彈性力學(xué)第二章 應(yīng)力理論

1、編輯編輯pptppt彈性力學(xué)Theory of Elasticity陶嗣巍陶嗣巍北京吉利大學(xué)汽車學(xué)院北京吉利大學(xué)汽車學(xué)院編輯編輯pptppt應(yīng)力理論Chapter 3 外力、內(nèi)力與應(yīng)力 柯西公式 主應(yīng)力與應(yīng)力不變量 最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力 平衡微分方程編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1 外 力編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1 外 力n 體體 力力即分布在物體體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為即分布在物體體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力、運(yùn)轉(zhuǎn)零件的慣性力等。質(zhì)量力。例如物體的重力、運(yùn)轉(zhuǎn)零件的慣性力等。n 面面 力力即作用在物

2、體表面上的力，例如作用在飛機(jī)機(jī)翼即作用在物體表面上的力，例如作用在飛機(jī)機(jī)翼上的空氣動(dòng)力、水壩所受的水壓力等。上的空氣動(dòng)力、水壩所受的水壓力等。編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1 定定 義義 式式體力：體力：0limVV Ff110limVFfV 220limVFfV 330limVFfV 0limiiVFfV 編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1 定定 義義 式式0limSS PX面力：面力：0limiiSPXS 編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1 內(nèi) 力物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一物體內(nèi)部各個(gè)部分之

3、間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內(nèi)力。部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內(nèi)力。內(nèi)力也是分布力，它起著平衡外力和傳遞外力的作用，內(nèi)力也是分布力，它起著平衡外力和傳遞外力的作用，是變形體力學(xué)研究的重要對(duì)象之一。應(yīng)力的概念正是是變形體力學(xué)研究的重要對(duì)象之一。應(yīng)力的概念正是為了精確描述內(nèi)力而引進(jìn)的。為了精確描述內(nèi)力而引進(jìn)的。編輯編輯pptpptS 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1 應(yīng) 力 應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1( )0limSS F 若取若取 為變形前面元的初始面積，則上式給出為變形前面元的初始面積，則上式給出工程工

4、程應(yīng)力應(yīng)力，亦稱，亦稱名義應(yīng)力名義應(yīng)力，常用于小變形情況。，常用于小變形情況。對(duì)于大變形問(wèn)題，應(yīng)取對(duì)于大變形問(wèn)題，應(yīng)取 為變形后面元的實(shí)際面積，為變形后面元的實(shí)際面積，稱稱真實(shí)應(yīng)力真實(shí)應(yīng)力，簡(jiǎn)稱真應(yīng)力，簡(jiǎn)稱真應(yīng)力, 也稱也稱柯西應(yīng)力柯西應(yīng)力。SSS應(yīng)力矢量：應(yīng)力矢量：編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1應(yīng)力的定義應(yīng)力的定義編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1 應(yīng)力矢量的大小和方向不僅和應(yīng)力矢量的大小和方向不僅和 M 點(diǎn)的位置有關(guān)，而點(diǎn)的位置有關(guān)，而且和面元法線方向且和面元法線方向 有關(guān)。有關(guān)。編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力 作用在同一點(diǎn)不

5、同法向面元上的應(yīng)力矢量各不相同，作用在同一點(diǎn)不同法向面元上的應(yīng)力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通過(guò)同一點(diǎn)且法線方反之，不同曲面上的面元，只要通過(guò)同一點(diǎn)且法線方向相同，則應(yīng)力矢量也相同。向相同，則應(yīng)力矢量也相同。編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1( )00limlimiiSiiSFSPXS 應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量和和 面力矢量面力矢量的數(shù)的數(shù)學(xué)定義和物理量綱都相同。學(xué)定義和物理量綱都相同。區(qū)別在于：應(yīng)力是作用在物體內(nèi)界面上的區(qū)別在于：應(yīng)力是作用在物體內(nèi)界面上的未知內(nèi)力未知內(nèi)力，而面力是作用在物體外表面的而面力是作用在物體外表面的已知外力已知外力。當(dāng)內(nèi)截面無(wú)。當(dāng)內(nèi)截

