數(shù)學(xué)分析定義、定理、推理一覽表復(fù)習(xí)過程

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除定義 1給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)xa0.a1.a2 L an L ,y b0 .b1 .b2 L bn L ,其中 a0 ,b0 為非負(fù)整數(shù)， ak ,bkk1,2, L 為整數(shù)，若有0 ak9,0bk9.則稱 x 與 y 相等，記為 xy .若 a0b0或存在非負(fù)實(shí)數(shù) l ,使得akbk 0,1,2,L l 而 ab1,kl 1l則稱 x大于 y或 y小于 x,分別記為 xy或 yx.定義 2設(shè) x a0 .a1a2 L an L 為非負(fù)實(shí)數(shù) . 稱有理數(shù)x a0.a1a2 L an為實(shí)數(shù) x的n位不足近似，而有理數(shù)1xx稱為 x的n位過剩近似， n0,1,2,

2、L .實(shí)數(shù)的一些主要性質(zhì)1.實(shí)數(shù)集 R對(duì)加、減、乘、除（除數(shù)不為0）四則運(yùn)算是封閉的，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍然是實(shí)數(shù).2.實(shí)數(shù)集是有序的，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、 b必滿足下述三個(gè)關(guān)系之一： a b, a b, a b.3.實(shí)數(shù)的大小關(guān)系具有傳遞性，即若ab, b c,則有 a c.4.實(shí)數(shù)具有阿基米德性，即對(duì)任何a、 bR,若 b>a>0, 則存在正整數(shù)n，使得 na>b.5.實(shí)數(shù) R具有稠密性，即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù)，且既有有理數(shù)也有無理數(shù) .6. 如果一直線（通常畫成水平直線）上確定一點(diǎn) o作為原點(diǎn)，指定一個(gè)方向?yàn)檎较颍ㄍǔ０阎赶蛴?/p>

3、邊的方向?yàn)檎较颍?，并?guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度，則稱此直線為數(shù)軸 . 任意實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn)；反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)也都唯一地代表一個(gè)實(shí)數(shù) . 于是，實(shí)數(shù)集 R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 .定義 3word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除實(shí)數(shù) a的絕對(duì)值定義為a, a0,a0.a, a從數(shù)軸上看，數(shù)a的絕對(duì)值a 就是 a到原點(diǎn)的距離.絕對(duì)值得一些性質(zhì)1. aa0;當(dāng)且僅當(dāng) a=0時(shí)有 a 0.2.aaa .3. a hh a h; a hh a h(h 0).4.對(duì)于任何 a、 bR有如下三角形不等式：ababab .5. aba b .6. aa0).(bbb定義 4區(qū)間和鄰

4、域開區(qū)間 : a, bx axb ，有限區(qū)間閉區(qū)間：a, bx axb ,半開半閉區(qū)間 :a, bx ax b ,區(qū)間（, ax xa, a,b R.無限區(qū)間(a,)x xa,(, a)x xa,(,)xxR,鄰域：aR,滿足xa的全體實(shí)數(shù) 的集合稱為0.x點(diǎn) 的 鄰域，記作Ua;,或U (a),即有aU ( a; ) x | x a | (a, a).點(diǎn) 的空心鄰域：。) x | 0| xa |.aU(a;點(diǎn) 的 右鄰域：U( a;) a, a);a點(diǎn) 的 左鄰域：U( a;)（a, a;a點(diǎn) 的空心右鄰域：U。)(a, a);a(a;點(diǎn) 的空心左鄰域：U。)(a, a);a(a;鄰域U()

5、 X | x |M ，其中 M 為充分大正數(shù)；鄰域U() X | xM ，其中 M 為充分大正數(shù)；鄰域U () X | x，其中M為充分大正數(shù)；M word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除定義 5有界的定義設(shè) 為 中的一個(gè)數(shù)集 . 若存在M (L), 使得對(duì)一切xS,都SR有xM (xL),則稱 為有上界（下界）的數(shù)集，數(shù)M (L)稱S為 的一個(gè)上界（下界） .S簡(jiǎn)記：SR, M0, x SxM ,稱 有界.S若數(shù)集 S既有上界又有下界，則稱 S為有界集 . 若S不是有界集，則稱為無界集 .定義 6確界的定義設(shè)S若數(shù) 滿足：1.R.ixS,有x,即 是 的上界；Sii,x0S,使

