數(shù)值分析題庫及答案

1、模擬試卷（一）一、填空題（每小題3 分，共30 分）1有 3 個不同節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度是次的 .15232設(shè) A210， x4，則A=.， x 1 = _.14223已知 y=f(x)的均差（差商） f x0 , x1, x2 14, x2 , x3 15913， f x1， f x2 , x3, x4 ，8315f x0 , x2 , x3 那么均差 f x4 , x2 , x3 =.,34已知 n=4 時 Newton Cotes 求積公式的系數(shù)分別是：C0(4)7,C1(4 )16,C 2(4)2, 則904515C3(4) .5解初始值問題yf ( x, y)的改進的 Eul

2、er 方法是階方法；y(x0 )y05x13x20.1x336求解線性代數(shù)方程組2 x16x20.7 x32 的高斯塞德爾迭代公式為，x12x23.5x31若取 x(0)(1,1,1),則 x(1).7求方程 xf (x) 根的牛頓迭代格式是.8 0 ( x),1 (x),n ( x) 是以整數(shù)點 x0 ,x1 , xn , 為節(jié)點的 Lagrange 插值基函數(shù)，則nxk j ( xk ) =.k 09解方程組 Axb 的簡單迭代格式x( k 1)Bx( k)g 收斂的充要條件是.10 設(shè) f ( - 1 )1f ,( 0 ) f 0 ,( 1f )1 ,， 則 f ( x) 的 三 次 牛

3、 頓 插 值 多 項 式為，其誤差估計式為.二、綜合題 （每題 10 分，共 60 分）1求一次數(shù)不超過4 次的多項式 p( x) 滿足： p(1)15 ， p (1)20 ， p (1)30p(2) 57， p (2)72 .1A0 f ( 1 )A1 f (1) 的求積公式，并求出2構(gòu)造代數(shù)精度最高的形式為xf ( x)dx02其代數(shù)精度 .用法求方程 xln x2 在區(qū)間(2,)內(nèi)的根,要求 xkxk 11083Newtonxk.4用最小二乘法求形如yabx2 的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：xi19253038yi19.032.349.073.35用矩陣的直接三角分解法解方程組1020x150

4、101x23.1243x3170103x476 試用數(shù)值積分法建立求解初值問題yf (x, y)y(0)y0的如下數(shù)值求解公式y(tǒng)n 1yn 1h ( f n 14 f nfn 1 ) ，3其中(, ),1,1.fif xiyii nn n三、證明題 （ 10 分）設(shè) 對 任 意 的 x ， 函 數(shù) f ( x) 的 導(dǎo) 數(shù) f ( x) 都 存 在 且 0 mf ( x) M , 對 于 滿 足02的任意，迭代格式 xk 1xkf ( x ) 均收斂于 f ( x)0 的根 x* .Mk參考答案一、填空題15； 2.8,9;3.91； 4. 16； 5. 二；1545x1( k 1)6. x2

5、(k 1) x3(k 1)(3 3x2(k )0.1x3( k) ) / 5(22x1(k 1)0.7x3( k) ) / 6 , (0.02 ，0.22， 0.1543)(1x1( k 1)2x2(k 1) )*2 / 77. xk 1xkxkf (xk ) ; 8.xj ; 9.(B) 1;1f(xk )10.1 x3x21 x,f (4) ( )( x1)x( x1)( x 2) / 24( 1,2)66二、綜合題1差商表：11512015157120221512423085727257p(x)1520( x1)15(x1)27( x1)3( x1)3 (x2)54x 3x22x3x4其

6、他方法：設(shè) p( x)1520(x1)15(x1)27( x1)3(x1)3 (axb)令 p(2)57 ， p (2)72 ，求出 a 和 b.2取 f ( x)1, x ，令公式準(zhǔn)確成立，得：A0A11,1A11,A01,A11 .22A0336f ( x)x2 時，公式左右1； f (x)x3 時，公式左1,公式右52 .4524 公式的代數(shù)精度3此方程在區(qū)間(2,) 內(nèi)只有一個根s ，而且在區(qū)間（2， 4）內(nèi)。設(shè) f ( x)x ln x2則 f ' ( x)11f '' (x)1， Newton 法迭代公式為，x 2xxkln xk2xk (1 ln xk )

