數(shù)值計(jì)算課后答案1

1、習(xí)題一解答1取 3.14 ，3.15 ， 22 ， 355 作為的近似值，求各自的絕對(duì)誤差，相對(duì)7113誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：求絕對(duì)誤差的方法是按定義直接計(jì)算。求相對(duì)誤差的一般方法是先求出絕對(duì)誤差再按定義式計(jì)算。注意，不應(yīng)先求相對(duì)誤差再求絕對(duì)誤差。有效數(shù)字位數(shù)可以根據(jù)定義來(lái)求， 即先由絕對(duì)誤差確定近似數(shù)的絕對(duì)誤差不超過(guò)那一位的半個(gè)單位，再確定有效數(shù)的末位是哪一位，進(jìn)一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。有了定理 2 后，可以根據(jù)定理2 更規(guī)地解答。根據(jù)定理 2，首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)形式，然后解答。解：（ 1）絕對(duì)誤差 :e(x)= 3.14 3.14159265 3.14 0.00159 0

2、.0016 。相對(duì)誤差：er ( x)e(x)0.00160.51 10 3x3.14有效數(shù)字：因?yàn)?3.14159265=0.314159265 × 10，3.14 0.314 ×10， m=1。而 3.14 3.14159265 3.14 0.00159所以 3.14 0.00159 0.005=0.5 ×102 1 10 21101 322所以， 3.14 作為的近似值有3 個(gè)有效數(shù)字。（ 2）絕對(duì)誤差 :e(x)= 3.15 3.14159265 3.14 0.008407 0.0085 。相對(duì)誤差：er ( x)e(x)0.00850.27 10 2x3

3、.15有效數(shù)字：因?yàn)?3.14159265=0.314159265 × 10，3.15 0.315 ×10， m=1。而 3.15 3.14159265 3.15 0.008407所以 3.15 0.008407 0.05=0.5 × 10 1 110 11101 222所以， 3.15作為的近似值有2 個(gè)有效數(shù)字。（ 3）絕對(duì)誤差 :e(x)223.14159265L3.1428571430.001264493L0.00137相對(duì)誤差：er ( x)e(x)0.00130.41 10 3x227有效數(shù)字：因?yàn)?3.14159265=0.314159265 

4、15; 10，22，m=1。3.142857143 0.3142857143 10722而3.14159265 L 3.142857143 0.001264493 L 7所以223.14159265L3.142857143 0.001264493 L 0.00570.510 2110 21101 322所以， 22 作為的近似值有3 個(gè)有效數(shù)字。7（ 4）絕對(duì)誤差 :e(x)3553.14159265 L3.141592920.0000002705L0.000000271113相對(duì)誤差：er ( x)e(x)0.0000002710.863 10 7x355113有效數(shù)字：因?yàn)?3.14159

5、265=0.314159265 × 10，355 3.14159292 0.314159292 10 ， m=1。113而3553.14159265L3.141592920.0000002705L113所以3553.14159265 L3.141592920.0000002705 L 0.00000051130.510 6110 61101722355所以，作為的近似值有7 個(gè)有效數(shù)字。指出：實(shí)際上，本題所求得只能是絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，而不是絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。2、用四舍五入原則寫(xiě)出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。346 7854， 7 000009 ， 0 00013245

6、80 ， 0 600300解： 346 7854 346 79，7 000009 7 0000 ，0 0001324580 0 00013246 ，0 600300 0 60030 。指出：注意 0。只要求寫(xiě)出不要求變形。3、下列各數(shù)都是對(duì)準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出他們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。x10.0315, x20.3015, x331.50, x45000 。分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對(duì)誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對(duì)誤差限，再求相對(duì)誤差限，最后確定有效數(shù)字個(gè)數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對(duì)誤

