《數(shù)字信號處理》試題答案

1、一、填空題（本大題共7小題，每小題1分，共7分）1. 序列x(n) = sin(0.3pn + 0.25p)，該序列的周期N為 20 。2. 序列x(n)存在傅里葉變換的充分條件是 。3. 用DFT對序列進行譜分析時，對序列截斷引起主譜線向附近展寬的現(xiàn)象稱為 頻譜泄露 。4. 全通濾波器的極點和零點是互為 共軛倒易 關系。5. 對12點長序列x(n)做DIF-基2FFT計算，其運算流圖中每級的蝶形個數(shù)是 8個 。6. 設計IIR濾波器的脈沖響應不變法，不適合設計 高通、帶阻 濾波器。7. 用頻率采樣法設計FIR數(shù)字濾波器，為了提高阻帶衰減，可在頻響間斷點處內(nèi)插一個或幾個 采樣點 。二、判斷改錯

2、題，正確打“ü”，錯誤打“û”，并改錯。（本大題共4小題，每小題2分，共8分）8. 周期序列的傅里葉級數(shù)仍是周期離散的。 （ ü ）9.DIT-基2FFT分解的基本方法是將序列x(n)按n值前后對半分為2個序列。（ û ）的奇偶10. 序列x(n)的N點DFT為X(k)，則序列x*(n)的DFT變換為X*(N-k)。 （ û ），且X(N)=X(0)11. 因果穩(wěn)定的LTI時域離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)所有零點都必須在單位圓內(nèi)。 （ û ）極點三、計算題（本大題共6小題，共42分）12.已知序列，試計算循環(huán)卷積，且循環(huán)卷積區(qū)間長度L=4。（

3、6分）解：求x(n)和h(n)的DFT： 求X(k)與H(k)的乘積： 求Y(k)的反變換得： 2 3 41-1 0-2-1-11211nx(n)13. 若序列x(n)波形如下，且x(n)的FT變換為X(ejw)，不直接求X(ejw)，完成下列運算：求 (1) X(ejp) = ？ （2）（8分）解：（1） （2）由帕斯維爾定理，有 14. 用微處理機對實序列作譜分析，要求譜分辨率F£100Hz，信號最高頻率為4kHz，試確定以下各參數(shù)：(1)最小記錄時間TPmin；(2)最大取樣間隔Tmax；(3)最少采樣點數(shù)Nmin；(4)若信號頻帶不變，采用基2FFT做譜分析，求使譜分辨率提高

4、1倍的N值。（8分）解：(1)已知最大譜分辨率F=100Hz，所以(2)(3)(4)頻帶不變，則取樣率不變，分辨率提高1倍，則要求最小記錄時間擴大1倍，此時有：采用基2FFT做譜分析，由于128=27<160<256=28,所以N應取256。15.若某計算機實現(xiàn)復數(shù)乘法平均需要4ms，實現(xiàn)復數(shù)加法平均需要1ms，分別用直接計算和基2FFT計算N = 1024點復數(shù)信號x(n)的N點DFT X(k)時，若只考慮乘法和加法運算，所需要的運算時間各是多少？ （6分）解：直接計算所需運算量：復乘法次數(shù)N2次，復加法次數(shù)為N(N-1)次；基2FFT所需運算量：復乘法次數(shù)次，復加法次數(shù)為次。因

5、此，直接計算所需運算時間為：基2FFT計算所需運算量：16.已知某模擬系統(tǒng)，采樣間隔T=2s，試用脈沖響應不變法將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，求該數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。（8分）解：由因式分解可得：即：，因為T=2，所以有：17. 已知序列x(n)長度為N，X(k)=DFTx(n)，Y(k)為2N點y(n)的DFT值，試用X(k)表示Y(k)。（6分）解：由DFT定義有： 五、畫結構圖題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）18.已知IIR系統(tǒng)為：，試： (1) 確定系統(tǒng)的零、極點；（2）畫出該系統(tǒng)的直接型網(wǎng)絡結構圖（II型）；（3）畫出系統(tǒng)的級聯(lián)型網(wǎng)絡結構圖。解：（1）由差分方程有：方程兩端求Z

