排列組合問題的解題方法與技巧的總結(jié)

1、學(xué)員 數(shù)學(xué) 科目第次個性化教案授課時間教師姓名備課時間學(xué)員年級甘一k 冋課題名稱排列組合問題的解題策略課時總數(shù)共課時教育顧問學(xué)管邱老師教學(xué)目標(biāo)1、兩個計數(shù)原理的掌握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解；關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握；關(guān)于組合數(shù)兩個性質(zhì)的掌握；3、運用排列與組合的意義與公式解決簡單的應(yīng)用問題（多為排列與組合的混合問題）教學(xué)重點1、兩個計數(shù)原理的掌握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解；關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握；關(guān)于組合數(shù)兩個性質(zhì)的掌握；教學(xué)難點運用排列與組合的意義與公式解決簡單的應(yīng)用問題（多為排列與組合的混合問題）教師活動一、作業(yè)檢查與評價（第一次課程）二、復(fù)習(xí)導(dǎo)入排列組合問

2、題聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，首先要認(rèn)真 審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用 合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚?。三、?nèi)容講解教學(xué)過程1.分類計數(shù)原理（加法原理）元成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有 m種不冋的方法，在第 2類辦法中有 m2種不冋的 方法，在第n類辦法中有mn種不冋的方法，那么完成這件事共有：N = g + m2 +川 + mn種不同的方法.2.分步計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法， 做第n步有mn種不冋的方法，那么完成這件事共有：

3、N = g漢m2工川x mn種不同的方法.3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件. 解決排列組合綜合性問題的一般過程如下：1. 認(rèn)真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事 ，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進行，確定分多少步及多 少類。3. 確定每一步或每一類是排列問題（有序）還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素4. 解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略排列組合問題的解題策略、相臨冋題捆綁法例1. 7

4、名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個元素排在一起的問題可用捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有種。評注：一般地：n站成一排,其中某m個人相鄰,可用捆綁”法解決，共有aNJMaM種排法。練習(xí)：5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起，有多少種不同的排法？二、不相臨問題選空插入法例2.7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為：a】a5種插入法：對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題，可以用插入法即先排好沒有限制條件的元素，然后將有限

5、制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可若N個人站成一排，其中 M個人不相鄰，可用“插空”法解決，共有種排法。練習(xí)： 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票 12張。8個學(xué)生，4個老師，要求老師在學(xué) 生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？分析 此題涉及到的是不相鄰問題 ，并且是對老師有特殊的要求，因此老師是特殊元素，在解決時就 要特殊對待所涉及問題是排列問題解 先排學(xué)生共有 種排法，然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個空檔可插，選其中的4個空檔，共有種選法根據(jù)乘法原理，共有的不同坐法為種三、復(fù)雜問題-總體排除法或排異法有些問題直接法考慮比較難比較復(fù)雜，或分類不清或多種時，而它的

6、反面往往比較簡捷，可考慮用“排除法”，先求出它的反面 ，再從整體中排除解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構(gòu)成元素 的限制。例3.（1996年全國高考題）正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中 3個點為頂點的三角形共有個解：從7個點中取3個點的取法有種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形，有 3條，所以滿足條件的三角形共有一 3= 32個.練習(xí)： 我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、畐冊長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多 少種？分析 此題若是直接去考慮的話 ，就要將問題分成好幾種情況 ，這樣解題的話，容易造成各種情況遺 漏或者重復(fù)的情況而如果從此問題相反的方面去

7、考慮的話 ，不但容易理解，而且在計算中也是非常 的簡便這樣就可以簡化計算過程解43人中任抽5人的方法有 種，正副班長，團支部書記都不在內(nèi)的抽法有 種，所以正副班長，團支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有 種四、特殊元素-優(yōu)先考慮法對于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。例4.（1995年上海高考題）1名老師和4名獲獎學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法種.解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個位置上任選一個位置， 有3種，而其余學(xué)生的排法有種，所以共有=72種不同的排法.例5.（ 2000年全國高考題）乒乓

8、球隊的 10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名 主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余 7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場 安排共有種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊員，有種排法，而其余 7名隊員選出2名安排在第二、四位置，有 種排法，所以不同的出場安排共有=252種.五、多元問題-分類討論法對于元素多，選取情況多，可按要求進行分類討論，最后總計。例6.（ 20XX年北京春招）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）A. 42B. 30C. 20D. 12解：增加的兩個新

9、節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有種；2.相臨：共有種。故不同插法的種數(shù)為：A + A2 a6=42 ,故選Ao例7.（ 20XX年全國高考試題）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有 4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數(shù)字作答）解：由題意，選用3種顏色時，C43種顏色，必須是同色，同色，與進行全排列，涂色 方法有C43A 33 =24種4色全用時涂色方法：是同色或同色，有2種情況，涂色方法有C21A44 =48種所以不同的著色方法共有48+24=72 種；故答案為72六、混合問題-先選后排法對于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先