6、面無(wú)限趨近于外表面時(shí)，應(yīng)力也趨近于外加面力之值。限趨近于外表面時(shí)，應(yīng)力也趨近于外加面力之值。編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1正六面體微元正六面體微元: 外法線與外法線與坐標(biāo)軸同向的三個(gè)面稱坐標(biāo)軸同向的三個(gè)面稱為為正面正面，記為，記為dSi，它們它們的單位法向矢量為的單位法向矢量為 iei， ei是是沿坐標(biāo)軸的單位矢量；沿坐標(biāo)軸的單位矢量；另三個(gè)外法線與坐標(biāo)軸另三個(gè)外法線與坐標(biāo)軸反向的面元稱為反向的面元稱為負(fù)面負(fù)面。yzxo編輯編輯pptpptyzxo 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1yxyyyz( ) 編輯編輯pptpptyzxo 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapte

7、r 3.1xxxyxzxxxyxzzxzyzzzxzyzzyxyyyzyxyyyz應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1yzxoxxxyxzyxyyyzzxzyzz應(yīng)力分量的個(gè)數(shù)編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1x2 22x1 11 31e2e3 e1x3 33 32 13 23 21 12編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1把作用在正面把作用在正面dSi上的應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)軸正向分解得：上的應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)軸正向分解得：即：即：(1)11 112213 31(2)21 122223 32(3)31 132

8、233 33jjjjjjeeeeeeeeeeee ( ) iijje x2 22x1 11 31e2e3e1x3 33 32 13 23 21 12編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1(1)11 112213 31(2)21 122223 32(3)31 132233 33 jjjjjj eeeeeeeeeeee共出現(xiàn)九個(gè)應(yīng)力分量：共出現(xiàn)九個(gè)應(yīng)力分量：111213212223313233()ij編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1111213212223313233()ij 第一指標(biāo)第一指標(biāo)i表示面元的法線方向，稱表示面元的法線方向，稱面元指標(biāo)面

9、元指標(biāo)；第；第二指標(biāo)二指標(biāo)j表示應(yīng)力的分解方向，稱表示應(yīng)力的分解方向，稱方向指標(biāo)方向指標(biāo)。 當(dāng)當(dāng)ij時(shí)，應(yīng)力分量垂直于面元，稱為時(shí)，應(yīng)力分量垂直于面元，稱為正應(yīng)力正應(yīng)力。當(dāng)。當(dāng)ij 時(shí)，應(yīng)力分量作用在面元平面內(nèi)，稱為時(shí)，應(yīng)力分量作用在面元平面內(nèi)，稱為剪應(yīng)力剪應(yīng)力。編輯編輯pptppt 外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter 3.1x2 22x1 11 31e2e3e1x3 33 32 13 23 21 12方向規(guī)定：正面上與坐標(biāo)軸同向或負(fù)面上與坐方向規(guī)定：正面上與坐標(biāo)軸同向或負(fù)面上與坐標(biāo)軸反向?yàn)檎Ｒ嗉礃?biāo)軸反向?yàn)檎?。亦?“受拉為正，受壓為負(fù)受拉為正，受壓為負(fù)”。編輯編輯pptppt應(yīng)力理論Chapt

10、er 3 外力、內(nèi)力與應(yīng)力 柯西公式 主應(yīng)力與應(yīng)力不變量 最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力 平衡微分方程編輯編輯pptpptChapter 3.2柯西公式x1x3x2 四面體四面體OABC，由三個(gè)負(fù)，由三個(gè)負(fù)面和一個(gè)法向矢量為面和一個(gè)法向矢量為的斜截面組成，其中的斜截面組成，其中為為 方向的方向余弦。方向的方向余弦。1 1223 3iieeee cos( ,)iiiee斜截面上的應(yīng)力編輯編輯pptpptChapter 3.2斜截面上的應(yīng)力x1x3x2111213212223313233( )? 柯西公式編輯編輯pptpptChapter 3.2 柯西公式 柯西公式編輯編輯pptpptChapter 3

