材料力學(xué)12能量法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1材料力學(xué)材料力學(xué)12能量法能量法212.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能一、應(yīng)變能一、應(yīng)變能(a) 軸向拉（壓）桿222221lEAEAlNPWU1. 線(xiàn)彈性體線(xiàn)彈性體 （1） 基本變形形式基本變形形式 利用應(yīng)變能 在數(shù)值上等于外力功W，可得UPPP第1頁(yè)/共57頁(yè)32pp2p2e22221lGIGIlMGIlMMWUte (b) 扭轉(zhuǎn)12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第2頁(yè)/共57頁(yè)4(c) 彎曲純彎曲 EIlMEIlMMWU222122xEIxMUld2)(02橫力彎曲12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第3頁(yè)/共57頁(yè)5 可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫(xiě)成PWU21式中

2、，P為廣義力，可以代表一個(gè)力,一個(gè)力偶,一對(duì)力或一對(duì)力偶等。為廣義位移，可以代表一個(gè)線(xiàn)位移,一個(gè)角位移,一對(duì)線(xiàn)位移或一對(duì)角位移等。12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第4頁(yè)/共57頁(yè)6（2） 組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）M(x) 只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角d 小變形時(shí)不計(jì)FQ 產(chǎn)生的應(yīng)變能，dN (x) 只產(chǎn)生軸向線(xiàn)位移dM t(x) 只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第5頁(yè)/共57頁(yè)7對(duì)于dx 微段， N(x) , Mt(x) , M(x) 均為外力。略去高階微量后，dx段的應(yīng)變能為d)(21d)(21d)(21ddxMxMxNWUt

3、EIxxMGIxxMEAxxNt2d)(2d)(2d)(2p22桿的應(yīng)變能為lltllEIxxMGIxxMEAxxNUU2d)(2d)(2d)(d2p2212.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第6頁(yè)/共57頁(yè)8 因?yàn)槭菑椥泽w，所以應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于外力功，即 ，但必須注意 以及 的非線(xiàn)性關(guān)系，不能再用線(xiàn)彈性體的公式計(jì)算外力功。WU P（1） 軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮2. 非線(xiàn)性彈性體非線(xiàn)性彈性體應(yīng)變能為10dPWU（P 曲線(xiàn)和軸之間的面積）應(yīng)變能密度為（ 曲線(xiàn)和 軸之間的面積）10du12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第7頁(yè)/共57頁(yè)9 以上兩式中，分別是以和 為自變量，

4、 ， 。所以 為位移狀態(tài)的函數(shù)。)(fU )( fP)(f 因?yàn)?， 為非線(xiàn)性關(guān)系，上兩式積分后得不到1/2的系數(shù)，只能根據(jù) 或 的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行積分。 P)( fP)(f應(yīng)變能密度 d10tMWUd10u 式中， 為扭轉(zhuǎn)力偶矩， 為扭轉(zhuǎn)角， 為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力， 為 切應(yīng)變。tM注意：注意：（2） 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第8頁(yè)/共57頁(yè)10d10MWUd10u式中， 為外力偶矩， 為彎曲轉(zhuǎn)角， 為正應(yīng)力， 為線(xiàn)應(yīng)變。MVuzyxuUVVdddd應(yīng)變能密度 應(yīng)變能和應(yīng)變能密度之間的關(guān)系為應(yīng)變能和應(yīng)變能密度之間的關(guān)系為式中，V 為體積。（3） 梁梁應(yīng)變能12.1 12

5、.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第9頁(yè)/共57頁(yè)11二、余能、余能 圖 a為非線(xiàn)性體彈性體的受拉桿，其P 和關(guān)系如圖b,c 所示。（1）余功的定義為余功的定義為PWPd10c12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能1PPPdP第10頁(yè)/共57頁(yè)12其大小為曲面OP1a的面積如圖d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量綱，且Wc 為矩形OP1a1 的面積與曲面Oa1 的面積（W）之差（圖d）,故稱(chēng)Wc 為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無(wú)物理概念，即沒(méi)有什么力作的功為Wc 。PP1WcaW1o(d)12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能dPPP1P第11頁(yè)/共57頁(yè)13 余能密度為d10c

