滲流力學(xué)_第四章彈性微可壓縮液體的不穩(wěn)定滲流

1、1.彈性不穩(wěn)定滲流的物理過程彈性不穩(wěn)定滲流的物理過程2.無限大地層彈性不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型典型無限大地層彈性不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型典型解解3.彈性不穩(wěn)定滲流的迭加與映射彈性不穩(wěn)定滲流的迭加與映射4.圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)時(shí)近似解圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)時(shí)近似解5.帶時(shí)間常數(shù)變量邊界條件的不穩(wěn)定滲流帶時(shí)間常數(shù)變量邊界條件的不穩(wěn)定滲流杜杜哈美原理哈美原理6.不穩(wěn)定試井不穩(wěn)定試井 當(dāng)?shù)貙訅毫χ饾u下降時(shí)，原來處于壓縮狀態(tài)的可壓當(dāng)?shù)貙訅毫χ饾u下降時(shí)，原來處于壓縮狀態(tài)的可壓縮流體就要發(fā)生膨脹，迫使部分流體從地層流入井底?？s流體就要發(fā)生膨脹，迫使部分流體從地層流入井底。當(dāng)壓力下降后當(dāng)壓力下降后,巖石顆粒

2、膨脹，巖石孔隙體積減小，又從巖石顆粒膨脹，巖石孔隙體積減小，又從地層排出部分液體。地層排出部分液體。 在油田開發(fā)初期，地層壓力在油田開發(fā)初期，地層壓力高于高于飽和壓力，主要依飽和壓力，主要依靠巖石與原油的彈性能量開采，稱這種方式為靠巖石與原油的彈性能量開采，稱這種方式為“彈性彈性驅(qū)動(dòng)方式驅(qū)動(dòng)方式”。 彈性驅(qū)動(dòng)時(shí)，因地層內(nèi)壓力隨彈性驅(qū)動(dòng)時(shí)，因地層內(nèi)壓力隨時(shí)間時(shí)間而變，因此為而變，因此為不不穩(wěn)定滲流方式穩(wěn)定滲流方式。壓力降從井底開始逐漸向外傳播。壓力降從井底開始逐漸向外傳播。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論條件：條件：儲(chǔ)集層外有廣大的含水區(qū)，能充分地向地層補(bǔ)給儲(chǔ)集層外有廣大的含水

3、區(qū)，能充分地向地層補(bǔ)給彈性能量，認(rèn)為彈性能量，認(rèn)為補(bǔ)給邊緣上的壓力保持不變補(bǔ)給邊緣上的壓力保持不變。1.油井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)，地層壓力的傳播油井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)，地層壓力的傳播PeBQt1t2tBt第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論特點(diǎn)特點(diǎn)a.壓力下降速度減慢，最后趨于穩(wěn)定壓力下降速度減慢，最后趨于穩(wěn)定b.壓力穩(wěn)定前，井產(chǎn)量壓力穩(wěn)定前，井產(chǎn)量一部分一部分來自壓降區(qū)來自壓降區(qū)域的域的彈性膨脹彈性膨脹，另部分來自邊水另部分來自邊水。c.穩(wěn)定后，井底流量與邊水浸入量相等。穩(wěn)定后，井底流量與邊水浸入量相等。特點(diǎn)特點(diǎn)a.壓力不斷下降，壓降區(qū)域不斷擴(kuò)大壓力不斷下降，壓降區(qū)域不斷擴(kuò)大b.井產(chǎn)量來

4、自壓降區(qū)域內(nèi)的井產(chǎn)量來自壓降區(qū)域內(nèi)的彈性膨脹彈性膨脹第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論P(yáng)eBQ仍可分壓力波傳播的第一階段和第二階段仍可分壓力波傳播的第一階段和第二階段t1t2t第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論條件條件：儲(chǔ)層外邊無能量補(bǔ)充，為一儲(chǔ)層外邊無能量補(bǔ)充，為一 不滲透的不滲透的封閉邊界。封閉邊界。1. 井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)的壓力波傳播井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)的壓力波傳播BQt1t2tBt第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論ttB 時(shí)為壓力波傳播的第二階段時(shí)為壓力波傳播的第二階段 在第二階段，由于無外來流體能量補(bǔ)給，在第二階段，由于無外來流體能量補(bǔ)給，油