10、選取元素，后進行排列的策略.例&（ 20XX年北京高考）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（）種A.C.解：本試題屬于均分組問題。則12名同學(xué)均分成3組共有 種方法，分配到三個不同的路口的不同的分配方案共有：種，故選A例9.（ 20XX年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出 3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（）A. 24 種B. 18 種C. 12 種D . 6 種解：黃瓜必選，故再選 2種蔬菜的方法數(shù)是 C32種，在不同土質(zhì)的三塊土地上種植的方法是A33,種法共有C32A33

11、=18，故選B .七相同元素分配-檔板分隔法例10.把10本相同的書發(fā)給編號為 1、2、3的三個學(xué)生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小 于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的 情況？本題考查組合問題。解一：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的 7本書進行分配，保證每個閱覽室 至少得一本書，這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個“空檔”內(nèi)插入兩個相同“ I ” （一般可視為“隔 板”）共有 C；種插法，即有15種分法。2、解二：由于書相同，故可先按閱覽室的編號分出6本，此時已保證各閱覽室所分得的書不小于其編號，剩下的4本書有以下四種分配方

12、案：某一閱覽室獨得4本，有種分法；某兩個閱覽=15 種.室分別得1本和3本，有1種分法；某兩個閱覽室各得2本，有：種分法；某一閱覽室得 2本，其余兩閱覽室各得1本，有：種分法.由加法原理，共有不同的分法八.轉(zhuǎn)化法：對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想，將其化歸為簡單的、具體的問題來求解。例11高二年級8個班,組織一個12個人的年級學(xué)生分會，每班要求至少1人，名額分配方案有多 少種？分析此題若直接去考慮的話，就會比較復(fù)雜但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題，就會顯得比較清楚，方法簡單，結(jié)果容易理解.解：此題可以轉(zhuǎn)化為：將12個相同的白球分成 8份，有多少種不同的分法問題，因此

13、須把這12個白 球排成一排，在11個空檔中放上7個相同的黑球，每個空檔最多放一個，即可將白球分成 8份，顯然 有種不同的放法，所以名額分配方案有 種九.剩余法：在組合問題中，有多少取法，就有多少種剩法，他們是一一對應(yīng)的，因此，當(dāng)求取法困難時，可轉(zhuǎn)化為求剩法例12袋中有5分硬幣23個,1角硬幣10個，如果從袋中取出2元錢，有多少種取法？分析 此題是一個組合問題，若是直接考慮取錢的問題的話，情況比較多，也顯得比較凌亂，難以理出頭緒來但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話，就會很容易解決問題解把所有的硬幣全部取出來，將得到0.05 X 23+0.10 X 10=2.15 元，所以比2元多0.15元，

14、所以剩下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角，所以共有2種取法.十對等法：在有些題目中，它的限制條件的肯定與否定是對等的，各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體，就可以得到所求.例13期中安排考試科目9門，語文要在數(shù)學(xué)之前考，有多少種不同的安排順序？分析 對于任何一個排列問題，就其中的兩個元素來講的話 ，他們的排列順序只有兩種情況 ，并且在 整個排列中，他們出現(xiàn)的機會是均等的 ，因此要求其中的某一種情況 ，能夠得到全體，那么問題就可 以解決了 .并且也避免了問題的復(fù)雜性.解不加任何限制條件，整個排法有種，“語文安排在數(shù)學(xué)之前考”，與“數(shù)學(xué)安排在語文之前考”的排法是相等的，所以語文安排

15、在數(shù)學(xué)之前考的排法共有種.十一.平均分組問題：例14. 6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1) 分給甲、乙、丙三人，每人 2本；(2) 分為三份，每份 2本；(3) 分為三份，一份 1本，一份2本，一份3本；(4) 分給甲、乙、丙三人，一人 1本，一人2本，一人3本；(5) 分給甲、乙、丙三人，每人至少 1本。解：1.C2/6xC2/4=90；2. (C2/6xC2/4)/A3/3=15；3. C1/6xC2/5=60；4. C1/6xC2/5xA3/3=360；5. 【(C2/6xC2/4)/A3/3+C1/6xC2/5+C1/6xC1/5/A2/2】xA3/3=540. 2、2型”即(1中的分配情況，有二尊0種方法； “仁2. 3型”即(4)中的分配悄況，= 360種方法； 1K 4型"，有C；A冷90種方法所以，一共90+360+90=540種方法.總之，排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類 為加，分步為乘。具體說，解排列組合的應(yīng)用題