6、u 由上述，= f (P ), f ( )。所以Vc= f (P ) 為受力狀態(tài)的函數(shù)。VcVP1 P 1 a(e)o（3）線(xiàn)彈性體（圖）線(xiàn)彈性體（圖e） U和 Uc 數(shù)值相等，但概念和計(jì)算方法不同，即 U f () , Uc = f (P )。仿照 , WU 余能為PWUPd10cc（2）余能）余能VuUVdcc余能為12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第12頁(yè)/共57頁(yè)14B BD D1,1 nkn1P1 1 o例例1 已知兩桿的長(zhǎng)度均為已知兩桿的長(zhǎng)度均為l、橫截面面積均為、橫截面面積均為A、材、材料單軸拉伸時(shí)的料單軸拉伸時(shí)的 -曲線(xiàn)如圖所示。曲線(xiàn)如圖所示。 求：荷載求：荷載 P1

7、作用下的余能作用下的余能 Uc 12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第13頁(yè)/共57頁(yè)15dVuUcc1 B BD D1,1 nkn1P1 o duc)(kn )1()(110011 nKdkdunnnc解：本題已知材料應(yīng)力應(yīng)變間的關(guān)系，故先求單位體積的余能。解：本題已知材料應(yīng)力應(yīng)變間的關(guān)系，故先求單位體積的余能。12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第14頁(yè)/共57頁(yè)16由于軸向拉伸桿內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相同，因此由于軸向拉伸桿內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相同，因此11)cos()1()2()2(nnncVcCPnkAllAudVuU)cos2()1(111APnkunnc AN11 cos2

8、11PN B BD D1P)1(11 nKunnc12.1 12.1 應(yīng)變能與余能應(yīng)變能與余能第15頁(yè)/共57頁(yè)1712.2 12.2 卡氏定理卡氏定理 圖示梁的材料為非線(xiàn)性彈性體，Pi 為廣義力，di為廣義位移。各力同時(shí)作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值（簡(jiǎn)單加載）。iniiiPWUddd10各力在其相應(yīng)的位移上做功,并注意到材料為非線(xiàn)性彈性體，梁的應(yīng)變能為),(21nifUdddd表明為位移狀態(tài)函數(shù)。1. 卡氏第一定理卡氏第一定理nd1P2P3PnP1d2d3d第16頁(yè)/共57頁(yè)18 假設(shè)與第 i個(gè)荷載Pi相應(yīng)的位移di有一微小位移增量ddi， 而與其余荷載相應(yīng)的位移,以及各荷載

9、均保持不變。外力功和 應(yīng)變能的增量分別為（ ddi不是由Pi產(chǎn)生的， Pi ddi為常力做的功 ）iiPWddd （a）iiiUUdddd(b)式中， 為應(yīng)變能對(duì)位移 的變化率。 iUdid12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理nd1P2P3PnP1d2d3d第17頁(yè)/共57頁(yè)19 上式為卡氏第一定理卡氏第一定理。它說(shuō)明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上與某一荷載相應(yīng)的位移之變化率，等于該荷載的值。以上推導(dǎo)中并沒(méi)有涉及到梁的具體性質(zhì)，故卡氏第一定理適用于一切受力狀態(tài)的彈性體。對(duì)于線(xiàn)彈性體也必須把U寫(xiě)成給定位移的函數(shù)形式。WUdd令12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理iiUPd則第18頁(yè)/共57頁(yè)20

10、2. 卡氏第二定理卡氏第二定理 圖示為非線(xiàn)性彈性桿，Pi為廣義力，di為廣義位移。各力按簡(jiǎn)單加載方式作用在梁上。梁的余能為 iniPiPWUid10cc d),(21cniPPPPfU表明(1) 余能定理余能定理12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理nd1P2P3PnP1d2d3d第19頁(yè)/共57頁(yè)21iiPWd ddciiPPUUddcc令ccddUW 上式稱(chēng)為余能定理余能定理。可用于求解非線(xiàn)性彈性結(jié)構(gòu)與Pi相應(yīng)的位移。iiPUcd得 設(shè)第 i個(gè)力Pi有一個(gè)增量dPi，其余各力均保持不變，各位移均不變。余功和余能的改變量分別是12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第20頁(yè)/共57頁(yè)22(2) 卡