7、0,1,2,xk 1 xk11/ xkxk1， k取 x0 3 ，得 s x4 3.146193221。4span1, x2 ， AT1111， yT19.032.3 49.0 73.3 .192252302382解方程組TTT43330，A ACAy，其中 A A33303416082解得： C1.416650.0504305所以 a0.9255577 ， b0.0501025 .5解 設(shè)10201102001 01l 211u22u 23u2412 43l31l 321u33u3401 03l 41l 42l431u44由矩陣乘法可求出 u 和 lijij11l 21101l 31l 32

8、1121l 41l 42l 43 1010110201020u22u23u24101u33u3421u4421y1501y23解下三角方程組y3121170101y47有 y1 5 ， y23 ， y36 ， y44 .1020x15再解上三角方程組101x2321x362x44得原方程組的解為x11 ， x21 ， x32， x4 2.x6 解 初值問題等價于如下形式y(tǒng)( x) y( xn 1 )f (x, y( x)dx ，xn 1取 xxn 1 ，有 y(xn 1 )y(xn 1)xn 1xn 1f ( x, y( x)dx ，利用辛卜森求積公式可得yn 1yn三、證明題1h ( fn

9、1 4 f n fn 1) .3證明將 f ( x)0 寫成 xxf (x)( x) ，由于( x) xf ( x)1f ( x) ，所以 |( x) | |1f ( x) | 1所以迭代格式 xk1xkf (xk ) 均收斂于 f ( x)0 的根 x*.模擬試卷（二）一、填空題（每小題3 分，共 30 分）1分別用 2.718281 和 2.718282作數(shù) e 的近似值，則其有效位數(shù)分別有位和位 ；10212設(shè)A110， x3，則 A 1 = _ ， x 2 =.38213對于方程組2 x15x21Jacobi 迭代法的迭代矩陣是GJ =_.4 x2,10x134設(shè) f ( x) x 3

10、x1，則差商f 0, 1, 2, 3 =_ ， f0, 1, 2, 3,4=_.125已知 A, 則條件數(shù) Cond ( A) _.011f ( x1 ) 具有最高的代數(shù)精確度，則其求積6為使兩點的數(shù)值求積公式f ( x) dx f ( x0 )1基點應(yīng)為 x =_ ， x1 =_0yf ( x, y)yk 17解初始值問題近似解的梯形公式是y(x0 ) y08求方程 f (x)0 根的弦截法迭代公式是1xdx ，取 4位有效數(shù)字， 用梯形公式計算求得的近似值是， 用辛卜9. 計算積分0.5生公式計算的結(jié)果是10任一非奇異矩陣A 的條件數(shù) Cond ( A) ，其 Cond ( A) 一定大于

11、等于二、綜合題 （每題 10 分，共 60 分）1證明方程1xsin x 在區(qū)間 0,1 有且只有一個根，若利用二分法求其誤差不超過110 4 近似解，問要迭代多少次？22 已知常微分方程的初值問題：dyx ,1x1.2dxy,y(1)2試用改進的Euler 方法計算y(1.2) 的近似值，取步長h0.2 .335x1103 用矩陣的 LDLT 分解法解方程組359x216 .5917x3304用最小二乘法求一個形如y1的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合.abxx1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.168x 0.4 y0.4z15設(shè)方程組0.4xy0.8z2

12、 ，試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯賽德爾迭代0.4x0.8 yz3法的收斂性。4116按冪法求矩陣 A132 的按模最大特征值的近似值，取初始向量123x(0)(1,0,0)T ，迭代兩步求得近似值(2) 即可 .三、證明題 （ 10 分）已知求a (a0) 的迭代公式為：xk 11 ( xka )x00k0,1,22xk證明：對一切 k1,2,xka ， 且序列 x 是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂 .k參考答案一、填空題1 6，7； 2.9,11 ;3 .02.5;4. 1,0;5.9; 6.112.50,;337. ykh f ( xk , yk )f (xk 1 , yk 1 )

13、;28. xk 1xkf ( xk )( xx)； 9. 0.4268, 0.4309;10.A 1A , 1f ( xk )f ( xk 1)kk 1二、綜合題1 解 令 f ( x)1 xsin x ，則 f 0)(10，f (1)sin10，且 f (x)1 cosx0故 1x sin x 在區(qū)間 0,1內(nèi)僅有一個根 x* .利用二分法求它的誤差不超過1 10 4 的近似解，則| xk 1 x* |1110 44ln1022k 12解此不等式可得13.2877kln 2所以迭代14 次即可 .2、解：k1f ( x , y )0. 5 , kf (x ,yh k )0. 571429,0

