概率統(tǒng)計的解題技巧(共34頁)

1、 概率統(tǒng)計的解題技巧【例題解讀】考點. 求等可能性事件、互斥事件和相互獨立事件的概率解此類題目常應用以下知識:()等可能性事件(古典概型)的概率：();等可能事件概率的計算步驟： 計算一次實驗的基本事件總數(shù); 設所求事件，并計算事件包含的基本事件的個數(shù); 依公式求值; 答，即給問題一個明確的答復.()互斥事件有一個發(fā)生的概率：()()(); 特例：對立事件的概率：()()().()相互獨立事件同時發(fā)生的概率：(·)()·(); ()解決概率問題要注意“四個步驟，一個結(jié)合”： 求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運算即是

2、至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復.例在五個數(shù)字中，若隨機取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率是 （結(jié)果用數(shù)值表示） 解答過程提示:例一個總體含有個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為 解答過程提示:例從自動打包機包裝的食鹽中，隨機抽取袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：）： 根據(jù)的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率約為 解答過程在497.5g內(nèi)的數(shù)共有個，而總數(shù)是個，所以有例.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為.現(xiàn)有人接種該疫苗，至少有人出現(xiàn)發(fā)熱

3、反應的概率為.（精確到）解答提示至少有人出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為故填.信號源例右圖中有一個信號源和五個接收器.接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號.若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是( )（）（） （）（） 解答提示由題意，左端的六個接線點隨機地平均分成三組有種分法，同理右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有種分法；要五個接收器能同時接收到信號，則需五個接收器與信號源串聯(lián)在同一個線路中，即五個接收器的一個全排列，再將排列后的第一個元素

4、與信號源左端連接，最后一個元素與信號源右端連接，所以符合條件的連接方式共有種，所求的概率是，所以選.例從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機抽取件，假設事件： “取出的件產(chǎn)品中至多有件是二等品”的概率（）求從該批產(chǎn)品中任取件是二等品的概率；（）若該批產(chǎn)品共件，從中任意抽取件，求事件：“取出的件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率 解答過程（）記表示事件“取出的件產(chǎn)品中無二等品”，表示事件“取出的件產(chǎn)品中恰有件二等品”則互斥，且，故于是解得（舍去）（）記表示事件“取出的件產(chǎn)品中無二等品”，則若該批產(chǎn)品共件，由（）知其中二等品有件，故例兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷本，共本將它

5、們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左邊本恰好都屬于同一部小說的概率是 （結(jié)果用分數(shù)表示）解答提示從兩部不同的長篇小說本書的排列方法有種，左邊本恰好都屬于同一部小說的的排列方法有種.所以, 將符合條件的長篇小說任意地排成一排，左邊本恰好都屬于同一部小說的概率是種.所以,填.例甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有個紅球，個白球；乙袋裝有個紅球，個白球.由甲，乙兩袋中各任取個球.()若，求取到的個球全是紅球的概率；()若取到的個球中至少有個紅球的概率為，求.標準解答（）記“取到的個球全是紅球”為事件.（）記“取到的個球至多有個紅球”為事件，“取到的個球只有個紅球”為事件，“取到的個球全是白球”為事件. 由題

6、意，得所以, ，化簡，得解得，或（舍去），故 .例.某商場經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用一次性付款的概率是，經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場獲得利潤元；若顧客采用分期付款，商場獲得利潤元（）求位購買該商品的顧客中至少有位采用一次性付款的概率；（）求位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過元的概率 解答過程（）記表示事件：“位顧客中至少位采用一次性付款”,， （）記表示事件：“位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過元”表示事件：“購買該商品的位顧客中無人采用分期付款”表示事件：“購買該商品的位顧客中恰有位采用分期付款”則，例某公司招聘員工

7、，指定三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.（）分別求該應聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；（）試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.（說明理由） 標準解答記該應聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為，則()，()，().() 應聘者用方案一考試通過的概率 (··)(··)(··)(··) ××