11、.2 的面積為的面積為dS, 則三個(gè)負(fù)面的面積分別為則三個(gè)負(fù)面的面積分別為ABC111222333dd()ddd()ddd()dSOBCSSSOCASSSOABSS eee 斜截面的面元矢量為：斜截面的面元矢量為：1 1223 3ddddSSSS eee柯西公式編輯編輯pptpptChapter 3.2四面體的體積為：四面體的體積為：dh為頂點(diǎn)為頂點(diǎn) O 到斜面到斜面的垂直距離的垂直距離13d dVh S 柯西公式編輯編輯pptpptChapter 3.2四面體上作用力的平衡條件是：四面體上作用力的平衡條件是：(1)1(2)2(3)3( )ddd1d( d d )03SSSSfhS 第五項(xiàng)是體

12、力的合力，由于第五項(xiàng)是體力的合力，由于dh是小量，故體力項(xiàng)可以是小量，故體力項(xiàng)可以略去?？傻茫郝匀??？傻茫? )1(1)2(2)3(3)1(1)2(2)3(3)()()() ()eeeeee 柯西公式編輯編輯pptpptChapter 3.2( )112233()()jjjjjjijijeeeeeee e 根據(jù)商判則，知根據(jù)商判則，知 必是一個(gè)二階張量，于是定義必是一個(gè)二階張量，于是定義應(yīng)力張量應(yīng)力張量ijije eijije e 柯西公式編輯編輯pptppt這就是著名的這就是著名的柯西公式柯西公式，又稱，又稱斜面應(yīng)力公式斜面應(yīng)力公式。Chapter 3.2( )()ijije e 柯西公式編

13、輯編輯pptpptChapter 3.2( ) 把斜面應(yīng)力沿坐標(biāo)軸方向分解：把斜面應(yīng)力沿坐標(biāo)軸方向分解：則柯西公式的分量表達(dá)式為則柯西公式的分量表達(dá)式為( )( )1 1( )22( )3 3( ) jjeeee ( ) jiij ( )1111221331( )2112222332( )3113223333 即即柯西公式編輯編輯pptpptChapter 3.2 柯西公式應(yīng)用計(jì)算斜截面上的應(yīng)力柯西公式應(yīng)用計(jì)算斜截面上的應(yīng)力斜面上應(yīng)力的大小斜面上應(yīng)力的大小( )1( )2( )3( )( )222( )1/21/2 iilikkil 柯西公式編輯編輯pptpptChapter 3.2 柯西公式

14、應(yīng)用計(jì)算斜截面上的應(yīng)力柯西公式應(yīng)用計(jì)算斜截面上的應(yīng)力斜面上應(yīng)力的方向斜面上應(yīng)力的方向即即( ) n( )1( )2( )1( )2( )3( )3cos, ; cos,cos,eee 柯西公式編輯編輯pptpptChapter 3.2斜面正應(yīng)力斜面正應(yīng)力斜面剪應(yīng)力斜面剪應(yīng)力( )n22n 柯西公式應(yīng)用計(jì)算斜截面上的應(yīng)力柯西公式應(yīng)用計(jì)算斜截面上的應(yīng)力柯西公式( )=nijij 編輯編輯pptpptChapter 3.2 若斜面是物體的邊界面，則柯西公式可用作未知應(yīng)若斜面是物體的邊界面，則柯西公式可用作未知應(yīng)力場(chǎng)的力邊界條件力場(chǎng)的力邊界條件：其中其中pj是面力是面力p沿坐標(biāo)軸方向的分量，通常記為沿

15、坐標(biāo)軸方向的分量，通常記為xxyzxyxyzyxzyzzXlmnYlmnZlmnjiijp 寫(xiě)成指標(biāo)符號(hào)寫(xiě)成指標(biāo)符號(hào), ,X Y Z 柯西公式應(yīng)用給定應(yīng)力邊界條件柯西公式應(yīng)用給定應(yīng)力邊界條件柯西公式編輯編輯pptppt應(yīng)力理論 外力、內(nèi)力與應(yīng)力 柯西公式 主應(yīng)力與應(yīng)力不變量 最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力 平衡微分方程編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量x1x3x2111213212223313233( ) 編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量 概 念 切應(yīng)力為零的微分面稱為切應(yīng)力為零的微分面稱為主微分平面主微分平面，簡(jiǎn)稱，

