(cè)確定。 在實(shí)際中出現(xiàn)的信號(hào)，大量的是物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)，因?yàn)檫@種信號(hào)反映了物理上的因果關(guān)系。實(shí)際中所能測

10、得的信號(hào)，許多都是由一個(gè)激發(fā)脈沖作用于一個(gè)物理系統(tǒng)之后所輸出的信號(hào)。例如，切削過程，可以把機(jī)床、刀具、工件構(gòu)成的工藝系統(tǒng)作為一個(gè)物理系統(tǒng)，把工件上的硬質(zhì)點(diǎn)或切削刀具上積屑瘤的突變等，作為振源脈沖，僅僅在該脈沖作用于系統(tǒng)之后，振動(dòng)傳感器才有描述刀具振動(dòng)的輸出。 圖1.1-12 物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)所謂物理系統(tǒng)，具有這樣一種性質(zhì)，當(dāng)激發(fā)脈沖作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是不會(huì)有響應(yīng)的，換句話說，在零時(shí)刻之前，沒有輸入脈沖，則輸出為零，這種性質(zhì)反映了物理上的因果關(guān)系。因此，一個(gè)信號(hào)要通過一個(gè)物理系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)，就必須滿足x（t）= 0（t0），這就是把滿足這一條件的信號(hào)稱之為物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的原因。同理，對于離散信號(hào)而言

11、，滿足x（n）= 0（n0）條件的序列，即稱為因果序列。 1.1.6幾個(gè)判斷信號(hào)分類的題目(1)任何周期信號(hào)都由頻率不同，但成整倍數(shù)比的離散的諧波疊加而成。 (2)非周期性變化的信號(hào)就是隨機(jī)信號(hào)。 (3)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程。 (4)平穩(wěn)隨機(jī)過程的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計(jì)持征。 (5)兩個(gè)周期比不等于有理數(shù)的周期信號(hào)之和是周期信號(hào)。(6)所有隨機(jī)信號(hào)都是非周期信號(hào)。(7)所有周期信號(hào)都是功率信號(hào)。(8)所有非周期信號(hào)都是能量信號(hào)。(9)模擬信號(hào)的幅值一定是連續(xù)的。(10)離散信號(hào)即就是數(shù)字信號(hào)。答案：(1)-(5)×××、(6)-(10)

12、 ××××其中：(1)頻率為有理數(shù)比的就滿足要求；(6)非周期信號(hào)為可用確定數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)的信號(hào)，而隨機(jī)信號(hào)則是不能用明確數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)的信號(hào)。問：隨機(jī)初相位的正弦信號(hào)為周期信號(hào)嗎？1.2 信號(hào)的時(shí)域描述與分析信號(hào)作為一定物理過程（現(xiàn)象）的表示，它包含著豐富的信息，為了從中提取某種有用信息，需要對信號(hào)進(jìn)行必要的分析和處理，以全面了解信號(hào)的特性。所謂信號(hào)分析就是采用各種物理的或數(shù)學(xué)的方法提取有用信息的過程，而信號(hào)的描述方法提供了對信號(hào)進(jìn)行各種不同變量域的數(shù)學(xué)描述，表征了信號(hào)的數(shù)據(jù)特征，它是信號(hào)分析的基礎(chǔ)。通常以四個(gè)變量域來描述信號(hào)，即時(shí)間域（簡稱時(shí)域）、頻

13、率域（簡稱頻域）、幅值域和時(shí)延域。以時(shí)間作為自變量的信號(hào)表達(dá)，稱為信號(hào)的時(shí)域描述。時(shí)域描述是信號(hào)最直接的描述方法，它反映了信號(hào)的幅值隨時(shí)間變化的過程，從時(shí)域描述圖形中可以知道信號(hào)的時(shí)域特征參數(shù)，即周期、峰值、均值、方差、均方值等。它們反映了信號(hào)變化的快慢和波動(dòng)情況，因此時(shí)域描述比較直觀、形象、便于觀察和記錄，用示波器、萬用表等普通儀器就可以進(jìn)行分析。 以信號(hào)的頻率作為自變量的信號(hào)表達(dá)，稱為信號(hào)的頻域描述。信號(hào)的頻域描述可以揭示信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)，即組成信號(hào)的各頻率分量的幅值、相位與頻率的對應(yīng)關(guān)系，因此在動(dòng)態(tài)測試技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用。信號(hào)的幅值域描述是以信號(hào)幅值為自變量的信號(hào)表達(dá)方式，它反映了信號(hào)中不