8、;()()×××()×××.應聘者用方案二考試通過的概率 (·) (·) (·) ×(×××) ()() () ( ).例某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、，且各輪問題能否正確回答互不影響.（）求該選手進入第四輪才被淘汰的概率;（）求該選手至多進入第三輪考核的概率. 解答過程（）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手進入第四輪才被淘汰的概率（）

9、該選手至多進入第三輪考核的概率考點離散型隨機變量的分布列.隨機變量及相關概念隨機實驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機變量，常用希臘字母、等表示.隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地，設離散型隨機變量可能取的值為，取每一個值（，）的概率（），則稱下表.為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質(zhì)：（），;（）.常見的離散型隨機變量的分布列：（）二項分布次獨立重復

10、實驗中，事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量，其所有可能的取值為，并且，其中，隨機變量的分布列如下：稱這樣隨機變量服從二項分布，記作，其中、為參數(shù)，并記： .（） 幾何分布 在獨立重復實驗中，某事件第一次發(fā)生時所作的實驗的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量，“”表示在第次獨立重復實驗時事件第一次發(fā)生.隨機變量的概率分布為：例廠家在產(chǎn)品出廠前,需對產(chǎn)品做檢驗,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時,商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗,以決定是否接收這批產(chǎn)品.（）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為,從中任意取出件進行檢驗,求至少有件是合格的概率；（）若廠家發(fā)給商家件產(chǎn)品中,其中有件不合格,按合同規(guī)定該商

11、家從中任取件.都進行檢驗,只有件都合格時才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.考查目的本題考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算，考察隨機事件的分布列，數(shù)學期望等，考察運用所學知識與方法解決實際問題的能力.解答過程（）記“廠家任取件產(chǎn)品檢驗，其中至少有件是合格品”為事件 用對立事件來算，有（）可能的取值為 ，記“商家任取件產(chǎn)品檢驗，都合格”為事件，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為例某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰. 已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概

12、率分別為、,且各輪問題能否正確回答互不影響.（）求該選手被淘汰的概率;（）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.（注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示）考查目的本題考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算，考察隨機事件的分布列，數(shù)學期望等，考察運用所學知識與方法解決實際問題的能力.解答過程解法一：（）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）的可能值為， 的分布列為解法二：（）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）同解法一考點 離散型隨機變量的期望與方差隨機變量的數(shù)學期望和方差()離散型隨機變量的數(shù)學期望：；期望反映隨機變量

13、取值的平均水平.離散型隨機變量的方差：；方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.基本性質(zhì)：；.()若(，)，則 ; （這里） ; 如果隨機變量服從幾何分布，則， 其中.例甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為、，和的分布列如下：則比較兩名工人的技術水平的高低為 .思路啟迪：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小.解答過程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為： ，；工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為：，由知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術水平相當，但>，可見乙的技術比較穩(wěn)

14、定.小結(jié)：期望反映隨機變量取值的平均水平；方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.例.某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為商場經(jīng)銷一件該商品，采用期付款，其利潤為元；分期或期付款，其利潤為元；分期或期付款，其利潤為元表示經(jīng)銷一件該商品的利潤（）求事件：“購買該商品的位顧客中，至少有位采用期付款”的概率；（）求的分布列及期望考查目的 本小題主要考查概率和離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等知識.考查運用概率知識解決實際問題的能力.解答過程（）由表示事件“購買該商品的位顧客中至少有位采用期付款”知表示事件“購買該商品的位顧客中無人采用期付款”， （）的可能取值為

15、元，元，元，的分布列為（元）小結(jié)：離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.本題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.例.某班有名學生，在一次考試中統(tǒng)計出平均分為分，方差為，后來發(fā)現(xiàn)有名同學的成績有誤，甲實得分卻記為分，乙實得分卻記為分，更正后平均分和方差分別是， ， ， ，解答過程：易得沒有改變，而（），（）（×）.答案：考點 抽樣方法與總體分布的估計抽樣方法簡單隨機抽樣：設一個總體的個數(shù)為，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣.常用抽簽法和隨