6、得x0,即 又是 的最小上界，S則稱為數(shù)集 S的上確界，記作=sup S.2. 設(shè)S R.若數(shù) 滿足：ixS,有x,即 是 S的下界；ii, x0S,使得 x0,即 又是 S的最大下界，則稱為數(shù)集 S的下確界，記作=infS定理 1設(shè)數(shù)集 有上確界 .Si)=supSS=max .Sii)=inf SSmin S.定理一 確界原理設(shè) S為非空數(shù)集 .若 S有上界，則必有上確界；若 S有下界，則 S必有下確界 .定理 2設(shè) A、 B為非空數(shù)集，滿足：對(duì)一切xA和yB有xy.數(shù)集 A有上確界，數(shù)集 B有下確界，且 sup Ainf B.推廣的確界原理任一非空數(shù)集必有上、下確界（正常的或非正常的）.

7、word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除函數(shù)的概念定義 1給定兩個(gè)實(shí)數(shù)集D 和 M ，若有對(duì)應(yīng)法則f ，使對(duì) D內(nèi)每一個(gè) x,都有唯一的一個(gè)數(shù) yM 與它相對(duì)應(yīng)，則稱f 是定義在數(shù)集 D上的函數(shù)，記作 f : DM ,x a y.數(shù)集 D稱為函數(shù) f 的定義域， x所對(duì)應(yīng)的數(shù) y，稱為 f 在點(diǎn) x的函數(shù)值，常記為 f ( x).全體函數(shù)值的集合f ( D )y | yf ( x), xD (M )稱為函數(shù) f 的值域 .函數(shù)的四則運(yùn)算給定兩個(gè)函數(shù) f , xD1和g, xD2 ,記D=D1 I D2 ,并設(shè) D.定義f與 在上的和、差、積運(yùn)算如下：g DF ( x)f ( x)

8、g (x), xD,G( x)f ( x)g(x), xD,H ( x)f ( x)g( x), xD.若在 中剔除g (x)的 值，即令D0xD*D1 I x | g(x)0, x D2,則除法如下L( x)f ( x) / g( x), xD * .初等函數(shù)常量函數(shù)y為常數(shù)；c(c)冪函數(shù)yx (為實(shí)數(shù) ；)指數(shù)函數(shù) yax (a0,a 1);對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax(a0, a 1);三角函數(shù) ysin x, ycosx, y tan x, y cot x;反三角函數(shù)yarcsin x, yarccosx, yarctanx, yarc cot x.定義 2word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，

9、如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除給定實(shí)數(shù) a0,a1.設(shè)x為我們規(guī)定r| r為有理數(shù)，當(dāng)a時(shí)，axsup a1r xr為有理數(shù)，當(dāng)0a時(shí)inf a | r1 .r x幾個(gè)重要的等式（不等式）1.sinx和sinxx1由4 n214 n22 n12 n2.2 n2 n13.111)111n 2n ( nnn4.算術(shù)平均數(shù)na 2a1a2La nnni1n1n5.幾何平均數(shù)a in a1 a 2 a 3 La ni16.調(diào)和平均數(shù)nnn111L11 a ia1a 2a nin1na inna 2 La n 時(shí)， “ =” 成立 .7.a1，當(dāng) a 1n1ni 1i 1i 1a i數(shù)列極限定義 1設(shè) an 為

10、數(shù)列， a為定數(shù) . 若對(duì)任給的正數(shù) ，總存在正整數(shù) N, 使得當(dāng) n N時(shí)有 an a ,則稱數(shù)列 an 收斂于 a,定數(shù) a稱為數(shù)列an 的極限，并記作lim ana,或 ana( n).n若數(shù)列an 沒有極限，則稱an不收斂，或稱an 為發(fā)散數(shù)列 .定義' 任給，若在U a;之外數(shù)列an中的項(xiàng)至多只有有限個(gè)，10則稱數(shù)列 an收斂于極限 a.定義2若 lim an0,則稱 an為無窮小數(shù)列 .n定理數(shù)列an收斂于 的充要條件是：an a為無窮小數(shù)列.2.1aword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除收斂數(shù)列的性質(zhì)定理（唯一性）若數(shù)列an收斂，則它只有一個(gè)極限.2.2定