7、差限分別是( x1 ) 0.00005,( x2 ) 0.00005, ( x3 ) 0.005, (x4 ) 0.5由絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的關(guān)系，相對(duì)誤差限分別是(x1)( x1 )0.00005x10.16%,0.0315(x2 )( x2 )0.00005 0.02%,x20.3015(x3 )( x3 )0.005x30.002%,31.5(x4 )( x4 )0.5x40.01%.5000有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。指出：本題顯然是直接指出有效數(shù)位、直接寫(xiě)出絕對(duì)誤差，用定義求出相對(duì)誤差。4. 計(jì)算 10 的近似值，使其相對(duì)誤差不超過(guò) 0.1 。解：設(shè)取 n 個(gè)有效數(shù)字可使相對(duì)

8、誤差小于 0.1 ，則1101 n0.1% ，2a1而 3104 ，顯然 a13，此時(shí)，1101 n21101 n0.1% ，2a13即 1101 n10 3，6也即 610n104所以， n=4。此時(shí)，103.162 。5、在計(jì)算機(jī)數(shù)系F(10,4,-77,77)中，對(duì)x10.14281103 與 x20.314159101 ，試求它們的機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)fl (xi )(i1,2) 及其相對(duì)誤差。解：fl ( x1 )0.1428 103 ,e( fl ( x1 )x1fl ( x1 )0.14281 1030.14281030.00001 103 ,fl ( x2 ) 0.3142101, e(

9、 fl ( x2 )x2fl ( x2 )0.314159101(0.3142101) 0.00041 101其相對(duì)誤差分別是0.000011030.007%, e20.0000411010.013%。e11030.31421010.14286、在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個(gè)數(shù)x0.2337125810 4 , y0.33678429 102 , z0.33677811 10 2 ，試按( xy) z, x( yz) 兩種算法計(jì)算xy z 的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：fl ( x y) z) (0.23371258 10 4 0.33678429 102 ) 0.336778

10、11 102 (0.00000023 102 0.33678429 102 ) 0.33677811 102 0.33678452 102 0.33677811 1020.00000641 102fl ( x( yz)0.23371258 10 4(0.33678429 1020.33677811 102 )0.23371258 10 40.00000618 1020.00000023 1020.00000618 1020.00000641 102精確計(jì)算得：x y z 0.23371258 10 4 0.33678429 102 0.33677811 102 (0.0000002337125

11、8 102 0.33678429 102 ) 0.33677811 1020.33678452371258 1020.33677811 1020.0000641371258 102第一種算法按從小到大計(jì)算,但出現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)量級(jí)相差較大的數(shù)相加,容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù). 而第二種算法則出現(xiàn)了兩個(gè)相近的數(shù)相減, 容易導(dǎo)致有效數(shù)位的減少。計(jì)算結(jié)果證明，兩者精度水平是相同的。*在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U) 中，取三個(gè)數(shù)x0.23371258 10 4 , y0.3367842910 2 , z0.33677811102 ，試按( xy) z, x( yz) 兩種算法計(jì)算 xy z 的值，并將結(jié)果與精確結(jié)

12、果比較。解：fl ( x y)z)(0.2337125810 40.33678429 10 2 )0.33677811 102(0.0023371310 20.3367842910 2)0.336778111020.3391214210 20.336778111020.000033911020.336778111020.336744210 2fl ( x ( yz)0.2337125810 4(0.33678429 10 20.33677811 102 )0.2337125810 4(0.000033681020.33677811102 )0.2337125810 40.33674742102

13、0.000000231020.336747421020.33674719102第一種算法是按從小到大的順序計(jì)算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計(jì)算更精確。精確計(jì)算得：xyz0.2337125810 40.3367842910 20.336778111020.0000233712580.003367842933.6778110.00339121415833.67781133.6744197858420.33674419785842102顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。7、某計(jì)算機(jī)的機(jī)器數(shù)系為 F(10,2,L,U) ，用浮點(diǎn)運(yùn)算分別從左到右計(jì)算及從右到左計(jì)算10.40.30.20.040.