5、藏壓力將繼續(xù)下降，下降到一定時(shí)間各點(diǎn)的油藏壓力將繼續(xù)下降，下降到一定時(shí)間各點(diǎn)的壓降速度趨于一致，稱壓降速度趨于一致，稱“擬穩(wěn)定狀態(tài)擬穩(wěn)定狀態(tài)”。擬穩(wěn)定狀態(tài)擬穩(wěn)定狀態(tài)：封閉油藏彈性滲流過程中，井以定：封閉油藏彈性滲流過程中，井以定產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)，壓力波傳到邊界后經(jīng)過一定時(shí)間，產(chǎn)量生產(chǎn)時(shí)，壓力波傳到邊界后經(jīng)過一定時(shí)間，地層內(nèi)各點(diǎn)的地層內(nèi)各點(diǎn)的壓降速度相等壓降速度相等時(shí)的階段，稱時(shí)的階段，稱“擬穩(wěn)擬穩(wěn)定狀態(tài)定狀態(tài)”。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論2.井底壓力保持不變井底壓力保持不變 第一階段與前相同，進(jìn)入第二階段后，壓第一階段與前相同，進(jìn)入第二階段后，壓力不斷下降，產(chǎn)量不斷減小，直到

6、產(chǎn)量為零。力不斷下降，產(chǎn)量不斷減小，直到產(chǎn)量為零。BQt1t2t第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流的數(shù)學(xué)模型為：彈性不穩(wěn)定滲流的數(shù)學(xué)模型為：11222222 tPzPyPxP 式中式中 =K/c 稱導(dǎo)壓系數(shù)。當(dāng)稱導(dǎo)壓系數(shù)。當(dāng)K為為m2, 為為mPa.s, c為為1/10-1MPa時(shí)，時(shí)， 為為cm2/s,表示表示單單位時(shí)間內(nèi)壓降傳播的面積位時(shí)間內(nèi)壓降傳播的面積。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論取極坐標(biāo)，則取極坐標(biāo)，則2式為：式為： 31r122 tPrPrP 設(shè)有均勻、等厚、水平無限大地設(shè)有均勻、等厚、水平無限大地 層中心一層中心一口井進(jìn)行彈性不

7、穩(wěn)定滲流，則流動(dòng)為平面二維口井進(jìn)行彈性不穩(wěn)定滲流，則流動(dòng)為平面二維流動(dòng)，數(shù)學(xué)模型為：流動(dòng)，數(shù)學(xué)模型為：212222 tPyPxP第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 井以恒定產(chǎn)量井以恒定產(chǎn)量Q生產(chǎn)時(shí)，有相應(yīng)的初始邊界條件為：生產(chǎn)時(shí)，有相應(yīng)的初始邊界條件為：t=0, p=po (0r )4 0 t)(constrPrkh2Q rrw下面用下面用Boitzmann變換求解上數(shù)學(xué)模型，設(shè)變換求解上數(shù)學(xué)模型，設(shè)5 t42ru對對r和和t分別求偏導(dǎo)：分別求偏導(dǎo)：6 t2rru7 t422rtu第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論式改寫為式改寫為 ： 81)(r1 tPrPrr

8、式對中間變量式對中間變量u進(jìn)行微分：進(jìn)行微分： 91)(r1 tududPrurududPrdud將將.式代入：式代入：10) t2() t2( t2r122 dudPrdudPrdudr第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論化簡為：化簡為： 11 dudPu)dudPu(dud或或 12 dudPu)dudP(dudududPdudPP又設(shè)：又設(shè)：則則式為：式為：u130 uPdudPP第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論分離變量分離變量:14)1( du uuPdP得得15 1 CuuLnPLn式中式中C1為積分常數(shù)為積分常數(shù),則則: 16 221 ue C eC

9、PuuLnuC2為常數(shù)為常數(shù),即即: 17 2ueCdudPu第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論又有達(dá)西公式又有達(dá)西公式:2ut 222 dudPrdudPrududPrKhQrPr 則則18 14dudPuKhQ由由式式: 19 eC4 : ueC14 u-2-u2KhQuKhQ 即即第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 20 4dudP ueKhQu t=0時(shí)時(shí), u=, P=Pot=t時(shí)時(shí), u=u, P=P(r,t)又又對對式分離變量積分式分離變量積分: 21 4Po-t)P(r, 4 ),(uuuutrpPoduueKhQduueKhQdP 則則第四章第