11、理（有界性） 若數(shù)列 an收斂，則an為有界數(shù)列，即存在2.3正數(shù) M ，使得對(duì)一切正整數(shù)n有 an M .定理（保號(hào)性）若 lim ana0(或0),則對(duì)任何 a'0, a(或a'a,0 )，n2.4存在正數(shù) N，使得當(dāng) nN 時(shí)有 ana'或 ana' .定理設(shè) an與 bn 均為收斂數(shù)列 . 若存在正數(shù) N 0 ,使得（保不等式性）2.5當(dāng) nN 0時(shí)有 anbn ,則 lim an lim bn .nn定理2.6設(shè)an 0L若lim ana,則limana .n 1,2, .nn設(shè) an，bn都以 a為極限，數(shù)列cn 滿足：定理（迫斂性）存在正數(shù)N，當(dāng)

12、nN0時(shí)有 ancb ,2.70nn則數(shù)列 cn收斂，且 lim cna.nlimanbnlim anlim bn ,nnnlimanbnlim anlim bn ,nnn定理（四則運(yùn)算）limanclim an c, lim can c lim an ,2.8nnnnlim anlim an, bn0及 lim bn0.nnbnlim bnnn定義 1 設(shè) an為數(shù)列，n 為正整數(shù)集 N + 的無限子集，且n1n2 Lnk L ，k則數(shù)列 an, an ,L , an,L稱為數(shù)列 an的一個(gè)子列，簡(jiǎn)記為an.12kk平凡子列：數(shù)列an本身以及去掉有限項(xiàng)后得到的子列.非平凡子列：不是平凡子列的

13、子列.數(shù)列 an與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限.定理 2.9數(shù)列an 收斂的充要條件是：an 的任何非平凡子列都收斂 .word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除定理二（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.定理三（柯西cauchy收斂準(zhǔn)則）數(shù)列an 收斂的充要條件是：對(duì)任給的0,存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n, mN時(shí)有 anam.函數(shù)極限定義設(shè)為定義在a,上的函數(shù)， 為定數(shù). 若對(duì)人給的0,1.fA存在正數(shù) （）, 使得當(dāng)M時(shí)有fxA,則稱函數(shù)Maxf當(dāng) 趨于時(shí)以 為極限，記作limfx或f xA x.xAAx設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)空心鄰域。x0;&

14、#39;內(nèi)有定義， 為定數(shù)2.fx0UA.若對(duì)任給的'時(shí)有存在正數(shù)（< ），使得當(dāng)xx00,0fxA,則稱函數(shù)當(dāng) 趨于 時(shí)以 為極限，記作fxx0Alim fx或fxA xx0 .Axx0設(shè)函數(shù) 在。x0 ;'或U。x0;'內(nèi)有定義， 為定數(shù).3.f UA若對(duì)任給的'，存在正數(shù)（< ），使得當(dāng)xx00x0或x x0時(shí)有f x A,則稱數(shù) 為函數(shù) 當(dāng) 趨于x0Af xx0或x0 的右（左）極限，記作lim fxAlim fxAxx0xx0或f xA x x0f xA x x0 .右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.f在點(diǎn) 的右（左）極限記為0lim fxfx

15、00 lim f x .x0f x0xx0x x0定理xAlim fxlim fxA.3.1lim fxx0xx0x x0word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除函數(shù)極限的性質(zhì)定理（唯一性）若極限limfx存在，則此極限是唯一的 .3.2x x0若 limfx存在，則 f 在 x0的某空心定理 3.3 （局部有界性）xx0鄰域 U。x0內(nèi)有界 .若 limfx=A0or0, 則對(duì)任何正數(shù)xx0定理（局部保號(hào)性）rAorrA,存在。x0，使得對(duì)一3.4U切 xU 。 x0有 fxr0orfxr0.設(shè) limfx與 limgx都存在，且在某xx0xx0定理（報(bào)不等式性） 鄰域U。；&

16、#39;內(nèi)有f x g x ,3.5x0則 limfxlimgx .xx0xx0設(shè) limfx= limgx=A，且在某 U。 x；'定理（迫斂性）x x0xx003.6內(nèi)有 fxhxgx,則 lim h xA.xx01）limfxgxlimfxlimgx ;xx0xx0xx0定理（四則運(yùn)算）2) limfxgxlim fxlimgx;3.8xx0xx0xx0fxlimfx3）limxx0, limgx0.gxlimgxxx0xx0xx0無窮小量階的比較（定義見下頁(yè)末）word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除若f x0,則稱當(dāng)xx0時(shí)f為 的高階無窮小量1. limgx