6、變換：系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)零點z1=2，z2=1；系統(tǒng)函數(shù)極點：（2）系統(tǒng)直接型結構流圖如下圖所示：x(n)y(n)-3z-15/6z-12-1/6系統(tǒng)函數(shù)可以寫作：由此可以畫出系統(tǒng)的一種級聯(lián)型結構流圖如下圖所示：x(n)y(n)z-1-21/31/2-1z-119. 已知FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)為，求：(1) 該濾波器的h(n)及階數(shù)N；(2) 判斷系統(tǒng)是否具有線性相位，若是線性相位，求出相位函數(shù)和畫出線性相位網(wǎng)絡結構圖；若不是線性相位，畫出直接型網(wǎng)絡結構圖。解：（1）對H(z)求Z反變換可得：濾波器階數(shù)N=7（2）因為h(n)=-h(N-n-1)，而且h(n)為實數(shù)，所以該FIR濾波器是第二類

7、線性相位。相位函數(shù)為：濾波器線性相位結構流圖如下：z-1z-1z-1x(n)-1-1-1z-1z-1z-10.8-1.5y(n)六、證明題（本大題共1小題，每小題7分，共7分）20. 若x(n)為實序列，且x(n)= x(N-n)，已知X(k)DFTx(n)N，證明：X(k)為實偶對稱序列，即證明X(k)=X(N-k) 且X(k)為實序列。解1：x(n)可寫作x(n)=xep(n)+xop(n)，由x(n)= x(N-n)知，xop(n)=0，即x(n)=xep(n)；從而，由DFT的共軛對稱性， DFTxep(n)=ReX(k)，即X(k)為實序列。由X(k)為實序列，即有X(k)=X*(N

8、-k)= X(N-k)。解2：因為： k=0，1，N-1由于x（n）是關于N的實偶序列，而是關于N的奇序列，所以有：亦即：為實序列；又有：七、設計題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）21. 用窗函數(shù)法設計一個FIR線性相位低通濾波器，要求阻帶最小衰減為40dB，過渡帶寬度為400Hz，采樣頻率為4kHz，確定設計要求濾波器的窗函數(shù)類型和長度；并構造逼近的頻率響應函數(shù)。附：常用窗函數(shù)的基本參數(shù)：窗函數(shù)類型旁瓣峰值 an/dB過渡帶寬度Bt阻帶最小衰減as/dB矩形窗131.8p / N21三角窗256.1p / N25漢寧窗316.2p / N44哈明窗416.6p / N53

9、布萊克曼窗5711p / N74解：由題知由阻帶最小衰減為40dB和滿足指標條件下N最小的原則，濾波器窗函數(shù)應選擇漢寧窗， 由附表可求得濾波器單位脈沖響應長度：設該FIR低通濾波器的通帶截止頻率為wc，由濾波器階數(shù)N=31知，該濾波器群延時為：容易構造此濾波器所逼近的理想頻率響應函數(shù)為：22. 用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器，要求通帶頻率低于0.25p時，容許幅度差在2dB之內(nèi)，頻率在0.6p到p之間阻帶衰減大于15dB，試采用巴特沃斯原型濾波器進行設計，采樣間隔T=1s。附：已知歸一化低通巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)為：N1時， ； N2時， ；N3時，巴特沃斯模擬濾波器階數(shù)N計算公式為： ；解：（1）將數(shù)字濾波器指標轉(zhuǎn)換為相應的模擬濾波器指標（含預畸變）， ,（2）計算模擬濾波器階數(shù)N 取N=2（3）由給出的歸一化原型巴特沃思低通濾波器傳遞函數(shù)可得所設計的模擬濾波器歸一化傳遞函數(shù)為：（4）求出3dB頻率：由教材知（p158）：若選取Wc=1.1702rad/s，則阻帶指標剛好滿足要求，通帶指標有富余，若選取Wc=0.9472rad/s，則通帶指標剛好滿足