10、四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 22 ) 4( 2trEduueduueiuuuu稱稱為為冪冪積積分分函函數(shù)數(shù)并并令令式式中中 從而求得地層中任意點(diǎn)從而求得地層中任意點(diǎn)(距井距井r處處),在任意在任意t時(shí)刻的壓時(shí)刻的壓力表達(dá)式力表達(dá)式: 23 ) 4(4),(2trEKhQtrPPoi 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 當(dāng)當(dāng)u增加增加(r增加或減小增加或減小時(shí)時(shí))， -Ei(-u)減小，減小，Pi-P(r,t)變小，而變小，而P(r,t)值增加，即值增加，即距井越遠(yuǎn)處壓降越小，壓距井越遠(yuǎn)處壓降越小，壓力值越大；時(shí)間力值越大；時(shí)間t越大時(shí)，越大時(shí)，u越小，越小， -

11、Ei(-u)值大，則壓值大，則壓降值大，壓力降值大，壓力P(r,t)變小。變小。冪積分函數(shù)冪積分函數(shù))t 4()(2rEuEii 的變化趨勢如圖。的變化趨勢如圖。u-Ei(r,t)第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 24 ) 4(42trEKhQPi Ei(-u)可查數(shù)學(xué)手冊中冪積分函數(shù)表?？刹閿?shù)學(xué)手冊中冪積分函數(shù)表。又已知冪積分函數(shù)可展開為：又已知冪積分函數(shù)可展開為： 22222i)t 4r(41t 4r5772. 0rt 4Ln)t 4r(E如研究的是注水井，注入量取如研究的是注水井，注入量取-Q,地層中任意點(diǎn)壓地層中任意點(diǎn)壓力增值為：力增值為：第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流

12、理論彈性不穩(wěn)定滲流理論2222 .2525772. 0 4) 4(0.25% tr,01. 0 4 rtLnrtLntrEtri 近近似似值值誤誤差差不不超超過過取取前前兩兩項(xiàng)項(xiàng)，其其精精確確值值與與較較大大時(shí)時(shí)，可可近近似似很很小小或或即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 25 2.25Ln4),( 2301. 0 422rtKhQtrPPotr 式式簡簡化化為為：時(shí)時(shí)，即即第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論對于井底對于井底 r = Rw, 則一般則一般01. 0t 42 Rw滿足近似條件，井底壓力隨時(shí)間的變化規(guī)律為：滿足近似條件，井底壓力隨時(shí)間的變化規(guī)律為： 26 2.25Ln4)( 2wRtKh

13、QtPwPo 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論例例：在一較大的新油田上，有一完善井，地下恒定流：在一較大的新油田上，有一完善井，地下恒定流量為量為100m3 /D投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)，Rw=10cm, o=2mPaS, h=10m, K=0.5 m2,=10000cm2 /s,預(yù)測井底壓降情況。預(yù)測井底壓降情況。解：解：t=0.1天時(shí)，天時(shí)，01. 01 . 086400104100t 442 Rw可用近似公式計(jì)算，則可用近似公式計(jì)算，則1001025. 286400105 . 04210100 25. 244362tLnrtLnKhQPw 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性

14、不穩(wěn)定滲流理論T(天天)00.250.5123455.255.5067 Pw(10-1MPa)05.675.936.186.446.596.696.776.796.816.846.90計(jì)算得：計(jì)算得：第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 公式公式 是井以恒定條件下推導(dǎo)的是井以恒定條件下推導(dǎo)的 ,對于產(chǎn)對于產(chǎn)量量呈階梯狀變化呈階梯狀變化的情況的情況,應(yīng)對產(chǎn)量進(jìn)行迭加應(yīng)對產(chǎn)量進(jìn)行迭加. 如圖如圖,產(chǎn)量共有產(chǎn)量共有n個(gè)個(gè)變化過程變化過程,可把流量變化可把流量變化過程看作是過程看作是n個(gè)流動(dòng)過個(gè)流動(dòng)過程的迭加程的迭加:第一流動(dòng)過程第一流動(dòng)過程t1時(shí)刻時(shí)刻,其流量為其流量為Q1-Q0=Q1

15、,第二流動(dòng)過程始第二流動(dòng)過程始于于t2時(shí)刻，其流量為時(shí)刻，其流量為Q2-Q1；第；第n個(gè)流動(dòng)過程始個(gè)流動(dòng)過程始于于tn時(shí)刻時(shí)刻,其流量為其流量為Qn-Qn-1 ，各流動(dòng)分別在，各流動(dòng)分別在t時(shí)時(shí)刻產(chǎn)生一壓降刻產(chǎn)生一壓降Pj。Q0QQ2Q1Q3Qnt1=0t2t3tntt第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 27 )( 4(4)( . )( 4(4)( )( 4(4)( P.PPP),( P 2122121201n321ninniittrEKhQQttrEKhQQttrEKhQQtrPPo 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 28 )( 4( )(42111jinj