16、簡(jiǎn)稱主平面主平面。 主平面的法線稱為主平面的法線稱為應(yīng)力主軸，應(yīng)力主軸，或者稱為或者稱為應(yīng)力主方向應(yīng)力主方向。 主平面上的正應(yīng)力稱為主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力主應(yīng)力。編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量 主應(yīng)力和應(yīng)力不變量假設(shè)存在主平面假設(shè)存在主平面BCD，其法線方向?yàn)椋浞ň€方向?yàn)閚(l,m,n)，截面上截面上的總應(yīng)力的總應(yīng)力 pn ，亦即亦即n方向截面上剪應(yīng)力為零。方向截面上剪應(yīng)力為零。則截面上總應(yīng)力則截面上總應(yīng)力pn在坐標(biāo)軸方向的分量可以表示為在坐標(biāo)軸方向的分量可以表示為nxnynzplpmpn編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 &a

17、mp; 應(yīng)力不變量對(duì)斜面對(duì)斜面BCD運(yùn)用柯西公式，可得：運(yùn)用柯西公式，可得：由由剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理可得：可得：nxxyxzxnyxyyzynzxzyzzplmnplmnplmnnxxxyxznyxyyyznzxzyzzplmnplmnplmn編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量(1) nxxxyxznyxyyyznzxzyzzplmnplmnplmn(2) nxnynzplpmpn由由(1)(1)和和(2)(2)式得：式得：000 xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力

18、不變量由于由于 ，所以要有非零解，則上述三，所以要有非零解，則上述三個(gè)方程必須是線性相關(guān)的，亦即系數(shù)行列式為零：個(gè)方程必須是線性相關(guān)的，亦即系數(shù)行列式為零：2221lmn000 xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn0 xxyxzxyyyzxzyzz編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量0 xxyxzxyyyzxzyzz展開(kāi)行列式得到展開(kāi)行列式得到應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)的的特征方程特征方程： 式中式中321230III1112233xyziiI編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量31232222xxyzxxyyyzi

19、jkijkzxyzzxyzxyyzzxxyzyzxzxyIe 2222211122xxyyyzzzxxyyyzzzxxxyyzzxxyyzzxiijjijijijijII 編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量321230III求解應(yīng)力狀態(tài)的特征方程，可以得到求解應(yīng)力狀態(tài)的特征方程，可以得到三個(gè)實(shí)根三個(gè)實(shí)根： 1，2，3，即為該點(diǎn)的三個(gè)即為該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力主應(yīng)力。編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量若將一個(gè)根代入如下方程組：若將一個(gè)根代入如下方程組：可以順次求出相應(yīng)于可以順次求出相應(yīng)于1，2和和3的三個(gè)主方向：的三個(gè)主方

20、向：2220001xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmnlmn 111222333 , , , , , , , , lmnlmnlmn編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量 I1、I2和和 I3是三個(gè)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的標(biāo)量，稱為應(yīng)是三個(gè)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的標(biāo)量，稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三力張量的第一、第二和第三不變量不變量。它們是相互獨(dú)立。它們是相互獨(dú)立的。的。321230III 通常主應(yīng)力按其通常主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小代數(shù)值的大小排列，稱為第一主排列，稱為第一主應(yīng)力應(yīng)力1、第二主應(yīng)力、第二主應(yīng)力2和第三主應(yīng)力和第三主應(yīng)力3 ，且，且 123編輯編輯