14、同強(qiáng)度幅值的分布情況，常用于隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分析。由于隨機(jī)信號(hào)的幅值具有隨機(jī)性，通常用概率密度函數(shù)來描述，概率密度函數(shù)反映信號(hào)幅值在某一范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率，提供了隨機(jī)信號(hào)沿幅值域分布的信息，它是隨機(jī)信號(hào)的主要特征參數(shù)之一。以時(shí)間和頻率的聯(lián)合函數(shù)來同時(shí)描述信號(hào)在不同時(shí)間和頻率的能量密度或強(qiáng)度，稱為信號(hào)的時(shí)延描述。它是非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)分析的有效工具，可以同時(shí)反映其時(shí)間和頻率信息，揭示非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)所代表的被測物理量的本質(zhì)，常用于圖像處理、語音處理、醫(yī)學(xué)、故障診斷等信號(hào)分析中。信號(hào)的各種描述方法是從不同的角度觀察和描述同一信號(hào)，并不改變信號(hào)的實(shí)質(zhì)，它們之間可通過一定的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，例如傅立葉變換可以將

15、信號(hào)描述從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，而傅立葉反變換可以從頻域轉(zhuǎn)換到時(shí)域。1.2.1 信號(hào)的時(shí)域描述直接觀測或記錄到的信號(hào)，一般是以時(shí)間為獨(dú)立變量的，稱其為信號(hào)的時(shí)域描述。信號(hào)的時(shí)域描述能反映信號(hào)幅值隨時(shí)間變化的關(guān)系。信號(hào)時(shí)域分析(波形分析)的一個(gè)重要功能是根據(jù)信號(hào)的分類和各類信號(hào)的特點(diǎn)確定信號(hào)的類型。然后再根據(jù)信號(hào)類型選用合適的信號(hào)分析方法。(a) periodic signal 周期信號(hào) (b)噪聲信號(hào) (c)打擊信號(hào)圖1.2-1 三種不同特征的信號(hào)1.2.2時(shí)域波形分析及應(yīng)用(1)周期T對周期信號(hào)來說，可以用時(shí)域分析來確定信號(hào)的周期，也就是計(jì)算相鄰的兩個(gè)信號(hào)波峰的時(shí)間差。 圖1.2-2 信號(hào)周期測量

16、(2)均值    均值Ex(t)表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值?；陔S機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性，可用時(shí)間間隔T內(nèi)的幅值平均值表示，即 (1.2-1)均值又或稱之為直流分量，表達(dá)了信號(hào)變化的中心趨勢。圖1.2-3 信號(hào)的均值(3)均方值     信號(hào)x(t)的均方值Ex2(t)，或稱為平均功率，其表達(dá)式為 (1.2-2)值表達(dá)了信號(hào)的強(qiáng)度，其正平方根值又稱為有效值，也是信號(hào)的平均能量的一種表達(dá)。在工程信號(hào)測量中一般儀器的表頭示值顯示的就是信號(hào)的均方值。圖1.2-4 信號(hào)的均方值(4)方差    信號(hào)x(t)的方差定義

17、為 (1.2-3)稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。 可以證明 (1.2-4)描述了信號(hào)的波動(dòng)量； 描述了信號(hào)的靜態(tài)量。方差反映了信號(hào)繞均值的波動(dòng)程度。 圖1.2-5 信號(hào)的方差(5)時(shí)域波形分析的應(yīng)用信號(hào)的類型識(shí)別、信號(hào)的基本參數(shù)識(shí)別、超門限報(bào)警。1.3 信號(hào)的頻域描述與分析1.3.1信號(hào)的頻域描述信號(hào)的時(shí)域描述能反映信號(hào)幅值隨時(shí)間變化的關(guān)系，而不能明顯解釋信號(hào)的頻率組成關(guān)系。為了研究信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系，應(yīng)對信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，把信號(hào)的時(shí)域描述通過適當(dāng)方法變成信號(hào)的頻域描述，即是以頻率為獨(dú)立變量來表示信號(hào)。信號(hào)的頻域描述在動(dòng)態(tài)測試技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用。1.3.2頻域分析與時(shí)域分析的區(qū)別