14、030.020.01試比較所得結(jié)果。解：從左到右計(jì)算得10.40.30.20.040.030.020.010.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.00100.19 101.9從右到左計(jì)算得10.40.30.20.040.030.020.010.010.020.030.040.20.30.410.110 10.210 10.310 10.410 10.20.30.410.10.20.30.410.11010.1100.1100.2102從右到左計(jì)算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計(jì)算精確。8、對(duì)于有效數(shù)x13.105, x20.001, x30.100

15、，估計(jì)下列算式的相對(duì)誤差限y1x1 x2 x3 , y2x1x2 x3x2, y3x3分析：求和差的相對(duì)誤差限采取先求出和差的絕對(duì)誤差限再求相對(duì)誤差限的方法。求積商的相對(duì)誤差限采取先求每一個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差限再求和的方法。解：因?yàn)閤13.105, x20.001, x30.100 都是有效數(shù)，所以( x1 )0.0005, ( x2 )0.0005, ( x3 ) 0.0005( x1 )0.00050.16%, ( x2 )0.000550%,( x3 )0.0005 0.5%3.1050.0010.100則 ( x1x2x3 )(x1)( x2 )( x3 )0.00050.0005 0.00

16、05 0.0015( x1 x2 x3 )(x1x2x3 )0.00150.00154.99 10 40.05%x1x2x33.105 0.001 0.1003.004( x1 x2 x3 )( x1 )( x2 )( x3 ) 0.16% 50% 0.5% 50.66%( x2 )( x2 )(x3 ) 50%0.5% 50.5%x3指出 :如果簡(jiǎn)單地用有效數(shù)字與誤差的關(guān)系計(jì)算,則不夠精確。注意是相對(duì)誤差限的討論。符號(hào)要正確，商的誤差限是誤差限的和而不是差。9、試改變下列表達(dá)式，使其計(jì)算結(jié)果比較精確（其中x = 1 表示 x 充分接近 0， x ? 1表示 x 充分大）。(1)ln x1ln

17、 x2 , x1x2 ；(2)11x, x= 1 ；1x1x(3)x1x1x, x ? 1 ；x(4)1cosx, x且x =1 ;x01(5)cot x, x0且x = 1。x分析：根據(jù)算法設(shè)計(jì)的原則進(jìn)行變形即可。當(dāng)沒(méi)有簡(jiǎn)單有效的方法時(shí)就采用泰勒展開(kāi)的方法。解： (1)ln x1ln x2lnx1；x2(2)11x1x(1x)21 x1x(1x)(1x)；1 x (1 2x x2 )3x x2(1x)(1x)(1x)(1 x)(3)11x21x21xxxxxxx21x21x2x( x21x21)或1( x1x1 )( x1x1 )x1xxxxxx11xxxxx( x1 )( x1)2xxxx

18、1x1x21x2 1xxxx2x (x21x21)x2x(x21x21)(4)1cos x1 (1 x2x4L( 1)n x2 nL )2!4!(2 n)!xxx2x4L(n1x2nL2!4!1)(2 n)!xx x3L( 1)n 1 x2 n 1L2!4!(2 n)!(5)1cot x1(11x1x3L22n Bnx2n 1 L )xxx345(2n)!1 x1 x3 L22 n Bn x2n 1 L345(2n)!（Bn是貝努利數(shù)）指出：采用等價(jià)無(wú)窮小代換的方法一般不可行。近似計(jì)算中的誤差并不是無(wú)窮小量，利用無(wú)窮小量等價(jià)代換，兩個(gè)量的差別可能恰恰是影響精度的因素。采用等價(jià)無(wú)窮小代換，可能只

19、會(huì)得到精度水平比較低的結(jié)論。例如1 cosx2sin 2 x2( x )2x22xxx211cosxsin xx cosxcot xxsin xx sin xxx x cos x ( x = 1,sin xx)xsin x1 cos x sin x1 1 ( x = 1,cosx 1) sin x0試與上例比較。有時(shí)候這種方法可以使用，例如因?yàn)?cos(x)cos x cossin xsin，當(dāng)= 1 時(shí)， cos1,sin0cos( x)cos x cossin x sincos xsin xg在這個(gè)計(jì)算中，由于x 是常數(shù)， x 的函數(shù)值實(shí)際上放大了每一項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果，使得相近的數(shù)相減的問(wèn)題不