21、pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量 主應(yīng)力的性質(zhì) 不變性不變性 由于特征方程的三個(gè)系數(shù)是不變量，所以作為特由于特征方程的三個(gè)系數(shù)是不變量，所以作為特征根的主應(yīng)力及相應(yīng)主方向都是不變量。征根的主應(yīng)力及相應(yīng)主方向都是不變量。 實(shí)數(shù)性實(shí)數(shù)性 即特征方程的根永遠(yuǎn)是實(shí)數(shù)。即特征方程的根永遠(yuǎn)是實(shí)數(shù)。321230III123, 123, 編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量 極值性極值性主應(yīng)力主應(yīng)力1和和3是一點(diǎn)正應(yīng)力的最大值和最小值。是一點(diǎn)正應(yīng)力的最大值和最小值。在主坐標(biāo)系中，任意斜截面上正應(yīng)力的表達(dá)式：在主坐標(biāo)系中，任意斜截面上正應(yīng)力

22、的表達(dá)式：=nijij 222112233 = 2211222331 =()() 2213123233 =()() 編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量正交性正交性 特征方程無(wú)重根特征方程無(wú)重根時(shí)，三個(gè)主應(yīng)力必兩兩正交；時(shí)，三個(gè)主應(yīng)力必兩兩正交； 特征方程有一對(duì)重根特征方程有一對(duì)重根時(shí)，在兩個(gè)相同主應(yīng)力的作時(shí)，在兩個(gè)相同主應(yīng)力的作用平面內(nèi)呈現(xiàn)雙向等拉用平面內(nèi)呈現(xiàn)雙向等拉( (或等壓或等壓) )狀態(tài)，可在面內(nèi)狀態(tài)，可在面內(nèi)任選兩個(gè)相互正交的方向作為主方向；任選兩個(gè)相互正交的方向作為主方向； 特征方程出現(xiàn)三重根特征方程出現(xiàn)三重根時(shí)，空間任意三個(gè)相互正交時(shí)，空間

23、任意三個(gè)相互正交的方向都可作為主方向。的方向都可作為主方向。編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量 在任意一點(diǎn)，都能找到一組三個(gè)相互正交的主方向，在任意一點(diǎn)，都能找到一組三個(gè)相互正交的主方向，沿每點(diǎn)主方向的直線稱為該點(diǎn)的沿每點(diǎn)主方向的直線稱為該點(diǎn)的主軸主軸。 處處與主方向相切的曲線稱為處處與主方向相切的曲線稱為主應(yīng)力跡線主應(yīng)力跡線。 以主應(yīng)力跡線為坐標(biāo)曲線的坐標(biāo)系稱為以主應(yīng)力跡線為坐標(biāo)曲線的坐標(biāo)系稱為主坐標(biāo)系主坐標(biāo)系。在主坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量可以簡(jiǎn)化成對(duì)角型在主坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量可以簡(jiǎn)化成對(duì)角型12300()0000ij 主應(yīng)力坐標(biāo)系主應(yīng)力坐標(biāo)系編輯編輯ppt

24、pptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量在主坐標(biāo)系中，主不變量表示為在主坐標(biāo)系中，主不變量表示為 主應(yīng)力坐標(biāo)系主應(yīng)力坐標(biāo)系112321223313123III 編輯編輯pptppt例：已知受力物體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為（單位：已知受力物體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為（單位：MPa）試求主應(yīng)力分量及主方向余弦。試求主應(yīng)力分量及主方向余弦。解：此點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)張量的矩陣形式為：此點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)張量的矩陣形式為：100,160,140,40,120,0 xyzxyyzzx 100400401601200120140ij 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量編輯編輯pptppt321230III12222

25、22231203640023456000 xyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzxyIII 首先，求出應(yīng)力不變量為首先，求出應(yīng)力不變量為于是，特征方程為于是，特征方程為321203640034560000 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量求解此特征方程，得三個(gè)主應(yīng)力分別為求解此特征方程，得三個(gè)主應(yīng)力分別為321203640034560000123214.688.2182.8 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量2220001xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmnlmn將三個(gè)主應(yīng)力值依次分別代入上式中的任意兩式，將三個(gè)主應(yīng)力值依次分別代入上式中的任意兩式，并利用關(guān)系式并