11、氏第一定理和余能定理的比較卡氏第一定理和余能定理的比較 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理),(21cniPPPPfU),(21nifUdddddidi+ddi，其他位移均不變，所有的力均不變。PiPi+dPi，其他力均不變，所有的位移均不變。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理nd1P2P3PnP1d2d3d第21頁(yè)/共57頁(yè)23 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理 iiPWdddciiPPUUddcciiPWdddiiUUdddd續(xù)表續(xù)表iiUPd(平衡方程)iiPUcd（變形的幾何關(guān)系）適用于非線(xiàn)性和線(xiàn)性彈性體適用于非線(xiàn)性和線(xiàn)性彈性體12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第

12、22頁(yè)/共57頁(yè)24(3) 卡氏第二定理卡氏第二定理 當(dāng)結(jié)構(gòu)為線(xiàn)彈性體時(shí)，由于力P和位移d成正比，Uc在數(shù)值上等于應(yīng)變能U（如圖）。若把 用力表示，即),(21niPPPPfU余能定理可以寫(xiě)成iiPUd上式稱(chēng)為卡氏第二定理，卡氏第二定理，它是余能定理在線(xiàn)彈性情況下的特殊情況。僅適用于線(xiàn)彈性體，它將是研究的重點(diǎn)。UUcP1Pd d1 a(e) OU12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第23頁(yè)/共57頁(yè)25 它表明，線(xiàn)彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于作用其上的某一荷載的變化率，等于與該荷載相應(yīng)的位移。注意注意:組合變形（不計(jì)剪力的影響）時(shí)d2)(d2)(d2)(020p202lltliixEAxNxGIxM

13、xEIxMPd 也可以寫(xiě)成lilittliixPxNEAxNxPxMGIxMxPxMEIxM00p0d)()(d)()(d)()(d用該式計(jì)算時(shí)，可減少計(jì)算工作量。用該式計(jì)算時(shí)，可減少計(jì)算工作量。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第24頁(yè)/共57頁(yè)26 例例2 2 圖圖a a所示為一等截面開(kāi)口圓環(huán)，彎曲剛度為所示為一等截面開(kāi)口圓環(huán)，彎曲剛度為EIEI，材料為線(xiàn)彈性。用，材料為線(xiàn)彈性。用卡氏第二定理卡氏第二定理求圓環(huán)開(kāi)口處的求圓環(huán)開(kāi)口處的張開(kāi)量張開(kāi)量d d。不計(jì)剪力和軸力的影響。不計(jì)剪力和軸力的影響。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理PP第25頁(yè)/共57頁(yè)27圓環(huán)開(kāi)口處的張量就是和兩個(gè)圓環(huán)開(kāi)

14、口處的張量就是和兩個(gè)F F力相對(duì)應(yīng)的相對(duì)線(xiàn)位力相對(duì)應(yīng)的相對(duì)線(xiàn)位移，即移，即PUd（） 用用 角表示圓環(huán)橫截面的位置，并規(guī)定使圓環(huán)內(nèi)側(cè)角表示圓環(huán)橫截面的位置，并規(guī)定使圓環(huán)內(nèi)側(cè)受拉時(shí)彎矩為正，則彎矩方程及其對(duì)受拉時(shí)彎矩為正，則彎矩方程及其對(duì)P P 的偏導(dǎo)數(shù)分別為的偏導(dǎo)數(shù)分別為 解：解：)cos1 ()( PRM，)cos1 ()(RPM12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理PP第26頁(yè)/共57頁(yè)28d)cos1 (2023EIPR結(jié)果為正，表示廣義位移方向和廣義力的指向一致。結(jié)果為正，表示廣義位移方向和廣義力的指向一致。EIPR33（ ）dd)cos1 ()cos1 (20RRPREI 利用對(duì)稱(chēng)性，