20、很突出。而利用一階的泰勒展開(kāi)f ( x)f (x)f ( )( xx) ，當(dāng)= 1 時(shí)，就有 f ( x)f ( x)f (x) ，因此cos( x)cos xsin x和上面的結(jié)果一樣。但顯然，用泰勒展開(kāi)的方法具有一般性并能得到精度更高的結(jié)果，而且不會(huì)有方法上出錯(cuò)的可能。采用洛必達(dá)法則也是不可以的。實(shí)際上，無(wú)論是等價(jià)無(wú)窮小還是洛必達(dá)法則都是極限方法，而因?yàn)榻朴?jì)算中的誤差雖然可以近似地看作是微分，但本質(zhì)上卻是一個(gè)確定的可能極小的小數(shù)而不是無(wú)窮?。ㄚ呌诹愕淖兞浚?，因此近似計(jì)算是不能采用極限方法的。轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡(jiǎn)，比如化繁分式為簡(jiǎn)分式，但不能取極限。取極限就違背的了數(shù)值計(jì)算的本意。所以，11x

21、1101x1x1010是錯(cuò)誤的。110極小的數(shù)做除數(shù)，實(shí)際上是0 型的不定型，要轉(zhuǎn)化為非不定型。010、用 4 位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證1cos 2o 有較高的精度？解：根據(jù) 1cos2o2sin 2 1o ，先查表求出sin1o 再計(jì)算出要求的結(jié)果精度較高。指出：用度數(shù)就可以。不必化為弧度。11、利用78327.982 求方程x256 x10 的兩個(gè)根，使它們至少具有4 位有效數(shù)字。解：由方程的求根公式，本方程的根為5656245622821x1,22228 783因?yàn)?78327.982，則x1287832827.98255.982如果直接根據(jù)求根公式計(jì)算第二個(gè)根，則因?yàn)閮蓚€(gè)相近的數(shù)相

22、減會(huì)造成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此根據(jù)韋達(dá)定理 x1 x21，在求出 x155.982 后這樣計(jì)算 x2 ：x211 0.01786=0.1786 101x155.982這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。12、試給出一種計(jì)算積分1I ne 1 xnexdx(n0,1,2,3,.) ，0近似值的穩(wěn)定算法。e 11x0exdxe 1 (ee 1 。解：當(dāng) n 0 時(shí)， I 01) 1011(ex dx exe1 ) 。00bbb對(duì) I n 運(yùn)用分部積分法 (udvvdu ) 得uv aaa1n x 111I n e1n xe1(xxn 1 xe1(e 0n xn 1 xx e dxene d

23、x)e dx)000011 ne 1 xn 1exdx 1 nI n 10由此得到帶初值的遞推關(guān)系式I 01e 1I n1nI n1 (n1,2,3,.)由遞推公式I n 1 nI n 1解得 I n11 (1I n ) ，這是逆向的遞推公式，對(duì)nI n 的值作估計(jì)，有111I ne 1 xn exdx e 1e1 xn dx100n另有111I ne 1 xn exdx e 1 xndx e 100n1(取 e 的指數(shù)為最小值0，將 ex 取作 e 01 作為常數(shù)即可簡(jiǎn)化公式）。則e 1 11I n1。nn1那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取I n 11( e 11)2 n1

24、可以看出， n 越大，這個(gè)近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。(n 越大， In 的上限和下限就越接近，近似值區(qū)間的長(zhǎng)度就越短，近似值和精確值就越接近 )此時(shí)， en 1=I n 1* I n 1= 1 (I n* I n) 1 e n ，e0 = 1 en，計(jì)算是穩(wěn)nnn!定的。實(shí)際上，如果我們要求 I 9，可以先求出 I 20，這樣求出的 I 9 的誤差是比 I 20的誤差小得多的，而I 20 的誤差本身也并不大。實(shí)際上，這樣求出的I 9 比直接計(jì)算出來(lái)的精確得多。補(bǔ)充題（一）1、給出數(shù)系 F(10,4,-5,5)中的最大數(shù)、最小數(shù)和最小整數(shù)。解：最大數(shù)： 0.9999 × 105 ；最