18、與聯(lián)系圖1.3.2-1是一個(gè)周期方波的一種時(shí)域描述，而式(1.3-1)則是其時(shí)域描述的另一種形式 (1.3-1)若該周期方波應(yīng)用傅里葉級數(shù)展開，即得 (1.3-2)圖1.3.2-1 周期方波由式(1.3-2)得，該周期方波是由一系列幅值和頻率不等、相角為零的正弦信號(hào)疊加而成的。此式除t之外尚有另一變量為各正弦成分的頻率。若視t為參變量，以為獨(dú)立變量，則此式即為該周期方波的頻率描述。在信號(hào)分析中，將組成信號(hào)的各頻率成分找出來，按序排列，得到信號(hào)的“頻譜”。若以頻率為橫坐標(biāo)、分別以幅值或相位為縱坐標(biāo)，便分別得到信號(hào)的幅值譜或相頻譜。圖1.3.2-2示出了該周期方波的時(shí)域圖形、幅值譜和相頻譜三者的關(guān)

19、系。圖1.3.2-2 周期方波的描述信號(hào)時(shí)域描述直觀地反映出信號(hào)瞬時(shí)值隨時(shí)間變化的情況；頻域描述則反映信號(hào)的頻率組成及其幅值、相角之大小。為了解決不同問題，往往需要掌握信號(hào)不同方面的特征，因而可采用不同的描述方式。例如，評定機(jī)器振動(dòng)烈度，需用振動(dòng)速度的均方根值來作為判據(jù)。若速度信號(hào)采用時(shí)域描述，就能很快求得均方根值。而在尋找振源時(shí)，需要掌握振動(dòng)信號(hào)的頻率分量，這就需采用頻域描述。實(shí)際上，兩種描述方法能相互轉(zhuǎn)換，而且包含同樣的信息量。1.4 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式1.4.1 頻譜分析的概念信號(hào)頻譜分析是采用傅里葉變換將時(shí)域信號(hào)x(t)變換為頻域信號(hào)X(f)，從而幫助人們從另一個(gè)角度來了解信號(hào)

20、的特征。時(shí)域信號(hào)x(t)的傅氏變換為(1.4-1)式中X(f)為信號(hào)的頻域表示，x(t)為信號(hào)的時(shí)域表示，f為頻率。例如，50Hz正弦波信號(hào) x(t)=10sin(2×50t)(1.4-2)其頻譜函數(shù)為 (1.4-3)轉(zhuǎn)換過程如下圖所示。 x(t) 傅里葉變換 X(f)圖1.4-1 正弦波形的頻譜轉(zhuǎn)換 信號(hào)的時(shí)域描述只能反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間的變化情況，除只有一個(gè)頻率分量的簡諧波外，一般很難明確揭示信號(hào)的頻率組成和各頻率分量的大小。例如，下圖是一受噪聲干擾的多頻率成分周期信號(hào)，從信號(hào)波形上很難看出其特征，但從信號(hào)的功率譜上卻可以判斷并識(shí)別出信號(hào)中的四個(gè)周期分量和它們的大小。信號(hào)的頻譜X

21、(f)代表了信號(hào)在不同頻率分量處信號(hào)成分的大小，它能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀、豐富的信息。圖1.4-2 受噪聲干擾的多頻率成分周期信號(hào)波形和頻譜在許多場合，用信號(hào)的頻率來描述事物的特征也更簡潔和明確。例如，下表是不同音階的時(shí)域波形和頻譜，頻率值的大小直觀地反映了音階的高低。 頻率播放波形頻譜131147165175494 圖1.4-3 電子琴中采用的正弦波信號(hào)波形和頻譜數(shù)據(jù) 1.4.2 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式周期信號(hào)是經(jīng)過一定時(shí)間后可以重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)，滿足條件 x ( t ) = x ( t + nT )(1.4-5)從數(shù)學(xué)分析已知，任一周期信號(hào)x(t)在有限區(qū)間（t，t+T）上滿足狄里

