待定系數(shù)法分解因式含答案-

1、待定系數(shù)法分解因式待定系數(shù)法作為最常用的解題方法，可以運用于因式分解、確定方程系數(shù)、解決 應(yīng)用問題等各種場合。其指導(dǎo)作用貫穿于初中、高中甚至于大學(xué)的許多課程之中，認(rèn) 真學(xué)好并掌握待定系數(shù)法，必將大有裨益。將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便 可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定 系數(shù)法。本講主要介紹待定系數(shù)法在因式分解中的作用。同學(xué)們要仔細(xì)體會解題的技巧。這一部分中，通過一系列題目的因式分解過程，同學(xué)們要學(xué)會用待定系數(shù)法進行 因式分解時的方法，步驟，

2、技巧等。例1分解因式.：I; ;思路1因為.；I .：r 3產(chǎn)城所以設(shè)原式的分解式是1-然后展開，利用多項式的恒等,求出m, n,的值。解法1因為-I' - 7；'| .-.所以可設(shè)2十十卩-3才 +x +14-15 = (x-y 5)(2x+ 3y + n).=2x3 + xy-3y2 + (2朋+丹)兀+ (3碑-總)丿+滋找n+n= I比較系數(shù)，得 pix-n=14-mn=15由、解得'把二I代入式也成立。二.丁 I :J' .； ' J '. '- 二： I .； I思路2前面同思路1，然后給x,y取特殊值，求出 m,n的值。解法

3、2因為-I- -廠；'1 .-.所以可設(shè)2x2 + i + W.y-15 - （x-y + 刑）（2x+ 3y 卄）.因為該式是恒等式，所以它對所有使式子有意義的x,y都成立，那么無妨令.- - 一得：令_ ' -.I' _ -得即工: 1.1解、得：1或 - - < - - 3把它們分別代入恒等式檢驗，得；：二土二'說明：本題解法中方程的個數(shù)多于未知數(shù)的個數(shù)，必須把求得的值代入多余的方程逐一檢驗。若有的解對某個方程或所設(shè)的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程 組無解，則說明原式不能分解成所設(shè)形成的因式。例2分解因式 ?-/+4?+3x+5思路 本題是關(guān)于

4、 x的四次多項式，可考慮用待定系數(shù)法將其分解為兩個二次式之 積。解設(shè)J-:=（? +曲 + 1）（只 + 分+ 5）+© +b）x3十（必+ ® J + （勿+加+ $a+ b= -1由恒等式性質(zhì)有：ab + 6 = 45a+ h = 3由、解得：二二.1代入中，式成立。.I V一一 說明若設(shè)原式- -I'-. -由待定系數(shù)法解題知關(guān)于a與b的方程組無解，故設(shè)原式= (x2 +dx + l)(? +抵+*例3在關(guān)于x的二次三項式中， 當(dāng)下二時，其值為0 ;當(dāng)；二-j時，其值為0;當(dāng)二二 時，其值為10,求這個二次三項式。思路1先設(shè)出關(guān)于 x的二次三項式的表達式，然后

5、利用已知條件求出各項的系數(shù)?？煽紤]利用恒待式的性質(zhì)。解法1設(shè)關(guān)于x的二次三項式為 匸'+匚-把已知條件分別代入，得a+ b+ c = 0宅 9a+ 3b + c = 04a + 2b + c = 10a = 2,解得* b = 4tI c = -6.故所求的二次三項為 2?+4i-6.思路2根據(jù)已知*- -時，其值0這一條件可設(shè)二次三項式為然后再求出a的值。解法2由已知條件知當(dāng) 二L ；時，這個二次三項式的值都為0,故可設(shè)這個二 次三項式為:工: - JI把】_代入上式，得匚二.解得if - _故所求的二次三項式為-即:說明要注意利用已知條件，巧設(shè)二次三項式的表達式。例4已知多項式.J