16、機數(shù)表法.系統(tǒng)抽樣：當總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先定出的規(guī)則，從每一部分抽取個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）.分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.總體分布的估計由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.當總體中的個體取不同數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應的頻率表示，幾何表示就是相應的條形圖.當總體中的個體取值在某個區(qū)

17、間上時用頻率分布直方圖來表示相應樣本的頻率分布.總體密度曲線：當樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.典型例題例.某工廠生產(chǎn)、三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為：.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本，樣本中種型號產(chǎn)品有件.那么此樣本的容量 .解答過程：種型號的總體是，則樣本容量.例一個總體中有個個體，隨機編號，依編號順序平均分成個小組，組號依次為，.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為的樣本，規(guī)定如果在第組隨機抽取的號碼為，那么在第組中抽取的號碼個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，若，則在第組中抽取的號碼是 解答過程：第組的號碼為 ，當時，第

18、組抽取的號的個位數(shù)字為的個位數(shù)字，所以第組中抽取的號碼的個位數(shù)字為 ，所以抽取號碼為例考查某校高三年級男生的身高，隨機抽取名高三男生，實測身高數(shù)據(jù)（單位：）如下： 作出頻率分布表；畫出頻率分布直方圖.思路啟迪：確定組距與組數(shù)是解決“總體中的個體取不同值較多”這類問題的出發(fā)點.解答過程：最低身高為，最高身高，其差為。確定組距為，組數(shù)為，列表如下： 頻率分布直方圖如下：小結(jié)： 合理、科學地確定組距和組數(shù)，才能準確地制表及繪圖，這是用樣本的頻率分布估計總體分布的基本功估計總體分布的基本功?？键c 正態(tài)分布與線性回歸.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)（）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機變量 的概率密度函數(shù)為 ， 其

19、中、為常數(shù)，并且，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）.（）期望 ，方差.（）正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):曲線在軸上方，并且關于直線對稱.曲線在時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低.曲線的對稱軸位置由確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦”.（）標準正態(tài)分布當，時服從標準的正態(tài)分布，記作（，）（）兩個重要的公式, .（）與二者聯(lián)系. 若，則 ;若，則.線性回歸簡單的說，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關系的一種數(shù)學方法.變量和變量之間的關系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關系和不確定的函數(shù)關系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量

20、之間的相關關系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以提供變量之間相關關系的經(jīng)驗公式.具體說來，對個樣本數(shù)據(jù)（），（），（），其回歸直線方程，或經(jīng)驗公式為：.其中，其中分別為、的平均數(shù).例.如果隨機變量（，），且，則（等于( )（） .（）（）.（）（） .（）（）解答過程：對正態(tài)分布，故（）（）（）（）（）（）（）.答案：例. 將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設定在 ，液體的溫度（單位：）是一個隨機變量，且（，）.（）若°，則<的概率為 ；（）若要保持液體的溫度至少為 的概率不低于，則至少是 ?（其中若（，），則（）（<），（）（<）.思路啟迪：（）要求（<

21、;）（），（，）不是標準正態(tài)分布，而給出的是（），（），故需轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布的數(shù)值.（）轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布下的數(shù)值求概率，再利用，解.解答過程：（）（<）（）（）（）（）.（）由已知滿足（），即（<），（<）.（）（）.故至少為.小結(jié)：（）若（，），則（，）.（）標準正態(tài)分布的密度函數(shù)（）是偶函數(shù)，<時，（）為增函數(shù)，>時，（）為減函數(shù).例設，且總體密度曲線的函數(shù)表達式為：，. （）則，是 ；（）則及的值是 .思路啟迪： 根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構特征，對照已知函數(shù)求出和.利用一般正態(tài)總體與標準正態(tài)總體（，）概率間的關系，將一般正態(tài)總體劃歸為標準正態(tài)總體來解決.