22、赫利條件時(shí)，即信號(hào)在定義周期0，T內(nèi)單調(diào)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；在此定義周期內(nèi)只有有限個(gè)極限點(diǎn)；x(t)是絕對可積；則信號(hào)x(t)可以展開成傅立葉級數(shù)。傅立葉級數(shù)有兩種表達(dá)式，即三角函數(shù)展開式和復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式。三角函數(shù)形式(1.4-6)式中0周期信號(hào)基頻的角頻率；T信號(hào)周期；a0，an，bn傅立葉系數(shù)；直流分量幅值為 (1.4-7)各余弦分量幅值為 (1.4-8)各正弦分量幅值為 (1.4-9)利用三角函數(shù)的和差化積公式，周期信號(hào)的三角函數(shù)展開式還可以寫為下面的形式 (1.4-10)直流分量幅值為 A0 = a0(1.4-11)各頻率分量幅值為 (1.4-12)各頻率分量的相位為 (1

23、.4-13)式中T周期，T=2/0； 式中0基波圓頻率,0=2f0； 式中f0基波頻率； 式中n=0,±1, ； 式中,為信號(hào)的傅里葉系數(shù)，表示信號(hào)在頻率fn處的成分大小。式（1.4-6）和（1.4-10）實(shí)際描述了周期信號(hào)x(t)的頻率結(jié)構(gòu)，表明周期信號(hào)是由一個(gè)常值分量a0和無窮多個(gè)不同頻率的諧波分量疊加而成的。由于n是整數(shù)序列，當(dāng)n=1時(shí)，稱為一次諧波分量（基波），基波的頻率與信號(hào)的頻率相同；當(dāng)n1時(shí)，稱為n次諧波，各高次諧波分量的頻率都是0的整數(shù)倍。工程上習(xí)慣將計(jì)算結(jié)果用圖形方式表示，以fn為橫坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)畫圖，繪出的曲線圖稱為實(shí)頻虛頻譜圖；以fn為橫坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)畫圖，繪出

24、的曲線圖稱為幅值相位譜；以fn為橫坐標(biāo)、An2為縱坐標(biāo)畫圖，繪出的曲線圖稱為功率譜。如下圖所示。 圖1.4-4 信號(hào)的頻譜表示 頻譜是構(gòu)成信號(hào)的各頻率分量的集合，它完整地表示了信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)，即信號(hào)由哪些諧波組成，各諧波分量的幅值大小及初始相位，從而揭示了信號(hào)的頻率信息。對周期信號(hào)來說，信號(hào)的譜線只會(huì)出現(xiàn)在0,f1,f2,fn等離散頻率點(diǎn)上，這種頻譜稱為離散譜。 1.4.3 舉例例如，有周期方波信號(hào) (1.4-14)根據(jù)公式先求出a0，an，bn (1.4-15)有 (1.4-16)其波形、幅值譜和相位譜分別如下圖所示。 圖1.4-5 方波信號(hào)的波形、幅值譜和相位譜1.5傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)

25、展開式1.5.1復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式及復(fù)頻譜在實(shí)際應(yīng)用中，特別是公式推導(dǎo)中，常將周期信號(hào)展成復(fù)指數(shù)函數(shù)式。由歐拉公式 (1.5-1)得、將上式代入式子 (1.5-2)得 (1.5-3)令、得 (1.5-4)上式可合寫成 (1.5-5)這就是傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式。由前面分析得 (1.5-6)在一般情況下Cn是復(fù)數(shù)，可以寫成 (1.5-7)的關(guān)系圖稱為幅頻譜圖及相頻譜圖，統(tǒng)稱復(fù)頻譜圖。由于在(-+)范圍內(nèi)變化，這種頻譜稱為雙邊譜。分別以Cn的實(shí)部或虛部與頻率的關(guān)系作幅頻圖，稱為實(shí)頻譜圖和虛頻譜圖。1.5.2 三角函數(shù)形式頻譜與復(fù)指數(shù)函數(shù)頻譜下面舉例說明。|Cn|比較傅里葉級數(shù)的兩種展開形式可知：l