6、 + - -二+ -1的系數(shù)都是整數(shù)。若匕,-_：'是奇數(shù)，證明這個多項式不能分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積。思路先設(shè)這個多項式能分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積，然后利用已知條件及其他知識推出這種分解是不可能的。證明：設(shè)I-;-:-：- ；：= | 十（m,n,r 都是整數(shù)）。比較系數(shù)，得mr - &、因為H 一 .； j 'I是奇數(shù)，則. . _與d都為奇數(shù)，那么 mr也是奇數(shù)，由奇 數(shù)的性質(zhì)得出m,r也都是奇數(shù)。在式中令下二1 ,得丨一 一 一匸|匚由二十 J是奇數(shù)，得 冷;是奇數(shù)。而 m為奇數(shù)，故.-亡是偶數(shù)，所以'1 1- '-.是偶數(shù)。這樣 的左邊

7、是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)。這是不可能的。因此，題中的多項式不能分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積。說明：所要證的命題涉及到“不能”時，常常考慮用反證法來證明。例5已知-'- b能被二_ 整除，求證：:'-思路：可用待定系數(shù)法來求展開前后系數(shù)之間的關(guān)系。證明：設(shè)展開，比較系數(shù)，得芒a-2c = 0/ +b - 2ac=0彳 ac2 - abc += 0bd由、，得!；, = :代入、得:°八 :-',二二二例6若a是自然數(shù)，且一-1 - : / - _；的值是一個質(zhì)數(shù)，求這個質(zhì)數(shù)。思路：因為質(zhì)數(shù)只能分解為1和它本身，故可用待定系數(shù)法將多項式分解因式,且使得因式中值較小的為1

8、，即可求a的值。進而解決問題。解：由待定系數(shù)法可解得/-4/+1 如-血+ 27 (/-% + 3)(a2 p + 9),由于a是自然數(shù)，且 ;；-和廠-門是一個質(zhì)數(shù),a2 3a3(a2 - % + 9二- ：.： - J .解得；I. ：.當(dāng)靑一 I.時，-不是質(zhì)數(shù)。當(dāng)一-時，一 l! - ''11是質(zhì)數(shù)。J 一一 二 ：.t-：'=11 .練習(xí)1、 分解因式I ; I ' ，-.2、若多項式3+- 2y'十幷十9y +冷能被3x + 4整除，則n=.3、 二次三項式當(dāng)下二1時其值為-3，當(dāng)二時其值為2，當(dāng)；二-時其值為5 ,這個二次三項式是 .4、

9、m, n是什么數(shù)時，多項式-；4-二I門能被 廠-上-I整除？B級5、 多項式3+2忑廠+辦-3丿+上能分解為兩個一次因式的積，貝Uk=.6、 若多項式' '；" - I :1 能被 11.- T：整除，則 H .7、 若多項式 F-6H+此-3當(dāng)尸1,2時的值均為0,則當(dāng)x=時，多項式的值也是0。8、求證：-".".T T '1 ；.'不能分解為兩個一次因式的積。參考答案或提示: 1. :; ；提示：設(shè)原式-+十；= 3x2+5xy-2/ + © + 3if）x + （2鷹-b）y + ab.比較兩邊系數(shù)，得"

10、a + 3b = 1* 2a - b = 9ab = -4A.伍=4,由、解得 _.將.？=丄；=代入式成立。原式=I,.' -二:-'.2、-4。提示：設(shè)原式:;- .- - :=； -'.；' : ： ' " ； ，.:比較系數(shù)，得3m+ 4 = 1C-m=9n = 4m由、解得：:一 I.代入得二-13、提示：設(shè)二次三項式為;-把已知條件代入，得+b +c = -3r彳 4金 + 2E - 2,a -b + c = 5k解得= -A,c = 2L所求二次三項式為加-:4. r : =-i設(shè)，-|：-；-;.廠 I：二 x* +(E-2)F +(?j - 2i + l)x2 + (2n +i)x +比較系數(shù)，得fb-2 = -5, 皿-2b + 1 = 11,-2k +A tn.kfb = -3,解得皿=4,蜩=T1k當(dāng)m=-11 , n=4已知多項式能被 .-二-整除。5. -2提示：設(shè)原式 < :- -<"；'' I -二二.： 'r ；'" < .(-xXs-x)(l-x) =割搦ez|- = E/ +.衣=$'故=住一貯11 = 1+ »s-l G = z - ”7+<K-p)+ 產(chǎn)(【+陀-g) +產(chǎn)(2-卩)