微分中值定理的證明題

1、微分中值定理的證明題1.若 f ( x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a,b) 上可導， f (a)f (b)0 ，證明：R ，(a,b) 使得： f()f ()0 。證：構(gòu)造函數(shù) F ( x)f ( x) e x ，則 F ( x) 在 a,b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導，且 F (a) F (b) 0 ，由羅爾中值定理知：（ a,b) ，使 F ( ) 0即： f ()f ()e0 ，而 e0 ，故 f( )f ( ) 0 。2.設(shè) a,b 0 ，證明：( a, b)，使得 aebbea(1)e (a b) 。1111111 )證：將上等式變形得： 1 eb1 ea(1)e ( 1b

2、aba11 , 1 上連續(xù)，在 (1 ,1 ) 內(nèi)可導，作輔助函數(shù) f (x) xex ，則 f (x) 在 b aba由拉格朗日定理得：f ( 1)f ( 1 )1111ba，11f ()( ,)baba1 eb1 ea11(1,1) ，即 ba(11 )e111b aba即： aebbea(1)e (ab)(a, b) 。3.設(shè) f ( x) 在 (0,1) 內(nèi)有二階導數(shù)，且f (1)0 ，有 F (x)x2 f (x) 證明：在 (0,1)內(nèi)至少存在一點，使得：F( )0。證：顯然F ( x)在 0,1上連續(xù)，在 (0,1) 內(nèi)可導，又 F (0)F (1)0 ，故由羅爾定理知：x0(0

3、,1)，使得F (x0 )0又F ( x)2xf ( x)x2 f( x) ，故 F (0)0 ， 于是 F (x) 在 0， x0 上滿足羅爾定理條件，故存在(0, x0 ) ， 使得： F ( )0 ，而(0, x0 )(0,1) ，即證4.設(shè)函數(shù) f (x) 在 0,1上連續(xù)，在 (0,1) 上可導， f (0)0 ， f (1)1 . 證明：(1) 在(0,1) 內(nèi)存在 ，使得 f ( ) 1 (2)在(0,1) 內(nèi)存在兩個不同的點， 使得 f / () f / ( )1【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一

4、部分已得結(jié)論.【證明】 （I ） 令 F ( x) f ( x) 1x ，則 F(x) 在0 ，1 上連續(xù)，且 F(0)=-1<0,F(1)=1>0, 于是由介值定理知，存在(0,1),使得 F()0 ，即 f ( )1.（II ）在 0, 和 ,1 上對 f(x) 分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在兩個不同的點( 0,),( ,1) ，使得 f ()f ( )f ( 0) ， f( )f (1) f ()01于是，由問題（ 1）的結(jié)論有f () 1f ( )11.f ( ) f ( )115.設(shè) f ( x) 在0 ， 2a 上連續(xù)， f ( 0)f (2a) ，證明在 0,a 上存

5、在使得f ( a) f () .【分析】 f (x) 在0,2a上連續(xù)，條件中沒有涉及導數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到f (a)f ( )f (a)f ( )0f ( ax)f ( x)0【證明】令 G ( x)f (ax)f (x) ， x0, a G ( x) 在0,a上連續(xù)，且G(a)f (2a)f ( a)f (0)f (a)G( 0)f (a)f (0)當 f (a)f (0) 時，取0 ，即有 f (a)f ( ) ；當 f (a)f (0) 時， G(0)G( a)0 ，由根的存在性定理知存在(0, a) 使得，G ( )0 ，即 f (a)f (

6、) 6. 若f ( x)在 0,1上可導，且當x 0,1時有，且f ( x) 1，證明：0 f (x) 1在 (0,1)內(nèi)有且僅有一個點使得 f ( )證明：存在性構(gòu)造輔助函數(shù) F (x)f (x)x則 F ( x) 在 0,1上連續(xù)，且有F (0)f (0)00 ，F(xiàn) (1)f (1)10 ，由零點定理可知：F ( x)在(0,1)內(nèi)至少存在一點，使得F ()0 ，即：f ( )唯一性：（反證法）假設(shè)有兩個點1, 2 (0,1) ，且 12，使得 F( 1) F( 2) 0F ( x) 在 0,1上連續(xù)且可導，且 1 , 2 0,1F (x) 在 1 , 2 上滿足 Rolle 定理條件必存

7、在一點( 1, 2) ，使得： F( )f ( )10即： f( ) 1，這與已知中 f (x)1矛盾假設(shè)不成立，即： F ( x)f (x) x 在 (0,1) 內(nèi)僅有一個根，綜上所述：在(0,1) 內(nèi)有且僅有一個點，使得 f ()7. 設(shè)f ( x)在0 ，1 上連續(xù)，在 (0 ，1) 內(nèi)可導，且f (0)=f (1)=0，1)。試f (2=1證至少存在一個(0 ，1) ，使 f( x ) =1。分析： f ' ( ) =1f '( x) =1f (x) =xf (x) x =0令 F ( x )=f ( x)x證明：令 F( x )= f ( x)xF ( x ) 在0

