隨機模擬與實驗實用教案

1、1布豐（Buffon）投針試驗(shyn) 例子：布豐（Buffon）投針試驗 將一根長為l的細針隨機(su j)地投擲于標有無數(shù)平行線的平面上，假定平行線間距為2l，則針與平行線相交的概率為1/。sin)2/()2 , 0(), 0(進入陰影區(qū)，則，由下圖可知，針與平行線相交為彼此獨立。定義事件，且與分別服從均勻分布與，則線的距離為與上邊平行，角度為針的中心點為解：設(shè)落在平面上的細oAlBAlUUDDoolBDBB2lO第1頁/共29頁第一頁，共29頁。2隨機數(shù)及其產(chǎn)生(chnshng) 定義：如果一個實數(shù)列ui與均勻分布的獨立隨機變量序列Ui的樣本序列具有相同的統(tǒng)計特性，則稱之為隨機的，該

2、數(shù)列中的各個數(shù)稱為均勻分布隨機數(shù)，簡稱隨機數(shù)（Random Number）。 隨機數(shù)的產(chǎn)生有三種方法： 1）將已有的隨機數(shù)存表，需要時直接使用： 美國蘭德公司在1950年曾將100萬個在（0，1）區(qū)間內(nèi)的實數(shù)存入計算機外存儲器，以便在仿真過程中進行隨機調(diào)用。2）將計算機連接到物理設(shè)備（如噪聲源）上獲得(hud)隨機數(shù)流。（隨機性和均勻性最好，但產(chǎn)生過程太復(fù)雜，未能得到推廣。）3）通過數(shù)學(xué)算法產(chǎn)生隨機數(shù)（偽隨機數(shù)）。這種方法容易與計算機結(jié)合，因而得到廣泛的應(yīng)用。 第2頁/共29頁第二頁，共29頁。3偽隨機數(shù) 偽隨機數(shù)的產(chǎn)生：用戶只需給定一個初始的 隨機數(shù)（種子值），調(diào)用該算法，即可按某個固定的公

3、式計算出下一個“隨機”數(shù)。隨后，以新產(chǎn)生出來的“隨機”數(shù)作為種子，再計算出新的“隨機”數(shù)。重復(fù)調(diào)用該算法即可產(chǎn)生出一系列的“隨機”數(shù)，以滿足系統(tǒng)仿真的需要。 偽隨機數(shù)本質(zhì)上不是隨機的。但只要計算公式選擇得當，通過比較嚴格地統(tǒng)計檢驗，仍然可以產(chǎn)生出一系列近似于U(0,1)分布并且相對獨立的隨機數(shù)流，這種隨機數(shù)流對于大多數(shù)仿真模型，是能滿足需要的。因此，仍然是目前廣泛應(yīng)用的工程(gngchng)方法。第3頁/共29頁第三頁，共29頁。4偽隨機數(shù)的算法(sun f)偽隨機數(shù)是按照一定的計算公式產(chǎn)生的一列數(shù)，主要借助于如下的遞推公式： un=f(un-1,un-2,un-k)該公式（或算法）也稱為隨機

4、數(shù)發(fā)生器（RNG）。常用的偽隨機數(shù)的算法有：1）平方取中法（Von Neumann 40年代發(fā)明）2）乘法取中法 3）線性同余法：簡單、實用偽隨機數(shù)發(fā)生器的特點：1）產(chǎn)生的隨機數(shù)序列具有循環(huán)周期性。可以證明，任何產(chǎn)生偽隨機數(shù)的算法總會進入循環(huán)，這樣為了保證隨機數(shù)序列不產(chǎn)生重復(fù)的數(shù)據(jù)，就要求循環(huán)的周期足夠長。2）算法過程具有再現(xiàn)(zixin)性：在初始化時，如果賦予相同的種子值，將產(chǎn)生完全相同的隨機數(shù)序列。第4頁/共29頁第四頁，共29頁。5偽隨機數(shù)的算法(sun f)（續(xù)） 線性同余法 1）設(shè)置(shzh)y0，即設(shè)置(shzh)種子 2）yn=kyn-1(mod N)，un=yn/N 三組常

5、見的參數(shù) N=1010，k=7，周期5107 （IBM隨機數(shù)發(fā)生器）N=231，k=216+3，周期5108 （ran0） N=231-1，k=75，周期2109第5頁/共29頁第五頁，共29頁。6一般(ybn)隨機數(shù)的產(chǎn)生方法 大部分計算機語言都提供了產(chǎn)生01間隔均勻分布隨機數(shù)的標準函數(shù)或方法：C語言中的rand函數(shù)，VB中的randum函數(shù)， java語言中的Randnum類。 由均勻分布的隨機數(shù)可構(gòu)造出任(chrn)一分布F(x)的隨機數(shù)，最基本的方法是逆變換法：的密度函數(shù)。是其中，。因為的分布函數(shù)正好是則進行變換，可得：對均勻隨機變量），由它的反函數(shù)（假定它是嚴格單調(diào)的給定分布) 1

