絕對值三角不等式

1、第二節(jié)絕對值不等式第1課時絕對值三角不等式【課標要求】1理解定理1及其幾何說明，理解定理2.2會用定理1、定理2解決比較簡單的問題【核心掃描】1含絕對值不等式的兩個性質(zhì)定理的靈活運用(重點)2含絕對值不等式的恒成立問題或最值問題(難點)1絕對值的幾何意義如圖(1)，|a|表示數(shù)軸上 到原點的距離如圖(2)，|ab|的幾何意義是 的距離自學導引坐標為a的點A數(shù)軸上A，B兩點之間2定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab| ，當且僅當 時，等號成立|a|b|ab0試一試：證明：若a，b為實數(shù)，則|ab|a|b|.提示|ab|a|b|ab|2(|a|b|)2(ab)2|a|22|a|b|b|2a22abb

2、2a22|a|b|b2ab|ab|.由ab|ab|知ab0，原不等式成立當且僅當ab0時等號成立3定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當 時，等號成立想一想：定理2的幾何解釋是什么？提示在數(shù)軸上，a，b，c所對應(yīng)的點分別為A，B，C，當點B在點A，C之間時，|ac|ab|bc|；當點B不在點A，C之間時，|ac|ab|bc|.(ab)(bc)01若兩實數(shù)x，y滿足xy0，那么總有()A|xy|xy| B|xy|xy|C|xy|x|y| D|xy|y|x|解析當xy0時，|xy|x|y|，|xy|x|y|，因為|x|y|x|y|，所以|xy|xy|.答案A基礎(chǔ)自測2對于

3、|a|b|ab|a|b|，下列結(jié)論正確的是()A當a，b異號時，左邊等號成立B當a，b同號時，右邊等號成立C當ab0時，兩邊等號均成立D當ab0時，右邊等號成立；當ab0時，左邊等 號成立答案B3若|xa|h，|ya|k，則下列不等式一定成立的是()A|xy|2h B|xy|2kC|xy|hk D|xy|hk|答案C4已知h0，a，bR，命題甲：|ab|2h；命題乙：|a1|h且|b1|h，則甲是乙的_條件答案必要不充分【變式1】 證明：|xa|xb|ab|.證明|xa|xb|xa|bx|xabx|ba|ab|.|xa|xb|ab|.【變式2】 設(shè)f(x)x2-xc，|x-a|1求證：|f(x

4、)-f(a)|a對于對于xR均成立，則均成立，則a的取值范圍為的取值范圍為_解析|x4|x5|4x|x5|4xx5|9.當aa對于對于xR均成立，則均成立，則a的取值的取值范圍為范圍為_課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動4.2013|5|3|xxxaa變式 （重慶）如果關(guān)于 的不等式的解集是 ，求 的取值范圍本題若解集不是空集，a的范圍是多少？8a 課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動215. 2014|21|2|22xxaaxa變式（重慶）若不等式對任意實數(shù) 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍。課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動含絕對值不等式的恒成立問題【例】

5、 已知不等式|x2|x3|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集為R；(3)若不等式解集為 .分別求出m的范圍思維啟迪 解答本題可以先根據(jù)絕對值|xa|的意義或絕對值不等式的性質(zhì)求出|x2|x3|的最大值和最小值，再分別寫出三種情況下m的范圍課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動解法一因|x2|x3|的幾何意義為數(shù)軸上任意一點P(x)與兩定點A(2)，B(3)距離的差即|x2|x3|PA|PB|.由圖象知(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m1；課前探究學習課前探究學習課堂講練互

6、動課堂講練互動(2)若不等式的解集為R，即不等式恒成立，m只要比|x2|x3|的最小值還小，即m1；(3)若不等式的解集為 ，m只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即m1.法二由|x2|x3|(x2)(x3)|1，|x3|x2|(x3)(x2)|1，可得1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，即m1.(2)若不等式解集為R，即m1.(3)若不等式解集為 ，即m1.課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動變式2.(2011江西高考)對于實數(shù)x，y，若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_解析|x2y1|(x1)2(y1)| |x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y

7、1|的最大值為5.答案5課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動答案(1)A(2)A規(guī)律方法 |ab|a|b|，從左到右是一個放大過程，從右到左是縮小過程，證明不等式可以直接用，也可利用它消去變量求最值絕對值不等式是證明與絕對值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時還需要通過適當?shù)淖冃问蛊浞辖^對值不等式的條件解析|f(x)g(x)|f(x)|g(x)|，若x0M，|f(x0)|g(x0)|a，故|f(x0)g(x0)|a，所以x0N.答案C方法技巧含絕對值的代數(shù)式的最值問題【示例】 求函數(shù)f(x)|x3|x1|的最小值，并求出取最小值時x的范圍思路分析 恰當變形，利用定理2轉(zhuǎn)化為定值解根據(jù)定

8、理2，f(x)|x3|x1|(x3)(x1)|2，當且僅當(x3)(x1)0，即x3或x1.所以當x3或x1時，f(x)|x3|x1|最小值為2.方法點評 (1)求含絕對值的代數(shù)式的最值問題綜合性較強，直接求|a|b|的最大值比較困難，可采用|ab|，|ab|的最值，及ab0時，|a|b|ab|，ab0時，|a|b|ab|的定理，達到目的，其巧妙之處令人贊嘆不已(2)求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有：借助絕對值的定義，即零點分段；利用絕對值幾何意義；利用絕對值不等式性質(zhì)定理. 課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動規(guī)律方法 通過添一項、減一項的恒等變形，然后再進行組合，構(gòu)造成能利用絕對值的三角不等式的形式是證明的關(guān)鍵課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動 思維啟迪 利用絕對值三角不等式進行證明課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動課前探究學習課前探究學習課堂講練互動課堂講練互動規(guī)律方法 對于絕對值符號內(nèi)的式子，采用加減某個式子后，重新組合，運用絕對值不等式的性質(zhì)變形，是證明絕對值不等式的典型方法