16、jjnjjttrEQQKhPP 或或?qū)?yīng)近似公式有對應(yīng)近似公式有 29 )( 25. 2)(4 ),(211rttLnQQKhtrPPoPjnjjj 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論例例：無限大地層中有一口生產(chǎn)井，其產(chǎn)量變化如圖：無限大地層中有一口生產(chǎn)井，其產(chǎn)量變化如圖所示，推導(dǎo)所示，推導(dǎo)t時(shí)刻井底壓力表達(dá)式時(shí)刻井底壓力表達(dá)式Q0QQ2Q1Q3Qnt1=0t2t3t4tt第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論解解：求井底壓力變化，用近似公式：求井底壓力變化，用近似公式(why?)243423232212214321)( 25.24)( )( 25.24)( )(

17、25.24)( )0( 25.24)0( PPPP),( P wwwwwRttLnKhQQRttLnKhQQRttLnKhQQRtLnKhQtrPPo 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論則井底壓力表達(dá)式為：則井底壓力表達(dá)式為： )( 25.2 )( 25.2 )( 25.2)( 25.24 )( 244233221221wwwwwRttLnQRttLnQRttLnQQRtLnQKhPotP 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 迭加原理可以處理多井生產(chǎn)時(shí)，滲流場中壓力的變化；迭加原理可以處理多井生產(chǎn)時(shí)，滲流場中壓力的變化；鏡像反映法可以處理邊界對滲流場影響。鏡像反

18、映法可以處理邊界對滲流場影響。一、迭加原理一、迭加原理 彈性滲流時(shí)，在生產(chǎn)井周圍壓力不斷降低，在注水彈性滲流時(shí)，在生產(chǎn)井周圍壓力不斷降低，在注水井周圍壓力不斷增加，在整個(gè)滲流場中形成一總的合成井周圍壓力不斷增加，在整個(gè)滲流場中形成一總的合成流動(dòng)。研究表明，多井工作時(shí)形成的總壓降等于各井單流動(dòng)。研究表明，多井工作時(shí)形成的總壓降等于各井單獨(dú)工作時(shí)在該點(diǎn)該時(shí)刻形成的總壓降之和，即壓降的迭獨(dú)工作時(shí)在該點(diǎn)該時(shí)刻形成的總壓降之和，即壓降的迭加原理。（加原理。（2004年研究生考題年研究生考題）注意是壓降的疊加，而不是壓力的疊加。注意是壓降的疊加，而不是壓力的疊加。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定

19、滲流理論 設(shè)油田有設(shè)油田有n口井，氣流量分別為口井，氣流量分別為Q1, Q2, Q3,. Qn,則則該井的壓降計(jì)算公式為：該井的壓降計(jì)算公式為： 1 )( 4(4),(2jijjojttrEKhQtrPPP 式中：式中：Qj 第第j口井單井產(chǎn)量；口井單井產(chǎn)量； Pj 第第j口井在口井在r處處t時(shí)刻產(chǎn)生的壓降；時(shí)刻產(chǎn)生的壓降； rj 任意點(diǎn)到任意點(diǎn)到j(luò)井的距離；井的距離； tj 第第j口井開始生產(chǎn)的時(shí)間；口井開始生產(chǎn)的時(shí)間； t 任意生產(chǎn)時(shí)刻。任意生產(chǎn)時(shí)刻。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 2 )( 4(4 ),(211jjinjjnjjottrEKhQPtrPPP 由迭加原理

20、，由迭加原理，n口井產(chǎn)生的總壓降為：口井產(chǎn)生的總壓降為：例例: 某油田一探井以某油田一探井以20t/d投產(chǎn)，生產(chǎn)投產(chǎn)，生產(chǎn)15天后距該井天后距該井1000m處，有一新井以處，有一新井以40t/d投入生產(chǎn)。求第一口井生產(chǎn)投入生產(chǎn)。求第一口井生產(chǎn)30天后井底壓力降為多少？已知天后井底壓力降為多少？已知 K=0.25m2,Rw=10cm, o=9mPas, h=12m, o=0.85, c =1.810-5/10-1MPa, Bo=1.12。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論) s/cm(610Q) s/cm(305864001012. 185. 0208640010BMQ/s)(c