14、02101y1y0h ( k1k)22 0. 1 (0. 5 0. 571429) 2. 107142923 3 51d11 l 21l313解設(shè)359l211d2d31l325917l31l3211利用矩陣乘法可求得d13 ， d22 ， d32， l211 ， l31523， l 3231y1104解方程組11y216得 y110,y26, y3，5y33033215d11113x1110再解方程組12x2d26得 x1, x1, x32.d31121x3434解令 Y1，則 Y abx 容易得出正規(guī)方程組y59a16.971，解得a2.0535, b3.0265 .9 17.8b35.3

15、902故所求經(jīng)驗公式為y1.2.05353.0265 x5 解0.40.4（ 1）由于 f J ()0.40.830.960.2560.40.8f J (1)10.980.2560 ， f J (2)8 1.96 0.256 0所以 fJ()0 在 (2, 1) 內(nèi)有根i 且 |i| 1，故利用雅可比迭代法不收斂 .0.40.4（ 2）由于 f G ()0.40.8(20.8320.128)0.40.8所以(G )0.832 ，故利用高斯賽德爾迭代法收斂 .6 解因為 x(0)1,0,0 T ，故x(0)1，且 y(1)Ax (0)4,T(1)max( y(1) )4 .1,1，從而得x(1)

16、y(1) /y(1)1,1 , 1T ，y(2)Ax(1) 9 ,9,9T ， (2)max( y(2) )9.442442三、證明題證明 :由于xk11 (xka )a,k0,1, 2,2xk故對一切k ， xkxk11a11) 1a ，又(12 )(1xk2xk2所以 xk1xk ，即序列 xk 是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂.模擬試卷（三）一、填空題（每小題3 分，共30 分）1設(shè) a 2.40315 是真值 x2.40194 的近似值，則 a 有位有效位數(shù)，相對誤差限為；2 若用二分法求方程f (x)0 在區(qū)間 1,2 內(nèi)的根，要求精確到第3 位小數(shù)，則需要對分次。3有 n 個節(jié)點

17、的高斯求積公式的代數(shù)精度為次 .4設(shè) ( x) xa(x25) ，要使迭代格式xk 1( xk ) 局部收斂到 x*5 ，則 a 的取值范圍是5設(shè)線性方程組Ax = b 有唯一解，在不考慮系數(shù)矩陣擾動的情況下，若方程組右端項的b，就一定能保證解的相對誤差x；擾動相對誤差xb9x1x28，則解此線性方程組的Jacobi 迭 代 公 式6給定線性方程組5x24x1是， Gauss-Seidel 迭代公式是nbAk f ( xk )7插值型求積公式f (x)dx 的求積系數(shù)之和是k 0a8數(shù)值求解初值問題的龍格-庫塔公式的局部截斷誤差是9. 已知函數(shù)f (0.4) 0.411, f (0.5)，用此

18、函數(shù)表作牛頓插值多0.578 , f (0.6) 0.697項式，那么插值多項式x2 的系數(shù)是21010 設(shè)A12a ，為使 A 可分解為 A = LLT ，其中 L 是對角線元素為正的下三角0a2矩陣，則 a 的取值范圍是。二、綜合題 （每題 10 分，共 60 分）1用 Newton 法求方程 x ln x2在區(qū)間 (2,)內(nèi)的根,xk xk 110 8.要求xk2設(shè)有方程組 x b，其中1011 21 2A22，1 3，已知它有解x1 3，如1b0222 30果右端有小擾動b110 6 ，試估計由此引起的解的相對誤差。23試用 Simpson 公式計算積分2e1/ x dx 的近似值 ,

19、 并估計截斷誤差 .14設(shè)函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 試用埃爾米特插值法求一個次數(shù)不高于3的多項式 P3 ( x) ，使其滿足 P3 (0)0, P3 (1)1, P3 (1) 3, P3 (2) 1，并寫出誤差估計式。2105A121 ，給出用古典Jacobi 方法求 A 的特征值的第一次迭代運算。012y ' y0證明其近似解為6用梯形方法解初值問題，y(0)1時，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解y e x 。三、證明題 （ 10 分）nnk若 f (x)ai xi 有 n 個不同的實根，證明xji 1i 1f ( xj )參考答案2hnyn，并證明當(dāng)h 02