26、利用關(guān)系式 ，聯(lián)立求解即可得，聯(lián)立求解即可得到三個(gè)主方向的方向余弦。例如為求到三個(gè)主方向的方向余弦。例如為求1的方向余弦，的方向余弦，l1、m1、n1，將將1214.6代入上式的前兩式得代入上式的前兩式得2221lmn 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量編輯編輯pptppt1111122211157.32002027.36001lmlmnlmn1110.3140.9000.305lmn 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量編輯編輯pptppt同樣可得其余兩組方向余弦為：同樣可得其余兩組方向余弦為：主應(yīng)力：主應(yīng)力：主方向方向余弦：主方向方向余弦：1123212321230.3140.9000.3050.9

27、480.282+0.1460.0480.3370.940 eeeeeeeee123214.6, 88.2, 182.8 (0.948, 0.282, 0.146); ( 0.048, 0.337, 0.940) 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量 應(yīng)力偏量將應(yīng)力張量分解成球形張量和偏斜張量將應(yīng)力張量分解成球形張量和偏斜張量其中其中球形應(yīng)力張量：球形應(yīng)力張量：0I00000000100 300ijijkk 00ijijIe e編輯編輯pptpptChapter 3.3 主應(yīng)力 & 應(yīng)力不變量應(yīng)力偏量應(yīng)力偏量ijije

28、e 1101213021220233132330ijijij 0kk 編輯編輯pptppt應(yīng)力理論Chapter 3 外力、內(nèi)力與應(yīng)力 柯西公式 應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式 主應(yīng)力與應(yīng)力不變量 最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力 平衡微分方程編輯編輯pptpptChapter 3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力 最大剪應(yīng)力xo1x3x2231n編輯編輯pptpptChapter 3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力 最大剪應(yīng)力 在主應(yīng)力坐標(biāo)系中：在主應(yīng)力坐標(biāo)系中：約束條件：約束條件：11122233322222222211223322221 122332222222()iiniiniiii eee2221231

29、0f 編輯編輯pptpptChapter 3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力引進(jìn)拉格朗日乘子引進(jìn)拉格朗日乘子 ，求泛函，求泛函 的極值。的極值。 相應(yīng)極值條件為相應(yīng)極值條件為于是，可得如下方程組于是，可得如下方程組2( , )if F200iiiFfFf編輯編輯pptpptChapter 3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力22221111 1223322222221 1223322223331 1223322212320202010 可解出三個(gè)法線方向可解出三個(gè)法線方向 ，分別代入下式便可得到三個(gè)，分別代入下式便可得到三個(gè)剪應(yīng)力的極值，其中的最大者就是剪應(yīng)力的極值，其中的最大者就是最大

30、剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力。222222niiii i編輯編輯pptpptChapter 3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力剪應(yīng)力的三個(gè)極值：剪應(yīng)力的三個(gè)極值：(1)23(2)13(3)121()21()21()2方向：與對(duì)應(yīng)的兩個(gè)主應(yīng)力夾角為方向：與對(duì)應(yīng)的兩個(gè)主應(yīng)力夾角為 45 。O編輯編輯pptpptxo1x3x2Chapter 3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力 正八面體123111 ; ; 333 1231 ()3 eee1231 ()3 eee編輯編輯pptpptChapter 3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力 八面體剪應(yīng)力123111 ; ; 333 xo1x3x21231 (

31、)3 eee231編輯編輯pptpptChapter 3.4最大剪應(yīng)力&八面體剪應(yīng)力 八面體剪應(yīng)力八面體正應(yīng)力八面體正應(yīng)力0為為20123111()33iiI2222222123111 ; ; 333niiii 由由可得可得八面體剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力0 為為2220122331222(1)(2)(3)1()()()323編輯編輯pptppt應(yīng)力理論Chapter 3 外力、內(nèi)力與應(yīng)力 柯西公式與應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式 主應(yīng)力與應(yīng)力不變量 最大剪應(yīng)力，八面體剪應(yīng)力 平衡微分方程編輯編輯pptpptChapter 3.5平衡微分方程 笛卡爾坐標(biāo)系中的平衡微分方程 考慮物體中考慮物體中A(x,y,z)點(diǎn)