15、由卡氏第二定理，得12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第27頁(yè)/共57頁(yè)29 例例3 3 三桿的材料相同，三桿的材料相同， = = K K 1/ 1/n( ( n 1) ) ，橫截，橫截面面積均為面面積均為A，1, 2兩桿長(zhǎng)度為兩桿長(zhǎng)度為 l。用。用余能定理余能定理求各桿求各桿的軸力。的軸力。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理P第28頁(yè)/共57頁(yè)30 解：解：以鉸鏈以鉸鏈 D 的支反力的支反力X 為多余未知力，基本靜定系為多余未知力，基本靜定系如圖如圖b 所示，所示，F(xiàn)，X 看作基本靜定系上獨(dú)立的外力，看作基本靜定系上獨(dú)立的外力，所以所以 Uc = Uc (P,X ) （不能含有（不能含有其

16、它未知力）其它未知力）因?yàn)殂q鏈因?yàn)殂q鏈 D 處沿鉛垂方向的位移處沿鉛垂方向的位移為零，應(yīng)有為零，應(yīng)有0cXU由該式求出由該式求出X 后，再利用平衡方程求各桿的軸力后，再利用平衡方程求各桿的軸力。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理P第29頁(yè)/共57頁(yè)31cos221XPNNXN 3(1)（軸力均用（軸力均用P和和 X 表示）表示）由平衡方程得各桿的軸力分別為由平衡方程得各桿的軸力分別為各桿的應(yīng)力分別為各桿的應(yīng)力分別為AXAXP321 cos2(2)nK(3)由由 得得) 1(K/1nn12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理P第30頁(yè)/共57頁(yè)32100c2c1)cos2(K) 1(1dKd11n

17、nnAXPnuu10c3)(K) 1(1dK3nnnAXnu結(jié)構(gòu)的余能為結(jié)構(gòu)的余能為cos22c3c13c31c1cAluAluVuVuU(4)三桿的余能密度分別為三桿的余能密度分別為12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第31頁(yè)/共57頁(yè)33nPNX/123)(coscos21nPNN/1221)(coscos2（4 4）式包含了平衡方程和物理方程，而）式包含了平衡方程和物理方程，而 ，表示變形的，表示變形的幾何關(guān)系。幾何關(guān)系。0cXU0cXU由由 ，得得將將X 值代入（值代入（1），得），得 以力為基本未知量解超靜定問(wèn)題的方法，稱(chēng)為力法。以力為基本未知量解超靜定問(wèn)題的方法，稱(chēng)為力法。12.2

18、 12.2 卡氏定理卡氏定理第32頁(yè)/共57頁(yè)34 例例4 剛架各桿的彎曲剛度均為剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響，用力對(duì)位移的影響，用卡氏第二定理卡氏第二定理求支反力。求支反力。CABql l(a)12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第33頁(yè)/共57頁(yè)35 解：解：該題為一次超靜定。以鉸鏈該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力的鉛垂支反力X 為多為多余未知力，基本靜定系如圖余未知力，基本靜定系如圖b 所示。由于所示。由于 ,但是在但是在 中，出現(xiàn)中，出現(xiàn) (U也將出現(xiàn)也將出現(xiàn) )，必須把，必須把),(XqUU 221)(qyyVyMAxAxVAxVCABq

19、l l(a) l(b)yVCxxXVAxVAyCABql 用 q , X 表示。 AxVqlXVAx21由 ，得0BM12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第34頁(yè)/共57頁(yè)36CB, AB段的彎矩方程及其對(duì)段的彎矩方程及其對(duì)X 的偏導(dǎo)數(shù)分別為的偏導(dǎo)數(shù)分別為 xXxM)(xXxM)()0(lx ，2221)21(21)(yqyl qXyqyVyMAxyXyM)()0(ly 02432d)2121(1d143032202EIl qEIlXyyqyl qyXEIxXxEIll 由 ，得0XU l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第35頁(yè)/共57頁(yè)37解得解得