20、h0,0kn 21,kn.1an一、填空題1. 3,0.510-3 ;2.10;3.2 n -1 ;4.15a0 ;5. cond( A) ;x( k 1)(8 x2(k) )/ 9x(k 1)(8 x2(k) ) / 96.1,k 0,1, ,1, k 0,1,x( k 1)(4x(k 1)(4x(k) )/ 5x( k 1) ) /521217.b a ;8.O(h5 ) ; 9. 2.4; 10 .3a3二、綜合題此方程在區(qū)間(2,) 內(nèi)只有一個根s，而且在區(qū)間（2， ）內(nèi)。設(shè) f ( x) x ln x 214則 f ' ( x)11( x)1， f ''， N

21、ewton 法迭代公式為xx2xk 1xkxkln xk2 xk (1ln xk ) ， k 0,1,2,11/ xkxk1取 x03 ，得 sx43.146193221。111xb2解A 121 1.5， Cond ( A)22.5 ，由公式Cond ( A)x，有211bx110 622.521.6875105x2 332 1/ xdx211/1.51/ 2)2.0263, f(4)(11236241/ xe(e 4ee8765)e，16xxxxmax f ( 4) ( x)f (4) (1)198.43 ，1x 2截斷誤差為 R2( 21)5f ( 4) (x)0.068902880ma

22、x1 x 25 x37 x4由所給條件可用插值法確定多項式P (x) ， P3 (x)7x2322( 由題意可設(shè) R( x)f ( x)P3 ( x)k( x) x( x1)2 ( x2) 為確定待定函數(shù)k( x) ，作輔助2函數(shù)：g( t)f ( t )P ( t)k( x)t ( t1) (t2),則 g(t ) 在 0,3 上存在四階導(dǎo)數(shù)且在30,3 上至少有5 個零點 tx, t0,1,2（ t 0為二重零點），反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，知至少有一個零點(0,3) ，使 g (4) ( )0 ，從而得 k(x)1 f (4) () 。故誤差估計式為14!R( x)f (4) () x( x1)

23、2 ( x2) ，(0,3) 。4!5 首 先 取 i1, j2， 因 co t 20，故有1， 于 是 c o ssi n4211022V (0)V12 ()110，22001A(1)V (0)A(0)V (0) T1101101122202102211111012100222230122001001112226. 梯 形 公 式 為 yn 1ynhf ( xn 1, yn 1) ， 由 f ( x, y)，y f ( xn , yn )得h ( yn yn 1 ) ，2yn 1yn2所以 yn 1( 2h) yn( 2h) 2 yn 1( 2h ) n1 y0( 2h )n 1 ，用上述梯

24、形公式以步2h2h2h2h長 h 經(jīng) n 步計算得到y(tǒng)n ，所以有 hnx ，所以lim ynlim( 2h )nlim(2 h ) hxe x h 0h02hh 02h三、證明題nai xi有 n證 明由 于f ( x)個不同的實根，故i1f ( x) an ( x x1 )( x x2 ) ( x xn ) an wn ( x) , 于是nxkjnxkj1 nxkji 1 f ( x j )i 1 an wn ( xj )an i 1 wn ( xj )記 g( x)xknxkj1 ng( xj )1，則g x1, x2 , , xn ，i 1 f (x j )an i 1 wn (x j

25、 ) annk0,0 kn2再由差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系知x j1 ,.i 1 f (x j )k n 1an模擬試卷（四）一、填空題（每小題3 分，共 30 分）1 為 了 減 少 運 算 次 數(shù) ， 應(yīng) 將 算 式 y 1248改 寫2 x 3(2 x 3)2(2 x 3)3為，為減少舍入誤差的影響，應(yīng)將算式980 改寫為。1112A211，A1， A。3213xg( x)的根xg ' ( x* ) 1，則設(shè)在* 附近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)時迭代過程 xk 1g( xk ) 是線性收斂的，則當(dāng)時迭代過程 xk 1g( xk ) 是平方收斂的。4設(shè) Aa10，則當(dāng) a 滿足時，有 lim Ak001k5用列主元消去法解線性方程組Ax = b 時，在第 k 1 步消元時，在增廣矩陣的第k 列取主元 a rk(k1)，使得 ark(k 1)。6已知函數(shù)f (0)1, f (1) 3 ,f (2)7 ，則 f 0,1=， f 0,1,2 =， f (x) 的二次牛頓插值多項式7求解方程 f ( x)0