17、x0 g x記作 fxo gx xx0 .2.若存在正數(shù) K 和L，使得在某 U ox0 上有 KfxL,gx則稱 f 與g為當(dāng) xx0時(shí)的同階無窮小量 . 特別的當(dāng)fxc時(shí)，與 必為同階無窮小量.lim0fgx x0 g x若f x，則稱f與 為當(dāng)xx0時(shí)的等價(jià)無窮小量 .3. limg x=1gxx0記作 fx g xxx0 .函數(shù)極限存在的條件定理 3.（8歸結(jié)原則 or海涅定理）設(shè) f 在 U o x0;' 內(nèi)有定義 . lim fx 存在的充要條件是：對(duì)任何含xx0于 U o x0 ;'且以 x0為極限的數(shù)列xn , 極限 lim fxn都存在且相等 .x簡(jiǎn)述：fx=

18、A對(duì)任何xnx0 ( n)有l(wèi)imfxnA.limxx0x x0設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) x0的某空心右鄰域 U ox0 有定義 . limf x=A的xx0定理3.9充要條件是：對(duì)任何以 x0為極限的遞減數(shù)列xnU ox0,有 limf xnA.x定理3.10設(shè)f 為定義在 U o x0 上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限lim fx存在 .xx0定理（柯西準(zhǔn)則）3.11cauchy設(shè)函數(shù) f 在U ox0 ;' 內(nèi)有定義 . limfx存在的充要條件是：任給0,xx0存在正數(shù)' ,使得對(duì)任何 x' , x''U ox0 ;有 fx'fx''.

19、" 設(shè)函數(shù) f 在U ox0 ;' 內(nèi)有定義 . limf x 不存在的充要條件是：存在0 0,xx0對(duì)任意正數(shù)', 總可找到 x' , x''U ox0 ;使得 fx'f x''0 ."兩個(gè)重要極限word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除lim sin x1x 0xlim 1 1xexx設(shè) f 在某 U o x0內(nèi)有定義，若 lim f x0,無窮小量：x x0則稱 f 為當(dāng) xx0時(shí)的無窮小量 .有界量：若函數(shù) g在某 U ox0 內(nèi)有界，則稱 g為當(dāng) xx0時(shí)的有界量 .無窮小量的和、差、積

20、仍為無窮小量.無窮小量與有界量的積為無窮小量.常見的幾個(gè)等價(jià)無窮小量1.ex1 xx02. 1x1x x03.1cosx : x2x02自賴性：xxxx0對(duì)稱性：xxx x xx0傳遞性：xx ，x xx x x x0word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除定理 3.12（等價(jià)無窮小量在極限問題中的作用）設(shè)函數(shù) f , g, h在U ox0內(nèi)有定義，且有f x gxxx0 .(i)若 lim fxhxA, 則 limgx hxA;xx0xx0ii 若 limfxB，則 limgxB.hxhxx x0x x0無窮大量設(shè)函數(shù)f在某Uox0內(nèi)有定義 若對(duì)任給的G0,存在0,.使得當(dāng) x

21、U ox0 ;U ox0 時(shí)有 fxG,則稱函數(shù)f 當(dāng) xx0時(shí)有非常極限，記作 lim fx.xx0對(duì)于自變量 x趨于某種趨向 或n時(shí) ，所有以，+或- 為非正常極限的函數(shù)（包括數(shù)列），都稱為無窮大量 .定理 3.13（i ）設(shè) f 在U ox0內(nèi)有定義且不等于0. 若f 為xx0時(shí)的無窮小量，則1 為xx0時(shí)的無窮大量 .f（ii ）若 g為xx0時(shí)的無窮大量，則1 為xx0時(shí)的無窮小量 .g函數(shù)的連續(xù)word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)1. 設(shè)函數(shù) f 在某 U ox內(nèi)有定義 . 若 limfxf x ,0x x00則稱 f 在點(diǎn) x0 連續(xù)；也可表述為：