20、 （）和圖示方向相反。）和圖示方向相反。qlX161qlVAy161（）qlVAx167（）qlVCx169（）由平衡條件得由平衡條件得 l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第36頁(yè)/共57頁(yè)38 例例5 半圓環(huán)的彎曲剛度為半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響，用位移的影響，用卡氏第二定理卡氏第二定理求對(duì)稱(chēng)截面上的內(nèi)力。求對(duì)稱(chēng)截面上的內(nèi)力。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理P第37頁(yè)/共57頁(yè)39 解：解：沿半圓環(huán)的對(duì)稱(chēng)截面處截開(kāi)，取兩個(gè)沿半圓環(huán)的對(duì)稱(chēng)截面處截開(kāi)，取兩個(gè)1/4圓環(huán)為基本圓環(huán)為基本靜定系（圖靜定系（圖b)

21、，多余未知力為軸力，多余未知力為軸力X1, 彎矩彎矩X2, 剪力剪力X3。該題為。該題為三次超靜定。三次超靜定。),(21XXPUU (a) 但由于結(jié)構(gòu)與荷載均是對(duì)但由于結(jié)構(gòu)與荷載均是對(duì)稱(chēng)的，內(nèi)力也應(yīng)該是對(duì)稱(chēng)的，但稱(chēng)的，內(nèi)力也應(yīng)該是對(duì)稱(chēng)的，但X3是反對(duì)稱(chēng)的，故是反對(duì)稱(chēng)的，故X30，問(wèn)題，問(wèn)題簡(jiǎn)化為二次超靜定。半圓環(huán)的應(yīng)簡(jiǎn)化為二次超靜定。半圓環(huán)的應(yīng)變能只能為變能只能為P，X1，X2的函數(shù)，的函數(shù)，即即12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理2P2P第38頁(yè)/共57頁(yè)40與與X1，X2 相應(yīng)的位移條件分別相應(yīng)的位移條件分別為兩截面的相對(duì)線(xiàn)位移和相對(duì)為兩截面的相對(duì)線(xiàn)位移和相對(duì)角位移為零，即角位移為零，即

22、0,021XUXU(b)彎矩方程及其對(duì)彎矩方程及其對(duì)X1，X2的偏導(dǎo)數(shù)分別為的偏導(dǎo)數(shù)分別為21)cos1 (sin2)(XRXRPM)cos1 ()(1RXM1)(2XM(c)12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理2P2P第39頁(yè)/共57頁(yè)41注意到基本靜定系為兩個(gè)注意到基本靜定系為兩個(gè)1/4圓環(huán)，圓環(huán)，(b)式成為式成為0d)()(212/01RXMMEIXU(d)0d)()(222/02RXMMEIXU(e)將將 (c) 式代入式代入 (d) 和和 (e) 式，可解得式，可解得PX8421PRX8)3(22212.2 12.2 卡氏定理卡氏定理第40頁(yè)/共57頁(yè)4212.3 12.3 最小勢(shì)

23、能原理最小勢(shì)能原理1.1.勢(shì)能勢(shì)能取結(jié)構(gòu)在未受力時(shí)的狀態(tài)作為參考狀態(tài)，勢(shì)能為取結(jié)構(gòu)在未受力時(shí)的狀態(tài)作為參考狀態(tài)，勢(shì)能為PUU拉桿變形過(guò)程中所積蓄的應(yīng)變能；拉桿變形過(guò)程中所積蓄的應(yīng)變能；拉桿受力后的變形。拉桿受力后的變形。勢(shì)能的一般表達(dá)式：勢(shì)能的一般表達(dá)式：niiiPU1d這一表達(dá)式適用于任何彈性結(jié)構(gòu)，這一表達(dá)式適用于任何彈性結(jié)構(gòu)， 為廣義力，為廣義力， 為相應(yīng)的為相應(yīng)的廣義位移。廣義位移。iPid第41頁(yè)/共57頁(yè)432.2.最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理niiiPU1d當(dāng)任一位移有一個(gè)微小增量時(shí)，忽略高階微量，勢(shì)能的改當(dāng)任一位移有一個(gè)微小增量時(shí)，忽略高階微量，勢(shì)能的改變量為變量為nidPUdPdU