6、, 0()()(1)()()()()()()()()(111UufxFduduufxFuPxUFPxXPxFxFXUFXUFxFUxFxFUX第6頁/共29頁第六頁，共29頁。7一般隨機數(shù)的產(chǎn)生(chnshng)方法（續(xù)） 例如：利用變換法產(chǎn)生指數(shù)分布隨機數(shù)的方法(fngf)。 因此，X的模擬方法(fngf)為 1）產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)ui； 2）計算指數(shù)分布隨機數(shù)：xi=-ln ui /)1ln(1)(1)(1UUFXexFx，其反函數(shù)為為的指數(shù)分布的分布函數(shù)參數(shù)為第7頁/共29頁第七頁，共29頁。8泊松分布隨機變量(su j bin lin)的產(chǎn)生方法從泊松分布的分布律可知(k zh)，采用

7、前述方法很不適用。由于!iiepP Xii11(1)!1iiieppii因此，采用遞推法構(gòu)成泊松分布：1）產(chǎn)生(chnshng)均勻分布隨機數(shù)；2）3）若uF，令X=i，停止；4）5）轉(zhuǎn)向3）。0,;ipeFp/(1),1;ppiFFp ii 第8頁/共29頁第八頁，共29頁。9正態(tài)分布隨機變量(su j bin lin)的產(chǎn)生方法標準正態(tài)隨機變量的分布函數(shù) 的反函數(shù)不存在顯式，因此也不能用逆變法產(chǎn)生。故采用如下方法(fngf)：設(shè)UiU(0，1)，i=1,2,n，且相互獨立，由中心極限定理可知，當n較大時2/21( )2xtxedt1()(0,1)()niiiiUnE UZNnD U第9頁/

8、共29頁第九頁，共29頁。10實驗平臺(pngti)介紹產(chǎn)生(chnshng)各種分布的隨機數(shù)統(tǒng)計并顯示各種( zhn)分布的概率密度或分布律顯示均值實驗自相關(guān)序列并顯示Rx將顯示的結(jié)果保存為*.bmp文件波形顯示區(qū)域第10頁/共29頁第十頁，共29頁。11實驗執(zhí)行(zhxng)步驟1. 選擇執(zhí)行的實驗內(nèi)容2. 在出現(xiàn)(chxin)正確結(jié)果后，選擇“保存”3. 選擇結(jié)果保存的目錄4. 輸入保存結(jié)果的文件名，必須為*.bmp文件5. 選擇“保存”12453第11頁/共29頁第十一頁，共29頁。12實驗(shyn)平臺介紹 實驗平臺包含的源文件 StdAfx.cpp：VC工程(gngchng)自帶

9、文件，不能修改 random.cpp和random.h：工程(gngchng)主文件，不能修改 Scope.cpp和Scope.h ：畫圖程序，不能修改 randomDlg.cpp和randomDlg.h：主界面程序，包括對各個按鈕的動作的響應(yīng)，還包括對各種隨機變量的輸入?yún)?shù)的設(shè)定 MyRand.cpp和MyRand.h：各種分布的隨機變量的產(chǎn)生程序，實驗過程中主要完成MyRand.cpp中的函數(shù)即可第12頁/共29頁第十二頁，共29頁。13MyRand.cpp的函數(shù)(hnsh) unsigned int CMyRand:MyRand(unsigned int seed) 函數(shù)功能：采用線性同

10、余法，根據(jù)輸入的種子數(shù)產(chǎn)生(chnshng)一個偽隨機數(shù)，如果種子不變，則可以重復(fù)調(diào)用該函數(shù)產(chǎn)生(chnshng)一個偽隨機序列 參數(shù)： seed作為調(diào)用函數(shù)的輸入種子，同一個偽隨機數(shù)序列可采用同一個seed 實現(xiàn)思路：利用CMyRand類中定義的全局變量：S, K, N, Y。其中K和N為算法參數(shù)，S用于保存種子數(shù)，Y為產(chǎn)生(chnshng)的隨機數(shù) 注意事項：Y的初值的計算第13頁/共29頁第十三頁，共29頁。14MyRand.cpp的函數(shù)(hnsh) double CMyRand:AverageRandom (double min,double max) 函數(shù)功能(gngnng)：產(chǎn)生一