21、m 1543108 . 1925. 0cK32366oo1125 01.086400301543410 4 212 tRw因因則則 第一口井可用近似公式計(jì)算壓降第一口井可用近似公式計(jì)算壓降P101.086400)1530(15434)10( 4 25222 tr因因則則 第二口井不能用近似公式計(jì)算壓降第二口井不能用近似公式計(jì)算壓降P2第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論由迭加原理：由迭加原理：MPa)1013.6( 147.0120025.04961013.34 )864001515434)10(120025.049610 1086400301543.252120025.0493

22、05 ) 4(4 .2524 1252222221121 iiwELntrEKhQRtLnKhQPPP第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論33，34，35，39，40作業(yè)第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 當(dāng)源、匯靠近供給邊界、不滲透邊界時(shí)，應(yīng)當(dāng)源、匯靠近供給邊界、不滲透邊界時(shí)，應(yīng)該按鏡像反映法取消邊界。該按鏡像反映法取消邊界。 與穩(wěn)定滲流中的鏡像反映法一樣，供給邊緣與穩(wěn)定滲流中的鏡像反映法一樣，供給邊緣附近的井作異號反映，不滲透邊界的井作同號反附近的井作異號反映，不滲透邊界的井作同號反映，同時(shí)應(yīng)注意邊界一起反應(yīng)。映，同時(shí)應(yīng)注意邊界一起反應(yīng)。第四章第四章 彈性不穩(wěn)

23、定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)時(shí)精確解比較復(fù)雜，圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)時(shí)精確解比較復(fù)雜，可利用擬穩(wěn)態(tài)時(shí)的特性進(jìn)行近似求解?？衫脭M穩(wěn)態(tài)時(shí)的特性進(jìn)行近似求解。擬穩(wěn)態(tài)擬穩(wěn)態(tài)：在封閉油藏彈性滲流過程中，當(dāng)壓力降傳到邊界：在封閉油藏彈性滲流過程中，當(dāng)壓力降傳到邊界 一一 段時(shí)間后，油層內(nèi)各點(diǎn)壓降速度相等時(shí)的狀態(tài)。段時(shí)間后，油層內(nèi)各點(diǎn)壓降速度相等時(shí)的狀態(tài)。設(shè)彈性滲流仍服從線性滲流定律，則：設(shè)彈性滲流仍服從線性滲流定律，則： 1 drdPKV第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 2 )PP(CV V RRPP,P ofLweo的的液液體體體體積積為為：的的彈

24、彈性性能能向向外外排排擠擠出出來來范范圍圍內(nèi)內(nèi)依依靠靠流流體體及及巖巖石石時(shí)時(shí)在在降降至至則則油油層層內(nèi)內(nèi)壓壓力力從從設(shè)設(shè)地地層層平平均均壓壓力力為為式中：式中： C 綜合壓縮系數(shù)綜合壓縮系數(shù) Vf =（Re2- Rw2 ）h式對時(shí)間求導(dǎo)：式對時(shí)間求導(dǎo)：dtPdhR-C dtPd)hR-(R-C dtPdCVdtdVQ2e2w2efL 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論因在擬穩(wěn)態(tài)下，各點(diǎn)壓降速度相等，則：因在擬穩(wěn)態(tài)下，各點(diǎn)壓降速度相等，則：地地層層內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)壓壓降降速速度度tP 4 hRCQdtPdtP2e 由由式：式： 5 KhRQ)hRCQ(KCtP12e2e第四章第四章

25、 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 則圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)情況下滿足以下則圓形封閉地層中心一口井?dāng)M穩(wěn)態(tài)情況下滿足以下數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型： 6 KhRQ)rPr(rr12eP(Rw,t)=Pw(t) 8 0|rP)t ,R(erKhRQ)rPr(r 62e 式式：由由 9 )t (CrKhR2QrPr 122e則則第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 10 Kh2Q)t (C )t (CKh2Q0 811：代代入入則則式為：式為：Kh2QrKhR2QrPr22e 分離變量為：分離變量為： 11 )t (CLnrKh2QrKhR4QP222e第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論

26、彈性不穩(wěn)定滲流理論代入邊界條件代入邊界條件: 12 ) t (CLnRKh2QRKhR4Q) t (P2w2w2ew：w2w22ewRrLnKh2Q)Rr (KhR4Q) t (PP w2e2wRrLnKh2Q)Rr(Kh4Q) t (P) t ,r(P 13 )Rr21RrLn(Kh2Q)t(P)t,r(P2e2ww第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 若邊界條件壓力若邊界條件壓力Pe(t)已知，可得已知，可得P(r,t)的另一表達(dá)式，此時(shí)的另一表達(dá)式，此時(shí)定解問題為：定解問題為： 14 KhRQ)rPr(rr12eP(Re,t)=Pe(t) 16 0|rP)t ,R(e同樣有