24、diiiiiiiii, 2 , 1,dddddddd由卡氏第一定理由卡氏第一定理 得，得，iiUPdnii, 2 , 1, 0d上式是表示結(jié)構(gòu)平衡的充分必要條件，且適用于一切彈性上式是表示結(jié)構(gòu)平衡的充分必要條件，且適用于一切彈性結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。駐值原理駐值原理12.3 12.3 最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理第42頁(yè)/共57頁(yè)44結(jié)構(gòu)平衡形態(tài)的穩(wěn)定性可由下述規(guī)則判斷：結(jié)構(gòu)平衡形態(tài)的穩(wěn)定性可由下述規(guī)則判斷： ii, 0, 0122dd取最小值，穩(wěn)定的平衡；取最小值，穩(wěn)定的平衡； ii, 0, 0222dd取最大值，中穩(wěn)定的平衡；取最大值，中穩(wěn)定的平衡； ii, 0, 0322dd取恒定值，中性的或臨界的平

25、衡。取恒定值，中性的或臨界的平衡。nii, 2 , 1, 0d對(duì)于穩(wěn)定平衡的彈性結(jié)構(gòu)，對(duì)于穩(wěn)定平衡的彈性結(jié)構(gòu)，最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理等價(jià)于平衡條件，適用于一切彈性結(jié)構(gòu)。等價(jià)于平衡條件，適用于一切彈性結(jié)構(gòu)。12.3 12.3 最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理第43頁(yè)/共57頁(yè)4512.3 12.3 最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理例例6 如圖所示超靜定桿系中，三桿材料相同且橫如圖所示超靜定桿系中，三桿材料相同且橫截面面積均為截面面積均為A，材料為線(xiàn)彈性，彈性模量為，材料為線(xiàn)彈性，彈性模量為E，試求各桿應(yīng)力。試求各桿應(yīng)力。解：由于對(duì)稱(chēng)性，解：由于對(duì)稱(chēng)性，E E點(diǎn)只有鉛垂位移，點(diǎn)只有鉛垂位移，設(shè)為設(shè)為D D。3

26、3桿的應(yīng)變?yōu)闂U的應(yīng)變?yōu)閏os3lD其比能為其比能為2233cos22lDEEu3 3桿的應(yīng)變能為桿的應(yīng)變能為cos2cos333lEADAluVuU第44頁(yè)/共57頁(yè)4612.3 12.3 最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理1 1、2 2桿的應(yīng)變?yōu)闂U的應(yīng)變?yōu)閏oscos21lDlD其比能為其比能為221cos2lDEuu其應(yīng)變能為其應(yīng)變能為22121cos2DlAEAluUU該桿系結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能為該桿系結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能為32321cos21cos2lEADUUUU第45頁(yè)/共57頁(yè)47結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為PDlEADPDU32cos21cos2由最小勢(shì)能原理由最小勢(shì)能原理0D0cos21cos223P

27、lDEA3cos21cosEAPlD三桿應(yīng)力分別為三桿應(yīng)力分別為333cos21cosAPlDEE32121cos21coscosAPlDEE12.3 12.3 最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理第46頁(yè)/共57頁(yè)4812.4 12.4 瑞利瑞利- -里茲法里茲法瑞利瑞利- -里茲法主要思路：里茲法主要思路：（1）用假設(shè)的變形形狀近似表示變形的真實(shí)形狀；）用假設(shè)的變形形狀近似表示變形的真實(shí)形狀；（2）用形狀函數(shù)表示假設(shè)的變形形狀，形狀函數(shù)含有一個(gè)）用形狀函數(shù)表示假設(shè)的變形形狀，形狀函數(shù)含有一個(gè)或多個(gè)不定的位移參數(shù)；或多個(gè)不定的位移參數(shù)；（3）將勢(shì)能表示成上述位移參數(shù)的函數(shù)；）將勢(shì)能表示成上述位移參數(shù)的函

