高考數(shù)學指導導數(shù)的綜合應用

1、高考數(shù)學指導：導數(shù)的綜合應用導數(shù)既是高中數(shù)學的新增內(nèi)容，又是高考的新熱點，導數(shù)知識的綜合運用涉及到函數(shù)、方程、不等式、物體運動的瞬時速度和應用性問題.本文從以下八個方面研究導數(shù)的應用,供大家參考.(一)求與曲線的切線斜率有關(guān)的問題曲線在點處的切線斜率為，切線方程為例1 (03年高考題)設(shè)曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為則點P到曲線對稱軸距離的取值范圍為（ ）.(A) (B) (C) (D) 分析：本題應把曲線的切線斜率、二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)結(jié)合起來思考.解：曲線在點處的切線斜率是 又曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為因此斜率的取值范圍是,即 又曲線對稱軸方程為點P到曲線對稱軸距離為其

2、范圍是, 故選(B).例2 (03年高考題)已知拋物線如果直線同時是的切線，稱是的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.(1)取什么值時,有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程；(2)若有兩條公切線,證明相應的兩條公切線段互相平分.分析:先分別假設(shè)兩拋物線上的切點，寫出相應切線方程，再由它們是同一個方程，得出對應項系數(shù)相等進行思考.解:(1)函數(shù)曲線在點的切線方程即 函數(shù)曲線在點的切線方程：即 若直線是過的公切線，則和都是的方程， 所以消去若判別式此時點P與Q重合.有且僅有一條公切線,由得公切線方程為(2)略.(二)求運動物體的瞬時速度物體的運動方程為則物體的瞬時速度為例3 向高為

3、8m,上口直徑為8m的倒圓錐形容器內(nèi)注水,其速度為每分種4m,求當水深為5m時,水面上升的速度.分析：由注水體積與容器內(nèi)的水的體積相等，建立水深與時間的函數(shù)關(guān)系，再用導數(shù)方法思考相應時刻水深的變化率.解:設(shè)t分鐘后水深為y m,此時水面半徑為m, 當.答:水面上升的速度為每分鐘米.例4 兩船同時從同一碼頭出發(fā),甲船以每時30公里的速度向北行駛,乙船以每時40公里的速度向東行駛,求兩船相離的速度.分析：本題由物體運動距離與時間的關(guān)系，思考物體在各時刻的運動狀態(tài).解:依題意有,兩船的距離d與時間t的函數(shù)關(guān)系為: ,其中兩船相離的速度為每時公里.(三)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間函數(shù)內(nèi)可導,若則在內(nèi)為增函數(shù)(或減

4、函數(shù)).即:單增(減)區(qū)間為的解集為在單增(減),在內(nèi)恒成立.例5 (02年高考題)已知函數(shù)在x=1處有極小值，試確定a ,b的值，并求出的單調(diào)區(qū)間.分析：由函數(shù)值和極值確定a、b，再根據(jù)導函數(shù)值的符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間.解：由已知,可得，.由得.故. .令在為單增；在為單減.例6 (03年高考題)設(shè)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析:本題是含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題,要對參數(shù)進行分類討論.解： (1)當 時，對所有，有此時在內(nèi)單調(diào)遞增.(2)當 時，對所有，有此時在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞增.又在處連續(xù)，故在內(nèi)單調(diào)遞增.(3)當時，令，即解得在內(nèi)單增,在內(nèi)單增.令，即得故在內(nèi)單調(diào)遞減.(四)求函數(shù)的最值求可導

5、函數(shù)的極值的步驟為：求導數(shù)求方程的根;檢驗在方程根左右的符號，若左正右負，則在這個根處取極大值；若左負右正，則在這個根處取極小值；若左右符號相同，則在這個根處沒有極值. 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，求在上的最值的步驟為：求內(nèi)的極值；將的各個極值與、比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值.例7 (00年上海高考題)已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的最小值;(2)若對任意恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.分析：本題由導函數(shù)值的符號確定函數(shù)的單調(diào)性,再求其最值.解：(1)上單增，最小值為(2)對恒成立恒成立恒成立.設(shè),則a大于u的最大值,又 是減函數(shù)，當時u取得最大值例8 求函數(shù)在上的最大值和最小值.分析：先用分

6、段函數(shù)表示，思考連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的極值及在端點處的值，即可得出最值.解:上連續(xù)，必存在最大值和最小值.函數(shù)在x=0處不可導，且解得函數(shù)在x=0處取得最小值0；在x=處取得最大值10.(五)求參數(shù)的范圍此類問題考慮參數(shù)與變量分離的方法解決.例9 (00年高考題)設(shè)函數(shù),其中.(1)解不等式；(2)求的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).分析：要使函數(shù)單調(diào)則在上恒正或恒負.解：(1)略. (2)當時,當時， 又a>0,當且僅當時, 上恒小于0.故上是單減函數(shù). 例10 (02年上海高考題)已知函數(shù) (1)當時，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)求實數(shù)a的取值范圍，使在上是單調(diào)函數(shù). 解: (1

7、) 令則比較得的最大值37，最小值1.(2)要使在上單調(diào)，當且僅當即總成立. (六)求函數(shù)解析式 此類問題往往先用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)的解析式,再用函數(shù)性質(zhì)思考.例11 (95年上海高考題)設(shè)是二次函數(shù)，方程有兩個相等的實根，且求的表達式. 分析:由待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)的解析式,用導函數(shù)比較系數(shù)和判別式為零來解. 解：設(shè)則又 又方程有兩個相等實根, 故 例12 已知是一個一元三次函數(shù), 在處分別取得極值求此函數(shù)的解析式.分析:由函數(shù)值和導函數(shù)值列出方程組思考解決.解:設(shè)則依題意有： 解的方程組,得即 (七)證明不等式這是導數(shù)問題的新題型, 函數(shù)、方程、不等式相互關(guān)聯(lián),解題時往往構(gòu)造函數(shù)，考慮函

8、數(shù)的性質(zhì).例13 (01年高考題)已知是正整數(shù)，且(1)證明: (2)證明: 分析：本題不等式（2）等價于，即 ，構(gòu)造函數(shù)思考其單調(diào)性即可.證明:(1)略.(2)考查函數(shù)則由知,上單減.又故例14若在取得極值求證：分析：由s, t是的兩實根，考查的根的分布.證明：取得極值，是方程得兩根，由根與系數(shù)關(guān)系知均大于0.又 在區(qū)間內(nèi)分別有一根.(八)解應用問題解決數(shù)學應用問題，先構(gòu)造目標函數(shù)，再根據(jù)導數(shù)和不等式知識確定函數(shù)的極值或最值.例15 一種變壓器的鐵心的截面為正十字型，為保證所需的磁通量，要求十字型應具有cm的面積，問應如何設(shè)計正十字型的寬x和長y，才能使其外接圓的周長最短，這樣可使繞在鐵心上的銅線最省.解:設(shè)由條件知設(shè)外接圓半徑為R,記 則令此時最小，即R最小，從而周長最小，此時cm,cm.例16 (01年高考題)設(shè)計一幅宣傳畫,要求畫面面積為4840cm,畫面的寬與高的比為,畫面的上、下各8c