27、：同樣有： 17 )t (CLnrKh2QrKhR4QP222e把把式代入：式代入： 18 )t (CLnRKh2QKh4Q)t (P2ee第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論：e2e2eRrLnKh2Q)Rr1(Kh4Q) t (P) t ,r(P )Rr1(21RrLnKh2Q)t (P)t ,r(P2e2ee 19 )Rr1(21rRLnKh2Q)t(P)t,r(P2e2ee當(dāng)當(dāng)r=Rw時(shí)，且考慮時(shí)，且考慮Re2 Rw2，則井底壓力表達(dá)式：，則井底壓力表達(dá)式： 20 )21RRLn(Kh2Q)t(P)t(Pweew第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 擬穩(wěn)態(tài)時(shí)

28、，圓形封閉地層平均壓力計(jì)算：擬穩(wěn)態(tài)時(shí)，圓形封閉地層平均壓力計(jì)算：由由面積加權(quán)平均法面積加權(quán)平均法，有平均地層壓力為：，有平均地層壓力為： 21 )RR(rdr2PP2w2eRRew(1) 當(dāng)當(dāng)Pw(t)已知時(shí)，把已知時(shí)，把(13)代入得：代入得： 22 )43RRLn(Kh2Q)t(P)t(Pwew第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論(2) 當(dāng)當(dāng)Pe(t)已知時(shí)，把已知時(shí)，把(20)代入得：代入得： 23 Kh8Q)t(P)t(Pw 由以上公式，可進(jìn)行彈性滲流法的動(dòng)態(tài)預(yù)測。當(dāng)產(chǎn)量由以上公式，可進(jìn)行彈性滲流法的動(dòng)態(tài)預(yù)測。當(dāng)產(chǎn)量恒定時(shí)，給定時(shí)間恒定時(shí)，給定時(shí)間t，得相應(yīng)總排量：，得相

29、應(yīng)總排量：V=Qt的的關(guān)關(guān)系系曲曲線線。以以作作出出時(shí)時(shí)刻刻計(jì)計(jì)算算出出，再再由由求求出出由由tP)t (P, )t (Pt2322)t (P (t)P-)(PR-(RCV ewo2w2e 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 21dr )r2R1-rLnR-Lnr(r Kh)RR(22Q rdr2) t (P)RR(1 rdr)2Rr21-Rr(LnKh2Q) t (P)RR(1) t (PewewewRR32ew2w2e2RRw2w2e2e2wRRw2w2e第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論R8R8RLnR2RLnR2R )412LnR(R)412LnR(RK

30、h)RR(Q) t (P R8rLnR2r)412Lnr(r Kh)RR(Q )RR(21)RR(2) t (P) t (P2e4e2ew2ww2ew2we2e2w2ewRR2e4w222w2e2w2e2w2ewew C)412Lnr(rLnrdrr 2 因因第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論忽略忽略Rw2項(xiàng)，整理有：項(xiàng)，整理有：)43RRLn(Kh2Q) t (P ) t (Pwew 作業(yè)：作業(yè)：41第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論4-5 帶時(shí)間變量邊界條件的不穩(wěn)定滲流帶時(shí)間變量邊界條件的不穩(wěn)定滲流 杜哈美原理杜哈美原理 在實(shí)際的滲流問題中，會(huì)有大量的帶時(shí)間

31、變量的邊界在實(shí)際的滲流問題中，會(huì)有大量的帶時(shí)間變量的邊界條件的不穩(wěn)定滲流，如求解變產(chǎn)量總匯的不穩(wěn)定滲流問題。條件的不穩(wěn)定滲流，如求解變產(chǎn)量總匯的不穩(wěn)定滲流問題。杜哈美（杜哈美（Duhamel）原理則是解決這類問題的有效工具。）原理則是解決這類問題的有效工具。一、杜哈美原理和迭加原理一、杜哈美原理和迭加原理二、變產(chǎn)量不穩(wěn)定滲流的匯源解二、變產(chǎn)量不穩(wěn)定滲流的匯源解第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論不穩(wěn)定試井不穩(wěn)定試井：利用油井以某一產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)或生產(chǎn)一定：利用油井以某一產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)或生產(chǎn)一定時(shí)間后關(guān)井時(shí)所實(shí)測的井底壓力隨時(shí)間變化的資料，用時(shí)間后關(guān)井時(shí)所實(shí)測的井底壓力隨時(shí)間變化的資料