28、數(shù)；（4）根據(jù)勢(shì)能駐值原理，令勢(shì)能對(duì)每一位移參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)）根據(jù)勢(shì)能駐值原理，令勢(shì)能對(duì)每一位移參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零，得到一組以未知的位移參數(shù)表示的聯(lián)立方程組；為零，得到一組以未知的位移參數(shù)表示的聯(lián)立方程組；（5）求解方程組，得出各個(gè)位移參數(shù)，所假設(shè)的變形形狀）求解方程組，得出各個(gè)位移參數(shù)，所假設(shè)的變形形狀即可得到；即可得到；（6）求出內(nèi)力。）求出內(nèi)力。第47頁(yè)/共57頁(yè)49例例7 7 試確定如圖所示階梯狀梁中央處撓度的近似值。試確定如圖所示階梯狀梁中央處撓度的近似值。解：取形狀函數(shù)為解：取形狀函數(shù)為20432231lxAxAxAxAv由邊界條件：由邊界條件：0040Avx0030Avx430122l

29、AAvlx31216lAvlxdd2043432lxxllxvd于是于是由對(duì)稱(chēng)性條件：由對(duì)稱(chēng)性條件：12.4 12.4 瑞利瑞利- -里茲法里茲法第48頁(yè)/共57頁(yè)50全梁的彎曲應(yīng)變能為全梁的彎曲應(yīng)變能為 dxvEIdxEIxMU2222 40242222llldxvEIdxvEIU2043432lxxllxvd將將 代入：代入：32144lEIUd該梁總勢(shì)能為該梁總勢(shì)能為dddPlEIPU3214412.4 12.4 瑞利瑞利- -里茲法里茲法第49頁(yè)/共57頁(yè)51應(yīng)用最小勢(shì)能原理，得應(yīng)用最小勢(shì)能原理，得02883PlEIdddd求得求得EIPlEIPl3300347. 0288d12.4

30、12.4 瑞利瑞利- -里茲法里茲法第50頁(yè)/共57頁(yè)52例例8 8 試用瑞利試用瑞利- -里茲法計(jì)算如圖所示兩端簡(jiǎn)支階梯狀里茲法計(jì)算如圖所示兩端簡(jiǎn)支階梯狀壓桿的臨界壓力。已知材料的彈性模量為壓桿的臨界壓力。已知材料的彈性模量為E。解：在臨界壓力解：在臨界壓力Pcr作用下，壓桿可在作用下，壓桿可在微彎狀態(tài)下維持中性平衡或臨界平衡。微彎狀態(tài)下維持中性平衡或臨界平衡。根據(jù)邊界條件，可用下式的單參數(shù)函數(shù)根據(jù)邊界條件，可用下式的單參數(shù)函數(shù)作為其撓曲線(xiàn)近似方程作為其撓曲線(xiàn)近似方程lxvdsin 為桿中點(diǎn)的撓度為桿中點(diǎn)的撓度。d由邊界條由邊界條件：件：00 xv00 xv0lxv0 lxv由對(duì)稱(chēng)性條件：由

31、對(duì)稱(chēng)性條件：02lxv12.4 12.4 瑞利瑞利- -里茲法里茲法第51頁(yè)/共57頁(yè)53lxvdsinlxlvdcoslxlvdsin2 由于桿的微彎，在其上端有豎向位移由于桿的微彎，在其上端有豎向位移 。為了求為了求 ，在撓曲線(xiàn)上取一微段，在撓曲線(xiàn)上取一微段ds，它與，它與其在其在x軸上投影軸上投影dx之差為之差為dxvdxdxds21222111vv又又12.4 12.4 瑞利瑞利- -里茲法里茲法第52頁(yè)/共57頁(yè)54 ldxlxldxvll42cos221220222220dd從而荷載所做的功為從而荷載所做的功為lPPcrcr422d壓桿的應(yīng)變能為壓桿的應(yīng)變能為 2143241821424182sinsin2sin2222232332240434432222444322434240dddlEIlEIdxlxdxlxdxlxlEIdxvEIdxvEIdxvEIUllllllllll12.4 12.4 瑞利瑞利- -里茲法里茲法第53頁(yè)/共57頁(yè)