《2.2 基本不等式》獲獎(jiǎng)?wù)f課課件ppt

1、第二章第二章第第2 2課課基本不等式基本不等式課程導(dǎo)入課程導(dǎo)入課程講解思考思考: : 上面通過(guò)考察a2+b2=2ab的特殊情形獲得了基本不等式，能否直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？下面我們來(lái)分析一下.課程講解1 1）類(lèi)比弦圖幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式2abab特別的，如果a0,b0,我們用分別代替a、b ，可得2abab通常我們把上式寫(xiě)作：(a0,b0)2abab課程講解 2 2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：顯然，（4）是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立.要證（2），只要證a+b- 0 （3）要證（3），只要證 （ - ）20 （4）只要證 a+b （2

2、）要證2abab （1）思考：思考：你能給出不等式你能給出不等式 的證明嗎？的證明嗎？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以時(shí)當(dāng)ba 時(shí)當(dāng)ba 222abab證明：（作差法）證明：（作差法） 2)(ba問(wèn)題探究結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a a、b b，總有，總有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立222abab文字?jǐn)⑹鰹槲淖謹(jǐn)⑹鰹? : 兩數(shù)的平方和兩數(shù)的平方和不小于不小于它們積的它們積的2 2倍倍. . 適用范圍：適用范圍： a,ba,bR R課程講解0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？問(wèn)

3、題一22()()2abab2abab替換后得到：替換后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab 即：即：課程講解0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？問(wèn)題一你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？問(wèn)題二2abab證明：要證證明：要證 只要證只要證_ab 要證，只要證要證，只要證_0ab要證，只要證要證，只要證2(_)0顯然顯然, , 是成立的是成立的. .當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a a= =b b時(shí)時(shí), , 中的等號(hào)成立中的等號(hào)成立. . 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba證明不等式：證明不等

4、式：2 ab2 abba課程講解問(wèn)題二特別地，若特別地，若a a00，b b00，則，則_2abab通常我們把上式寫(xiě)作：通常我們把上式寫(xiě)作：(0,0)2ababab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a a= =b b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式. .基本不等式基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把在數(shù)學(xué)中，我們把 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a a，b b的算術(shù)平均數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a a，b b的幾何平均數(shù)；的幾何平均數(shù)；2abab文字?jǐn)⑹鰹椋何淖謹(jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). .適用范圍：適用范圍： a a

5、0,0,bb0 0課程講解RtRtACDACDRtRtDCBDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以A AB BC CD DE Ea ab bO O如圖如圖, , ABAB是圓的直徑是圓的直徑, , O O為圓心，點(diǎn)為圓心，點(diǎn)C C是是ABAB上一點(diǎn)上一點(diǎn), , ACAC= =a a, , BCBC= =b b. . 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C C作垂作垂直于直于ABAB的弦的弦DEDE, ,連接連接ADAD、BDBD、ODOD. .如何用如何用a a, , b b表示表示CDCD? ? CDCD=_=_如何用如何用a a, , b b表示表示ODOD? ? ODOD=_=_2abab課程講解你能

6、用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?探究一你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?如何用如何用a a, , b b表示表示CDCD? ? CDCD=_=_如何用如何用a a, , b b表示表示ODOD? ? ODOD=_=_2ababODOD與與CDCD的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? ? ODOD_CDCD如圖如圖, , ABAB是圓的直徑是圓的直徑, , O O為圓心，點(diǎn)為圓心，點(diǎn)C C是是ABAB上一點(diǎn)上一點(diǎn), , ACAC= =a a, , BCBC= =b b. . 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C C作垂作垂直于直于AB

7、AB的弦的弦DEDE, ,連接連接ADAD、BDBD、ODOD. .2abab幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半課程講解A AB BC CD DE Ea ab bO O探究一適用范圍適用范圍文字?jǐn)⑹鑫淖謹(jǐn)⑹觥?”“=”成立條成立條件件222abab2ababa a= =b ba a= =b b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不兩數(shù)的平方和不小于它們積的小于它們積的2 2倍倍 a,ba,bR Ra a0, 0,b b0 0填表比較：填表比較：注意注意: :從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式課程

8、講解課程講解課程講解課程講解課程講解課程講解課程講解例例3 3 （1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？分析：（分析：（1 1）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之邊之積為定值積為定值，邊長(zhǎng)多大時(shí)，邊長(zhǎng)多大時(shí)周長(zhǎng)最短周長(zhǎng)最短. .（2 2）矩形菜園的周長(zhǎng)是矩形兩鄰邊之和的）矩形菜園的周長(zhǎng)是矩形兩鄰邊之和的2 2倍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰倍

9、，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之邊之和為定值和為定值，邊長(zhǎng)多大時(shí)，邊長(zhǎng)多大時(shí)面積最大面積最大. .課程講解課程講解課程講解例例4 4 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m2，深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？分析：分析：貯水池呈長(zhǎng)方體形，它的高是貯水池呈長(zhǎng)方體形，它的高是3 3m m，池底的邊長(zhǎng)沒(méi)有確定，池底的邊長(zhǎng)沒(méi)有確定. .如果池底如果池底的邊長(zhǎng)確定了，那么水池的總造價(jià)也就確定了的邊長(zhǎng)確定了，那么水池的總造價(jià)也就確定了. .因此，應(yīng)當(dāng)考察池底的邊因此，應(yīng)當(dāng)考察池底的邊長(zhǎng)取什么值時(shí)，水池的總造價(jià)最低長(zhǎng)取什么值時(shí)，水池的總造價(jià)最低. .課程講解課程講解所以，將貯水池的池底設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.隨堂練習(xí)1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證：（ab）（bc）（ca）abc分析：分析：對(duì)于此類(lèi)題目，選擇定理：對(duì)于此類(lèi)題目，選擇定理： （a a0 0，b b0 0）靈活變形，可求得結(jié)）靈活變形，可求得結(jié)果果. .abba2即（ab）（bc）（ca）abc.課時(shí)小結(jié)課程講解我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問(wèn)題.在用均值不等式求