32、，用以反求地層參數(shù)的方法。以反求地層參數(shù)的方法。不穩(wěn)定試井可求解如下問題：不穩(wěn)定試井可求解如下問題：1. 確定井底附近或兩井之間的地層確定井底附近或兩井之間的地層導(dǎo)壓系數(shù)導(dǎo)壓系數(shù)，流動(dòng)流動(dòng)系數(shù)系數(shù)Kh/等地層參數(shù)；等地層參數(shù)；2. 推算推算地層壓力地層壓力；3. 判斷油井完善程度及估計(jì)油井判斷油井完善程度及估計(jì)油井增產(chǎn)效果增產(chǎn)效果；4. 發(fā)現(xiàn)油層中可能存在的各種類型發(fā)現(xiàn)油層中可能存在的各種類型邊界邊界（斷層、尖滅、（斷層、尖滅、油水界面等）；油水界面等）；5. 估計(jì)泄油面積內(nèi)的估計(jì)泄油面積內(nèi)的原油儲(chǔ)量原油儲(chǔ)量。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論目前常用的有兩種方法：目前常用的有

33、兩種方法：壓力降落法壓力降落法和和壓力恢復(fù)法壓力恢復(fù)法。一、開井壓力降落試井法一、開井壓力降落試井法 圓形封閉地層開井生產(chǎn)井圓形封閉地層開井生產(chǎn)井底壓力降落曲線可分為三個(gè)階底壓力降落曲線可分為三個(gè)階段：段：、不穩(wěn)定早期，壓力傳到邊、不穩(wěn)定早期，壓力傳到邊界前的第一階段；界前的第一階段；、不穩(wěn)定晚期，壓力傳到邊、不穩(wěn)定晚期，壓力傳到邊界后，擬穩(wěn)定狀態(tài)形成前的階界后，擬穩(wěn)定狀態(tài)形成前的階段；段；、擬穩(wěn)定期。、擬穩(wěn)定期。tPwf(t)第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論1.不穩(wěn)定早期壓降分析及應(yīng)用不穩(wěn)定早期壓降分析及應(yīng)用 在不穩(wěn)定早期，地層中任一點(diǎn)的壓力變化用無限大地層在不穩(wěn)定早期，地

34、層中任一點(diǎn)的壓力變化用無限大地層典型解表示：典型解表示： 1 )t 4r(EKh4Q) t , r(PP2io井底壓力隨時(shí)間的變化式為：井底壓力隨時(shí)間的變化式為： 2 )t 4R(EKh4QP)t (P2wiowf有有：時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 01.0t 4R 2w 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 3 t mLg-A t LgKhQ183.0R 2.25LgKhQ183.0P Rt 2.25LnKh4QP) t (P 2wo2wowf 5 KhQ183.0 m 4 R 2.25LgKhQ183.0PA 2wo式式中中：第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 因此以因此以Pw

35、f(t)為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，以以Lg t為縱坐標(biāo)，在半對數(shù)為縱坐標(biāo)，在半對數(shù)坐標(biāo)中坐標(biāo)中Pwf(t)t呈直線關(guān)系，呈直線關(guān)系，其截距為其截距為A,斜率為斜率為m。Pwf(t)Lg t由由 式可求得地層參數(shù)，式可求得地層參數(shù)，其中流動(dòng)系數(shù)為：其中流動(dòng)系數(shù)為： mQ183.0Kh 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論2、擬穩(wěn)定期壓降曲線分析及應(yīng)用、擬穩(wěn)定期壓降曲線分析及應(yīng)用 由圓形封閉地層彈性滲流數(shù)學(xué)模型，用拉普拉斯變換，由圓形封閉地層彈性滲流數(shù)學(xué)模型，用拉普拉斯變換，可得井底壓力為：可得井底壓力為： 6 )(J)R(J)R(Je243-RRLnRt 2Kh2QP) t (P1211

36、2121121Rt -we2eowf2w21當(dāng)當(dāng)t 時(shí)，時(shí)， e的負(fù)指數(shù)趨于零，有：的負(fù)指數(shù)趨于零，有：第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 8 R 2Kh2Qm 43-RRLnKh2QPD 2eweo式式中中： 7 mt -D Rt 2Kh2Q43-RRLnKh2QP 43-RRLnRt 2Kh2QP)t (P2eweowe2eowf第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 因此以因此以Pwf(t)為縱坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，以以t為橫坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)為橫坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中系中Pwf(t)t呈直線，截距呈直線，截距為為D，斜率為，斜率為m，利用，利用m可可求出地層儲(chǔ)量。求出