22、若對(duì)任給的0,存在0,使得當(dāng) xx0時(shí)有 f xfx0,則稱 f 在點(diǎn) x0 連續(xù) .2.設(shè)函數(shù) f 在某 U oxU ox 內(nèi)有定義 . 若00lim f xf x0limf xf x0 ，x x0x x0則稱 f 在點(diǎn) x0 右（左）連續(xù) .函數(shù) f 在點(diǎn) x0連續(xù)的充要條件是：定理 4.1f 在點(diǎn) x0即是右連續(xù)，又是左連續(xù).間斷點(diǎn)及其分類3. 設(shè)函數(shù) f 在某 U o x0 內(nèi)有定義 . 若f 在點(diǎn) x0無定義，或f 在點(diǎn) x0有定義不連續(xù)，則稱 x0 為函數(shù) f 的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn) .若 lim f x A, f 在點(diǎn) x0無定義，或有定義4.可去間斷點(diǎn)x x0但 fx0A,則稱 x

23、0為函數(shù) f 的可去間斷點(diǎn) .若函數(shù) f 在點(diǎn) x0的左右極限都存在，但5.跳躍間斷點(diǎn) limf xlim f x ，則稱 x0為函數(shù) f 的x x0x x0跳躍間斷點(diǎn) .6.以上兩種間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)，其他所有形式的間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn).區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除若函數(shù) f 在區(qū)間 I 上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 f 為 I 上的連續(xù)函數(shù)。對(duì)于閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間的端點(diǎn)，函數(shù)在這些點(diǎn)上的連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù).若函數(shù) f 在區(qū)間a, b 上僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則稱 f 在 a, b 上分段連續(xù) .連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理（局部有界性）若函數(shù)f在

24、點(diǎn)連續(xù)，則f在某Ux0內(nèi)有界.4.2x0若函數(shù) f 在點(diǎn) x 連續(xù)，且 fx0或0 ,則00定理（局部保號(hào)性） 對(duì)任何正數(shù)rf x0或rfx0，存在某4.3U x0 , 使得對(duì)一切 xUx0有 fx rf xr .定理（四則運(yùn)算）兩個(gè)函數(shù)連續(xù)，則他們加減乘除之后依舊連續(xù).4.4定理 4.5若函數(shù) f 在點(diǎn) x0連續(xù)， g在點(diǎn) u0連續(xù) , u0fx0,則復(fù)合函數(shù)g。f 在點(diǎn) x0連續(xù) .設(shè) f 為定義在數(shù)集D 上的函數(shù) .若存在 x0D ,使得對(duì)一定義 1. 切 x D , 有 f x0f xf x0f x ,則稱 f 在 D 上有最大 最小值 ，并稱 fx0為 f 在 D上有最大最小值 .定

25、理 4.6若函數(shù) f 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則最大、最小值定理.稱 f 在 a, b上有最大值與最小值推論 有界性定理若函數(shù) f 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則f 在 a,b 上有界 .設(shè)函數(shù) f 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且 fafb ,定理 4.7介值性定理若 為介于 fa 與 fb之間 的任何實(shí)數(shù)faf b 或 fafb，則至少存在一點(diǎn) x0a,b , 使得 fx0.設(shè)函數(shù) f 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)，且 fa與 fb 異號(hào) ,推論 根的存在定理則至少存在一點(diǎn) x0a, b,使得 fx00，即方程fx 0在 a,b 內(nèi)至少有一個(gè)根 .word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除若

26、函數(shù) f 在閉區(qū)間 a,b上嚴(yán)格單調(diào)并連續(xù)，定理4.8 則反函數(shù) f1在其定義域f a , f b或f b , fa上連續(xù) .定義2.一致連續(xù)設(shè)函數(shù) f為定義在 I 上的函數(shù) . 若對(duì)任給的0,存在=0, 使得對(duì)任何 x' , x''I，只要 x'x'', 就有 fx'f x''，則稱函數(shù) f 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) .定理三若函數(shù) f 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，一致連續(xù)性定理則 f 在 a, b 上一致連續(xù) .初等函數(shù)的連續(xù)性定理4.10 設(shè)a 0,為任意實(shí)數(shù)，則有 a aa, aa .定理4.11指數(shù)函數(shù)axa 0在 上是連續(xù)的 .R定理 4.12 一切基本初等函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù).定理 4.13 任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).導(dǎo)數(shù)和微分設(shè)函數(shù) y=f