32、，其應(yīng)力狀態(tài)用直角坐標(biāo)表示點(diǎn)，其應(yīng)力狀態(tài)用直角坐標(biāo)表示如下如下(如圖標(biāo)注如圖標(biāo)注)而臨近一點(diǎn)而臨近一點(diǎn)B(x+dx,y+dy,z+dz)的應(yīng)力狀態(tài)也用直角坐的應(yīng)力狀態(tài)也用直角坐標(biāo)示出，根據(jù)應(yīng)力為位置函數(shù)的概念，將應(yīng)力在附近標(biāo)示出，根據(jù)應(yīng)力為位置函數(shù)的概念，將應(yīng)力在附近展開(kāi)，保留一級(jí)微量連同應(yīng)計(jì)入的增量可得：展開(kāi)，保留一級(jí)微量連同應(yīng)計(jì)入的增量可得：yz( , , ) , ( , , ) , ( , , )( , , ) , ( , , ) ,( , , )xxyzxyxyyzyzzxzxx y zx y zx y zx y zx y zx y z編輯編輯pptpptChapter 3.5平衡微分

33、方程 笛卡爾坐標(biāo)系中的平衡微分方程 應(yīng)力場(chǎng)：應(yīng)力場(chǎng)：( , , ) , ( , , ) , ( , , ), ( , , ) , ( , , ) , ( , , )xxxxyyyyzzzzxyxyyzyzzxzxx y zx y zx y zx y zx y zx y z( , , ) ijijx y z編輯編輯pptpptyzxo dyyyyyy dyxyxyy dyzyzyyyxyyyz編輯編輯pptpptyzxo dzzzzzz dzyzyzz dzxzxzz編輯編輯pptpptyzxo dxxxxxx dxyxyxx dxzxzxx xz xx xy編輯編輯pptpptyzxoxfyf

34、zf編輯編輯pptpptyzxo dxxxxxx dxyxyxx dxzxzxx xz xx xy dzzzzzz dzyzyzz dzxzxzz dyyyyyy dyxyxyy dyzyzyyyxyyyzxfyfzf編輯編輯pptpptyzxo dxxxxxx xx dzxzxzz dyxyxyyyxxf編輯編輯pptpptyzxo dxxxxxx xx dzxzxzz dyxyxyyyxxfdd dd dyxyxyxyxzxzydddddxxxxxxxyzyzxdd dd dzxzxzxzxyxyzd dd0 xfxyz編輯編輯pptpptyzxo dxxxxxx xx dzxzxzz d

35、yxyxyyyxxf0yxxxzxxfxyz編輯編輯pptpptOChapter 3.5平衡微分方程其中X,Y,Z表示單位體積力(與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?圖示正六面體代表通過(guò)圖示正六面體代表通過(guò)A(x,y,z)及及B(x+dx,y+dy,z+dz)兩兩個(gè)點(diǎn)的一個(gè)微體，個(gè)點(diǎn)的一個(gè)微體，A,B點(diǎn)各有三個(gè)正交面。點(diǎn)各有三個(gè)正交面。AB編輯編輯pptpptChapter 3.5平衡微分方程d , d , dxyxxzxxyxzxxxxxxd , d , dyxyyzyxyyzyyyyyyd , d , dzyzxzzxzyzzzzzzz在前微面上在右微面上在上微面上見(jiàn)下頁(yè)圖標(biāo)注編輯編輯pptpptxyzOChapter 3.5平衡微分方程編輯編輯pptpptChapter 3.5平衡微分方程考慮微單元體的力的平衡條件，在x方向的合力為零。0X ddddddd dd ddd dd dd dd0yxxxxyxzxyxzxzxxyzyzyxzxyxzzxyxyXxyzzO編輯編輯pptpptChapter 3.5平衡微分方程ddddddd dd ddd dd dd dd0yxxxxyxzxyxzxzxxyzyzyxzxyxzzxyxyXxyzz化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得0yxxzxXxyz此式即為此式即為x方向的平衡方程式方向的平衡方程式編輯編輯pptpptChapte