25、小數(shù)：0.9999 ×105 ；最小正數(shù)： 0.0001 ×10 5 。2、已知 e2.71828182845904523536028747L，求它在 F(10， 5， 5，5）和 F(10， 8， 5，5）中的浮點(diǎn)數(shù)。解：在 F(10，5， 5，5）中， fl (e)0.27183101在 F(10，8， 5， 5）中， fl (e) 0.271828181013、已知數(shù) e 的以下幾個(gè)近似數(shù)，它們分別有幾位有效數(shù)字？相對(duì)誤差是多少？x0 2.7182, x1 2.7183, x02.7182818 。分析：題目沒(méi)有說(shuō)明近似數(shù)是通過(guò)哪種途徑取得的，也就沒(méi)有明確每個(gè)近似數(shù)和

26、準(zhǔn)確數(shù)之間的誤差關(guān)系。所以，本題的解答應(yīng)當(dāng)從求近似數(shù)的誤差開(kāi)始。解：因?yàn)閑x00.00008181110 31101 4,22ex10.0000211041101 5,，22ex20.00000003110 71101 8.22所以， x02.7182, x12.7183, x02.7182818 分別有 4、 5、 8 個(gè)有效數(shù)字。其相對(duì)誤差分別是ex0110141er( x0 )23,x02.7182104ex1110 4,4ex2110 744、數(shù) (38)3與下述各式在實(shí)數(shù)的意義上是相等的，(38)3（1）(17 68) 3 ，（ 2） (1768) 3 1，（3）(38)6 ，（4）

27、(38)6 1，（ 5） 1960169208 ，（ 6） (19601 6920 8) 1 。試說(shuō)明在浮點(diǎn)數(shù)系F (10,4,8,8)中，用哪個(gè)公式計(jì)算出的結(jié)果誤差最小。分析：本題實(shí)際上是一個(gè)算法分析與設(shè)計(jì)問(wèn)題，也就是說(shuō)要應(yīng)用算法設(shè)計(jì)的基本原則進(jìn)行分析討論。解：在本例中，顯然3 和 8在浮點(diǎn)數(shù)系中是相近的數(shù)。進(jìn)一步地，17和 68 、 19601 和 69208 也是相近的數(shù)。因此：為避免相近的數(shù)相減，不應(yīng)采用（1）、（ 3）、（ 5）三種計(jì)算方法。在余下的三種計(jì)算方法中，（2）需要進(jìn)行 4 次乘除法，（ 4）需要進(jìn)行 7 次乘除法，（ 6）需要進(jìn)行 1 次除法。從減少運(yùn)算次數(shù)來(lái)說(shuō)，應(yīng)采用（

28、 6）。所以，采用（6）計(jì)算，計(jì)算結(jié)果誤差最小。xln(1 x) / x3 ，當(dāng) x = 1 時(shí)，如何計(jì)算才能獲得準(zhǔn)確的結(jié)果？5、f ( x) xe 2解：當(dāng)x = 1（即很小時(shí)），f(x)的分子是兩個(gè)相近的小數(shù)相減，而分母也是一個(gè)小數(shù)，因此應(yīng)避免簡(jiǎn)單地按原計(jì)算順序直接計(jì)算，而應(yīng)進(jìn)行變形。由泰勒展開(kāi)得x( x )2( x)3( x)4x x( x) xg22xg 2xe2xgL22!3!4!ln(1x)xx2x3xnL23Ln因此f ( x) ( 1 1)x3( 11) x4(1241) x5 L / x383484165511 x397 x224481920此處最后略去部分的第一項(xiàng)為(132