22、解答過程：由于，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達形式，可知，故（，）.又. 小結(jié)：通過本例可以看出一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布間的內(nèi)在關聯(lián).例 公共汽車門的高度是按照確保以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設計的，如果某地成年男子的身高（，）（單位：），則車門應設計的高度是 （精確到）？思路啟迪：由題意可知，求的是車門的最低高度，可設其為，使其總體在不低于的概率小于.解答過程：設該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應設為，由題意，需使()<. （，），。查表得，解得>，即公共汽車門的高度至少應設計為180cm，可確保以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.【專題訓練與高考預測】一.選擇題.下面關于離散型

23、隨機變量的期望與方差的結(jié)論錯誤的是 （）.期望反映隨機變量取值的平均水平，方差反映隨機變量取值集中與離散的程度.期望與方差都是一個數(shù)值，它們不隨實驗的結(jié)果而變化.方差是一個非負數(shù).期望是區(qū)間，上的一個數(shù).要了解一批產(chǎn)品的質(zhì)量，從中抽取個產(chǎn)品進行檢測，則這個產(chǎn)品的質(zhì)量是 （ ）. 總體 .總體的一個樣本 .個體 . 樣本容量.已知的分布列為： 設則的值為 （ ） . . . . .設，則的值分別為 （） ， . ， . ， . ，.已知隨機變量 服從二項分布，則等于 （）. . . .設隨機變量的分布列為,其中,則等于 ( ). . . .設件產(chǎn)品中有件廢品,從中抽取件進行檢查,則查得廢品數(shù)的數(shù)

24、學期望為( ) .都不對.某市政府在人大會上,要從農(nóng)業(yè)、工業(yè)、教育系統(tǒng)的代表中抽查對政府工作報告的意見.為了更具有代表性,抽取應采用 () .抽簽法 .隨機數(shù)表法 .系統(tǒng)抽樣法 .分層抽樣.一臺型號的自動機床在一小時內(nèi)不需要人照看的概為,有四臺這種型號的自動機床各自獨立工作,則在一小時內(nèi)至多有臺機床需要工人照看的概率是 ( ) .某校高三年級名學生已編號為，為了解高三學生的飲食情況，要按：的比例抽取一個樣本，若采用系統(tǒng)抽樣方法進行抽取，其中抽取名學生的編號可能是（ ）， ， ， ，.同時拋擲枚均勻硬幣次,設枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上枚反面向上的次數(shù)為,則的數(shù)學期望是 ( ) .已知,且,則()等

25、于 ( )A.0.1 .某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有個、個、個、個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這個銷售點中抽取一個容量為的樣本，記這項調(diào)查為；在丙地區(qū)中有個特大型銷售點，要從中抽取個調(diào)查其銷售收入和售后服務情況，記這項調(diào)查為.則完成、這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法.某校為了了解學生的課外閱讀情況，隨機調(diào)查了名學生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這名學生這一天平均每人的課外閱讀時間為( )A.0.6 二.填空題.某工廠規(guī)定:工人只要生產(chǎn)出一件甲級產(chǎn)品發(fā)獎金元,生產(chǎn)出一件乙級產(chǎn)品發(fā)獎金元,若生產(chǎn)出一件次品則扣獎金元,某工人生產(chǎn)甲級品的概率為,乙級品的概率為,次品的概率為,則此人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均獎金為 元. . 同時拋擲兩枚相同的均勻硬幣,隨機變量 表示結(jié)果中有正面向上, 表示結(jié)果中沒有正面向上,則 . 甲、乙兩種冬小麥實驗品種連續(xù)年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位： ）品種第年第年第年第年第年甲乙其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 .一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品件,它們來自甲、乙、丙條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽樣，已知從甲、乙、丙條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)