11、個在minmax范圍內(nèi)精度為4位小數(shù)的平均分布的隨機數(shù) 參數(shù)：min和max代表該均勻隨機變量的取值范圍，精確到小數(shù)點后4位。該參數(shù)在randomDlg.cpp中OnAverage ()和OnAverageStat()函數(shù)中已經(jīng)設(shè)置第14頁/共29頁第十四頁，共29頁。15MyRand.cpp的函數(shù)(hnsh) double CMyRand:NormalRandom(double miu, double sigma, double min, double max) 函數(shù)功能：產(chǎn)生均值為miu，方差(fn ch)為sigma的正態(tài)分布的隨機數(shù) 參數(shù)： miu為均值， sigma為方差(fn ch

12、)， min和max 為均勻分布隨機變量的取值范圍。 所有參數(shù)在randomDlg.cpp的OnNormal()和OnNormalStat()函數(shù)中設(shè)置。 實現(xiàn)思路：利用中心極限定理，通過多個獨立的均勻隨機變量之和構(gòu)成正態(tài)隨機變量第15頁/共29頁第十五頁，共29頁。16MyRand.cpp的函數(shù)(hnsh) double CMyRand:ExpRandom(double lambda, double min, double max) 函數(shù)功能：產(chǎn)生參數(shù)為lambda的指數(shù)分布的隨機數(shù) 參數(shù)： lambda為指數(shù)分布的參數(shù)， min和max 為均勻分布隨機變量的取值范圍。所有參數(shù)在random

13、Dlg.cpp的OnExp ()和OnExpStat ()函數(shù)中設(shè)置。 實現(xiàn)思路(sl)：利用逆變換法第16頁/共29頁第十六頁，共29頁。17MyRand.cpp的函數(shù)(hnsh) unsigned int CMyRand:PoisonRandom (double lambda, double min, double max) 函數(shù)功能：產(chǎn)生參數(shù)為lambda的產(chǎn)生泊松分布的隨機數(shù) 參數(shù)： lambda為泊松分布的參數(shù)， min和max 為均勻分布隨機變量的取值范圍(fnwi)。所有參數(shù)在randomDlg.cpp的OnPoison ()和OnPoisonStat ()函數(shù)中設(shè)置。 實現(xiàn)思路

14、：利用遞歸法第17頁/共29頁第十七頁，共29頁。18MyRand.cpp的函數(shù)(hnsh) double CMyRand:Ex(void) 函數(shù)功能：計算任意分布(fnb)的隨機過程的均值。本函數(shù)在randomDlg.cpp的OnSelf()函數(shù)中調(diào)用。第18頁/共29頁第十八頁，共29頁。19MyRand.cpp的函數(shù)(hnsh) double* CMyRand:Rx(double lambda, int points) 函數(shù)功能：計算泊松過程的自相關(guān)序列 參數(shù)： lambda為泊松過程的參數(shù)， points為輸入隨機數(shù)序列的個數(shù)。所有參數(shù)在randomDlg.cpp的OnSelfStat

15、 () 函數(shù)中設(shè)置。 返回：函數(shù)返回一個動態(tài)分配的數(shù)組頭指針，產(chǎn)生的Rx序列保存于該數(shù)組中 注意(zh y)：不要在本函數(shù)中釋放該數(shù)組的內(nèi)存第19頁/共29頁第十九頁，共29頁。20randomDlg.cpp注意事項 可以修改本程序中調(diào)用的MyRand.cpp中函數(shù)的輸入?yún)?shù)，以觀測參數(shù)變化后的效果。但是，不要修改其他與MyRand.cpp無關(guān)的代碼，以免出現(xiàn)(chxin)錯誤！第20頁/共29頁第二十頁，共29頁。21 實驗安排： 第一次：偽隨機數(shù)、均勻隨機變量和正態(tài)隨機變量 第二次：指數(shù)隨機變量、泊松隨機變量、均值( jn zh)和自相關(guān)。第21頁/共29頁第二十一頁，共29頁。22第22頁/共29頁第二十二頁，共29頁。23第23頁/共29頁第二十三頁，共29頁。24(1)隨機數(shù)的產(chǎn)生(chnshng)第24頁/共29頁第二十四頁，共29頁。25(2)產(chǎn)生一個在minmax范圍(fnwi)內(nèi)精度為4位小數(shù)的平均分布的隨機數(shù)已知隨機變量(su j bin lin)密度函數(shù)為 : 第25頁/共29頁第二十五頁，共29頁。26(4)泊松分布(fnb)的隨機數(shù)(3)產(chǎn)生(chnshng)一個指數(shù)分布的隨機數(shù)第26頁/共29頁第二十六頁，共29頁。27實驗平臺(pngti)介紹產(chǎn)生各種(