29、1) x3639x312063840當(dāng) x = 1 時(shí)，這一部分是相當(dāng)小的值，可以略去。指出：如果要提高計(jì)算精度，就可以考慮保留更多的項(xiàng)。補(bǔ)充題（二）（一）1、計(jì)算 e 的近似值，使其誤差不超過(guò)106。2、利用11 x x2Lxnxn 1(01,x 1)f ( x)(1x)n 21 x計(jì)算 f(0.1)的近似值，其誤差不超過(guò)102，求 n。3、 3.142 和 3.141 分別作為 的近似數(shù)，各有幾位有效數(shù)字？4、已知近似數(shù) x 的相對(duì)誤差限為0.3,問(wèn) x 至少有幾個(gè)有效數(shù)字？5 、已知 x 的下列 3 個(gè)近似數(shù)的絕對(duì)誤差限都是0.005 ，問(wèn)它們的有效數(shù)字各有幾位？a=138.00 ，b=

30、-0.0132，c=-0.86 ×10 -46 、設(shè)近似值 x=1.234 ，且絕對(duì)誤差界為0.0005 ，則它至少有幾位有效數(shù)字？7 、某校有學(xué)生 6281 人，通常說(shuō)有 6000 人。下面哪個(gè)式子表示 6000 這個(gè)近似數(shù)合適？0.61040.601040.6001040.600010 4分析與解答1、解：令 f(x)=ex,而 f （k)(x)=ex,f （k)(0)=e0=1。由麥克勞林公式，可知ex1 xx2Lxne xxn 1(01)2!n!( n 1)!當(dāng) x=1 時(shí)， e111e1)1L(n(02!n!1)!故Rn (1)e3。(n1)!( n 1)!當(dāng) n9 時(shí)，

31、Rn (1)<106，符合要求。此時(shí)，e 2.718 285解決這類(lèi)問(wèn)題其實(shí)很簡(jiǎn)單。只要知道了泰勒展開(kāi)式，余下的就只是簡(jiǎn)單的計(jì)算了。泰勒 (Taylor) 中值定理：若函數(shù)f(x) 在a,b 上存在直至 n 階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在 (a,b)上存在 n+1 階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的 x，x0a，至少存在一點(diǎn) ,b（ a，,b），使得f ( x) f ( x0 )f (x0 )( x x0 )2Lf ( n) (x0 )x0 )nf ( n 1)( )(x x0 )n 1f (x0 )( x x0 )2!(x(n1)!n!其中，Rn ( x)f ( n 1) ( ) ( xx0 )n 1 叫做

32、拉格朗日型余項(xiàng)。(n1)!當(dāng) x0=0 時(shí),得到麥克勞林公式。f ( x) f (0)gf (0) g 2Lf (n ) (0) gnf ( n1) ( x) gn 1(01)f (0) xxn!x(nx2!1)!2 、解：(1xn 10.1n 10.1n 1(1) n 210 10 2,x) n 2(1 0.1)n 20.9n 299 ( n2)10 3,9n 2103所以， n=2 。3 、3.14159265 =0.314159265 ×10 ， 3.142 0.3142×10 ，m=1 。因?yàn)?.142 3.14159265 3.142 0.00040所 以 ， 3

33、.142 0.000400.0005=0.5 ×10 3 110 31101422所以， 3.142作為的近似值有 4 個(gè)有效數(shù)字。3.1415926L ,3.1415926L 3.141 0.00059 0.005 0.5 10 2 110 21101 322小數(shù)點(diǎn)后幾個(gè) 0 ，10 的指數(shù)的絕對(duì)值就是幾。4 、解：設(shè) x 有 n 位有效數(shù)字， 其第一位有效數(shù)字按最不利情況取為 9，則0.3%31101n21101 n1 10 n110002(91)102210 n，由上可得6 10n1000 ，n 2.2 ，所以取 n=2 。5 、解： x axb xc0.005110 2，2所以 m-n=-2。a=138.00=0.13800×10 3 ，則 m=3 ，所以 n=3-(-2)=5，即 a 有 5 位有效數(shù)字；b=-0.0132=-0.132×10 -1 ，則 m=-1，所以 n=-1-(-2)=1，所以 b 有 1 位有效數(shù)字。c=-0.86×10 -4 ，則 m= 4 ，所以 n= 4-(-2)=2<0 ，所以 c 沒(méi)有有效數(shù)字。6 、解：因