26、復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（從-到+）；l 三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（從0到+）；l 兩種頻譜各諧波幅值在量值上有確定的關(guān)系，即， 。在式(1.5-5)中，n取正、負(fù)值。當(dāng)n為負(fù)值時(shí)，諧波頻率n0為“負(fù)頻率”。出現(xiàn)“負(fù)”的頻率，可以理解為：角速度按其旋轉(zhuǎn)方向可以有正有負(fù)。一個(gè)向量的實(shí)部可以看成是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量在其實(shí)軸上投影之和，而虛部則為其在虛軸上投影之差。1.6 周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)由以上可知周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)：（1）周期信號(hào)的頻譜是離散譜；（2）周期信號(hào)的頻率成分是基頻的整數(shù)倍；（3）滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)，其諧波幅值總的趨勢是隨諧波頻率的增大而減小。1.7準(zhǔn)周期信號(hào)及其頻譜

27、1.7.1 準(zhǔn)周期信號(hào)的概念準(zhǔn)周期信號(hào)是非周期信號(hào)的特例，處于周期與非周期的邊緣情況，是由有限個(gè)周期信號(hào)合成的，但各周期信號(hào)的頻率相互間不是公倍數(shù)關(guān)系，其合成信號(hào)不滿足周期條件，例如 是兩個(gè)正弦信號(hào)的合成，其頻率比不是有理數(shù)，不成諧波關(guān)系。下面是其信號(hào)波形。圖1.1-6 準(zhǔn)周期信號(hào)波形這種信號(hào)往往出現(xiàn)于通信、振動(dòng)系統(tǒng)，應(yīng)用于機(jī)械轉(zhuǎn)子振動(dòng)分析、齒輪噪聲分析、語音分析等場合。1.7.2準(zhǔn)周期信號(hào)的頻譜由準(zhǔn)周期信號(hào)的定義知，它的頻譜是離散的。多個(gè)獨(dú)立振源激勵(lì)起某對象的振動(dòng)往往就是準(zhǔn)周期信號(hào)。通常所說的非周期信號(hào)，不包括準(zhǔn)周期信號(hào)。例如1.8 非周期信號(hào)的頻譜分析非周期信號(hào)是在時(shí)間上不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)

28、，包括準(zhǔn)周期信號(hào)和瞬變非周期信號(hào)兩種，其頻譜各有獨(dú)自的特點(diǎn)。以下如不特別指出，所提的非周期信號(hào)均指瞬變非周期信號(hào)。非周期信號(hào)一般為時(shí)域有限信號(hào)，具有收斂可積條件，其能量為有限值。這種信號(hào)的頻域分析是利用傅里葉變換進(jìn)行的。由前面分析得，周期為T0的信號(hào)x(t)其頻譜是離散的。當(dāng)x(t)的周期T0時(shí)，該信號(hào)就變成非周期信號(hào)了。對應(yīng)的，周期信號(hào)頻譜譜線的頻率間隔=0=2/T00，譜線無限靠近，變量連續(xù)取值以致離散譜線的頂點(diǎn)最后演變成一條連續(xù)曲線。所以非周期信號(hào)的譜線是連續(xù)的?？梢詫⒎侵芷谛盘?hào)理解為無限多個(gè)、頻率無限接近的頻率成分所組成。前面由傅里葉級數(shù)得當(dāng)T0時(shí)，d， n0，則，上式變?yōu)?(1.8-