37、地層儲(chǔ)量。Pwf(t) t 一般用壓降曲線一般用壓降曲線早期早期段段求流動(dòng)系數(shù)求流動(dòng)系數(shù)Kh/,用用擬穩(wěn)定流擬穩(wěn)定流動(dòng)動(dòng)段段求地層儲(chǔ)量求地層儲(chǔ)量。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論二、關(guān)井壓力恢復(fù)試井法二、關(guān)井壓力恢復(fù)試井法1、壓力恢復(fù)試井的基本公式、壓力恢復(fù)試井的基本公式赫諾（赫諾（Horner）公式）公式 設(shè)某井以產(chǎn)量設(shè)某井以產(chǎn)量Q生產(chǎn)生產(chǎn)T時(shí)間后時(shí)間后關(guān)井關(guān)井，則關(guān)井效應(yīng)可看，則關(guān)井效應(yīng)可看成原井成原井繼續(xù)以產(chǎn)量繼續(xù)以產(chǎn)量Q生產(chǎn)生產(chǎn)，從，從關(guān)井時(shí)刻關(guān)井時(shí)刻又有又有-Q的流量從的流量從該井點(diǎn)該井點(diǎn)注入注入，如圖：，如圖：+QTt+QtPwf(t)-QPo第四章第四章 彈性不

38、穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 則關(guān)井后則關(guān)井后t時(shí)刻井底壓降為：時(shí)刻井底壓降為：tt)(T LnKh4Q Rt 2.25LnKh4QRt)(T 2.25LnKh4Q PP) t (P -P 2w2w21wfo 1 tTt LgKhQ183.0P tt)(T LnKh4QP) t (P oowf 式即為式即為 Horner 公式，表明在公式，表明在半對數(shù)半對數(shù)坐標(biāo)中坐標(biāo)中 Pwf 與與 Lg t/(T+t)呈直線呈直線。直線斜率為。直線斜率為 m=0.183Q/Kh,由此可求流由此可求流動(dòng)系數(shù)動(dòng)系數(shù)Kh/。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 當(dāng)當(dāng)t，t/(T+t) 1,由由式式

39、Pwf(t) ,即可用壓即可用壓力恢復(fù)曲線的外推法求原始地層壓力。力恢復(fù)曲線的外推法求原始地層壓力。 TttlgPwf(t)第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 實(shí)際生產(chǎn)過程中油井的工作制度是在經(jīng)常實(shí)際生產(chǎn)過程中油井的工作制度是在經(jīng)常變化變化的，的，關(guān)井前的生產(chǎn)時(shí)間關(guān)井前的生產(chǎn)時(shí)間T很難確定，因此對很難確定，因此對Horner公式進(jìn)行公式進(jìn)行簡化。簡化。 油井關(guān)井前穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)間油井關(guān)井前穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)間越長越長，油井，油井繼續(xù)以繼續(xù)以Q生產(chǎn)生產(chǎn)所引起的所引起的壓降就越小壓降就越小。因此，在關(guān)井時(shí)間不太長的條件。因此，在關(guān)井時(shí)間不太長的條件下，可以近似的以關(guān)井瞬時(shí)起由虛擬注入井引起的下

40、，可以近似的以關(guān)井瞬時(shí)起由虛擬注入井引起的壓力壓力升值，代替井底壓力的恢復(fù)值升值，代替井底壓力的恢復(fù)值。第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論2wwfowfoRt 2.25LnKh4)Q()0(PP) t (P P t mLgA t LgKhQ183. 0R 2.25LgKhQ183. 0)0(P Rt 2.25LgKhQ183. 0)0(P ) t (P 2wwf2wwfwf TttPwf(t)Po生產(chǎn)井壓力降生產(chǎn)井壓力降注入井壓力升注入井壓力升第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論 上式即為上式即為MDH公式，上式表明在半對數(shù)坐標(biāo)中，公式，上式表明在半對數(shù)坐標(biāo)中，Pwf(t)與與Lg t呈直線關(guān)系，其截距為呈直線關(guān)系，其截距為A,斜率為斜率為m。從截距從截距A可求油井的折算半徑可求油井的折算半徑Rwr：m)0(P-Awr2wrm)0(P-A2wrwfwfwf10 2.25RR 2.2510R 2.25Lgm)0(P-A 第四章第四章 彈性不穩(wěn)定滲流理論彈性不穩(wěn)定滲流理論一、基本概念一、基本概念