8、， 1 上連續(xù)，在 (0 ，1) 內(nèi)可導，F(xiàn) (1)=f (1)11 0(f (1)0)F(1)=f ( 1 )110( f ( 1) 1)22222由介值定理可知，一個( 1，1) ，使2F ()=0又 F (0)=f (0)0=0對 F ( x ) 在 0 ，1 上用 Rolle 定理， 一個(0， )(0 ，1) 使F ' ( ) =0 即 f ' () =18.設(shè) f ( x) 在 0,1上連續(xù)，在 (0,1)內(nèi)可導，且 f (0)f (1) 試證存在和 .滿足01，使 f ( ) f ( )0 。證 由拉格朗日中值定理知，f ( 1 )f (0)1)2f()(0,10

9、22f (1)f ( 1 )12f()1(,1)122f ( 1 ) f ( 0)f (1)f ( 1 )f( )f ()22011229.設(shè) f (x) 在 a,b 上連續(xù) , (a, b) 內(nèi)可導 (0 ab),f (a)f (b),證明 :,(a, b) 使得f (ab( ).)f2(1)證 :( 用 (ba) 乘于 (1) 式兩端 , 知 )(1)式等價于f ( ) (b a)f ( ) (b2a2 ).12(2)為證此式 , 只要取 F ( x)f (x), 取 G ( x)x 和 x2 在 a,b 上分別應(yīng)用Cauchy 中值定理 ,則知f (b) f (a)f ( ) g(b a

10、)f ( ) (b2a 2 ),12其中,(a, b) .10.已知函數(shù) f ( x) 在 0,1上連續(xù)，在（ 0 ，1）內(nèi)可導， 0ab ，證明存在 ,(a, b) ，使 3 2 f / ( ) (a 2ab b2 ) f / ( )解：利用柯西中值定理f /()f (b)f (a)32b3a3而( )f(a)f/ ()(ba)則f bf / ()f (b)f (a)f /()(b a)f /()（后面略）32b3a3b3a3a2ab2b11.設(shè) f (x) 在 xa 時連續(xù)， f ( a)0 ，當 xa 時， f /(x)k0 ，則在 (a,af (a) )k內(nèi) f (x)0有唯一的實根解

11、：因為 f / ( x)k0 ，則 f ( x) 在 ( a, af (a) 上單調(diào)增加kf (af (a) )f ( a)f /()f (a)f (a)1f / () 0 （中值定理）kkk而 f (a)0故在 (a, af ( a) ) 內(nèi) f ( x)0 有唯一的實根k12.t2sin1t0 在 0, x 上應(yīng)用拉試問如下推論過程是否正確。對函數(shù)f (t)t0t0格朗日中值定理得：f ( x)x2 sin 10111f (0)xx sinf ( ) 2cos(0x)x0x 0xsin即： cos111(0x)2sinx sinx因 0x ，故當 x0 時，0，由 lim 2sin 10l

12、im x sin100x 0x得： limcos 10 ，即 lim cos 10x00解：我們已經(jīng)知道，lim cos 10 不存在，故以上推理過程錯誤。0首先應(yīng)注意：上面應(yīng)用拉格朗日中值的是個中值點，是由 f端點而定的，具體地說，與 x 有關(guān)系，是依賴于x 的，當和區(qū)間 0, x 的x0時，不一定連續(xù)地趨于零， 它可以跳躍地取某些值趨于零，從而使 lim cos 10 成x0立，而lim cos 10 中要求是連續(xù)地趨于零。故由lim cos 10 推不出0x0lim cos 10013.證明： 0 x成立 xtgxx。2cos2x證明：作輔助函數(shù) f ( x)tgx ，則 f ( x)

13、在 0, x 上連續(xù)，在 (0, x) 內(nèi)可導，由拉格朗日定理知：f ( x)f (0) tgx1(0, x)x0f ( )cos2x即：tgxx，因 cos x 在 (0,) 內(nèi)單調(diào)遞減，故1在(0, )cos2cos2 x22內(nèi)單調(diào)遞增，故111即： xxxcos2 0cos2cos2cos2cos2 xx即： xtgx1。cos2x注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù) f ( x) 及相應(yīng)的區(qū)間 a, b ，然后驗證條件，利用定理得f (b) f (a)f ( )(ba)(a,b) ，再根據(jù) f (x) 在 (a, b) 內(nèi)符號或單調(diào)證明不等式。14.證明

14、：當 0 x時， sin xtgx2x 。2證明：作輔助函數(shù)( x) sin xtgx2xx (0,)2則 ( x)cos xsec2 x2cosx12cos2xcos2x21cos2 x(cosx1)2cosx0故 ( x) 在 (0, ) 上單調(diào)遞減，又因(0)0 ， ( x) 在 (0,) 上連續(xù)，22故( x)(0)=0，即： sin x tgx2x0 ，即： sin xtgx2x 。注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之一， 欲證當 xI時 f ( x)g( x) ，常用輔助函數(shù)(x) f ( x)g( x) ，則將問題轉(zhuǎn)化證 ( x)0，然后在 I 上討論 ( x) 的單調(diào)性，進而完成證明。15. 證明：若 f (x) 二階可導，且 f( x)0 ， f (0)0 ，則 F (x)f (x) 在x(0,) 內(nèi)單調(diào)遞增。證明：因 F (x)xf ( x