29、1)(1.8-2)與周期信號(hào)相似，非周期信號(hào)也可以分解為許多不同頻率分量的諧波和。所不同的是，由于非周期信號(hào)的周期，基頻，它包含了從零到無窮大的所有頻率分量；各頻率分量的幅值為X()d/(2)，這是無窮小量，所以頻譜不能再用幅值表示，而必須用幅值密度函數(shù)描述。 非周期信號(hào)x(t)的傅里葉變換X(f)是復(fù)數(shù)，所以有 (1.8-3)式中|X(f)|信號(hào)在頻率f處的幅值譜密度；  信號(hào)在頻率f處的相位差。 工程上習(xí)慣將計(jì)算結(jié)果用圖形方式表示，以f為橫坐標(biāo)，ReX(f)、ImX(f)為縱坐標(biāo)畫圖，繪出的曲線圖稱為時(shí)頻虛頻密度譜圖；以f為橫坐標(biāo)，|X(f)|、為縱坐標(biāo)畫圖，繪出的曲線圖稱為幅值

30、相位密度譜。以f為橫坐標(biāo)，|X(f)|2為縱坐標(biāo)畫圖，繪出的曲線圖稱為功率密度譜，如下圖所示。 圖1.8-1 信號(hào)的頻譜表示 綜上所述，非周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)是：1）非周期信號(hào)可分解成許多不同頻率的正弦、余弦分量之和，但它包含了從零到無窮大的所有頻率分量；2）非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的；3）非周期信號(hào)的頻譜由頻譜密度函數(shù)來描述，表示單位頻寬上的幅值和相位（即單位頻寬內(nèi)所包含的能量）；4）非周期信號(hào)頻域描述的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是傅立葉變換。1.9 傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)域信號(hào)x(t)的傅氏變換為 (1.9-1)式中X(f)為信號(hào)的頻域表示，x(t)為信號(hào)的時(shí)域表示，f為頻率。 非周期信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述依靠傅

31、立葉變換建立起彼此一一對應(yīng)的關(guān)系。熟悉傅立葉變換的主要性質(zhì)，有助于理解信號(hào)在某個(gè)域的特征、運(yùn)算和變化將在另一域中產(chǎn)生何種相應(yīng)的特征、運(yùn)算和變化，并為復(fù)雜工程問題的分析和簡化提供幫助。下面簡要介紹傅立葉變換的幾個(gè)主要性質(zhì)，其他性質(zhì)可參考有關(guān)信號(hào)分析書籍。(1)對稱性(2)線性疊加性在處理多個(gè)疊加信號(hào)的傅里葉變換時(shí)，可對其逐項(xiàng)進(jìn)行變換，然后用相加的方法實(shí)現(xiàn)。若 x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f) 則 c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2X2(f) (3)時(shí)間尺度改變性信號(hào)時(shí)域波形被壓縮或擴(kuò)展，則對應(yīng)的頻譜要擴(kuò)展或壓縮。若x(t) X(f)，則x(kt) 1/kX(f/k

32、)(4)時(shí)移特性若x(t) X(f)，則x(t±t0) e±j2ft0 X(f) (5)頻移特性若x(t) X(f)，則x(t) e±j2ft0 X(f ±f0) (6)卷積特性若 x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f) 則 x1(t)* x2(t) X1(f)X2(f)， x1(t)x2(t) X1(f)*X2(f)卷積積分的概念 卷積積分是一種數(shù)學(xué)方法，在信號(hào)與系統(tǒng)的理論研究中占有重要的地位。特別是關(guān)于信號(hào)的時(shí)間域與頻率域變換分析，它是溝通時(shí)域頻域的一個(gè)橋梁。因此了解卷積積分的數(shù)學(xué)物理含義是很必要的。在系統(tǒng)分析中，系統(tǒng)輸入輸出和系統(tǒng)特性的作用

33、關(guān)系在時(shí)間域就體現(xiàn)為卷積積分的關(guān)系，如下圖所示 用公式表示有 y(t) = x(t) * h(t)函數(shù)x(t)與h(t)的卷積積分定義為 時(shí)域卷積定理 如果： h(t) -傅里葉變換-> H(f) x(t) -傅里葉變換-> X(f)則： x(t)*h(t) <=傅里葉變換=>  X(f)H(f)此稱為時(shí)域卷積定理，它說明時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積，既在時(shí)間域中兩信號(hào)的卷積，等效于在頻域中頻譜中相乘。頻域卷積定理 如果： H(f) -傅里葉逆變換-> h(t) X(f) -傅里葉逆變換-> x(t)則： X(f)*H(f)  <=傅里葉逆變