哈爾濱工業(yè)大學 計算傳熱學 第五章 對流-擴散方程的離散格式-2013

1、導(dǎo)熱型方程：導(dǎo)熱型方程： 二階導(dǎo)數(shù)項（擴散），源項二階導(dǎo)數(shù)項（擴散），源項對流對流- -擴散方程：擴散方程： 二階導(dǎo)數(shù)項（擴散），源項二階導(dǎo)數(shù)項（擴散），源項 一階導(dǎo)數(shù)項（對流）一階導(dǎo)數(shù)項（對流）一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的對流一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的對流- -擴散方程擴散方程: : ()()dddudxdxdx 密度，密度， 擴散系數(shù)。擴散系數(shù)。22dTd Tcukdxdx00,LxTTxL TT精確解精確解 對流熱能量方程對流熱能量方程00exp() 1exp(/ ) 1exp(/ ) 1exp() 1eLePxTTcux kLTTcuL kP貝克立數(shù)貝克立數(shù) 對流傳熱量對流傳熱量/ /導(dǎo)熱量導(dǎo)熱量ecu

2、LcuA TPTkkAL 純導(dǎo)熱純導(dǎo)熱 0eP 上游信息對流到下游，上游信息對流到下游，下游信息無法通過擴下游信息無法通過擴散傳到上游。散傳到上游。eP 純對流純對流 以上述精度解為例討論各種差分格式的性能。以上述精度解為例討論各種差分格式的性能。xTL1-5Pe=015LT00 5-1 5-1 對流項中心差分與迎風差分。對流項中心差分與迎風差分。 連續(xù)方程連續(xù)方程()0,duudx常數(shù)常數(shù)而而 ()()dddudxdxdx 對控制容積采用分段線性進行積分。對控制容積采用分段線性進行積分。()()()()ewewdduudxdx ()()11() ()() ()22eEPwPWeEPwWPew

3、uuxx記記 FuDxwxexWeEw對流項中心差分格式對流項中心差分格式則則 1111()()()2222PewewEeeWwwFFDDFDFD記記 11()22EeeWwwPEWewaDFaDFaaaFF即即記記 以網(wǎng)格間距以網(wǎng)格間距 為特征尺寸的貝克列數(shù)。為特征尺寸的貝克列數(shù)。Fu xPD x在均勻網(wǎng)格和常物性條件下，上式為在均勻網(wǎng)格和常物性條件下，上式為: :W11(2)()()22PEDDFDF即即 W1211122EPPP（B B）（A A）PPEEWWaaa(5)(5)中心差分格式只適用于中心差分格式只適用于低雷諾數(shù)問題低雷諾數(shù)問題 (2)(2)式（式（A A）為中心差分格式為中

4、心差分格式 (4)(4)導(dǎo)致不合理的原因?qū)е虏缓侠淼脑?而使而使 在在 大時，大時， 分布偏離線性很遠，積分假設(shè)不合理。且分布偏離線性很遠，積分假設(shè)不合理。且 大時，在大時，在x=L/2x=L/2處，處， 上游值而非平均值。上游值而非平均值。(3)(3)存在的問題，用（存在的問題，用（B B）式計算。式計算。 (1)(1)當滿足連續(xù)性條件時，當滿足連續(xù)性條件時， 討論討論 W,PEewaaaFF取取 144DFP（a a） W200,100E得得 50P（b b） W100,200E250P得得 顯然不合理，真實值顯然不合理，真實值 在在 和和 之間。之間。PEW2P0Ea PxP0 為了避

5、免上式造成物理不真實，而構(gòu)造迎風差分格式：為了避免上式造成物理不真實，而構(gòu)造迎風差分格式：（介紹第二類，有守恒性）在控制容積積分時，界面上的（介紹第二類，有守恒性）在控制容積積分時，界面上的未知量恒取上游節(jié)點的值，而不象中心差分那樣取兩邊節(jié)未知量恒取上游節(jié)點的值，而不象中心差分那樣取兩邊節(jié)點的平均值。點的平均值。對流迎風差分格式對流迎風差分格式()|,0|,0|eeePeEeuFFF 取最大值取最大值 EePeFFW()|,0|,0|wwwwPwuFFF 二階導(dǎo)數(shù)的擴散項仍采用中心差分，二階導(dǎo)數(shù)的擴散項仍采用中心差分，整理后得整理后得 WWpPEEaaa但但 WW|,0|,|,0|(C)()E

6、eewwPEewaDFaDFaaaFF當當u0u0當當u0u0C 一、指數(shù)格式一、指數(shù)格式d-dJ =ux 記總通量記總通量 對流和擴散，對流和擴散， 則則 dddd()()()0dddduJxxxx 控制容積積分控制容積積分 0ewJJ把精度解代入把精度解代入 J J 中中 000exp1expexp1exp( ) 1LeLeeeePxPPxJuPLPLL0000exp()1exp()1LLeeuFPP 5-2 5-2 指數(shù)格式、混合格式與乘方格式指數(shù)格式、混合格式與乘方格式/ePuLexp() 1exp() 1WPPEePwWewFFPP故故 exp()exp()1exp() 1exp()

7、 1exp() 1exp() 1eewwPewEWewewPFFPFFPPPPWWPPEEaaa而而 Wexp(),exp() 1exp() 1ewwEewFFPaaPPW()PEewaaaFF(D)EeeaPD112EeeaPD EeaD指數(shù)指數(shù)0EeaDEWaa和區(qū)別就在函數(shù)區(qū)別就在函數(shù) exp() 1eEeePaDPexp()exp() 1WwwwwaPPDP二混合格式二混合格式 雖然指數(shù)格式是精確解雖然指數(shù)格式是精確解, ,但計算過繁但計算過繁, ,通過對通過對 隨隨 變化及其三條切線變化及其三條切線EeaDeP;0EeeaPD ;EeeeaPPD 122;12EeeeaPPD 斯波爾

8、丁提出斯波爾丁提出 1|,1,0 |21|,1,0 |2()PPEEWWEeeeWwwwPEWewaaaaDPPaDPPaaaFF(e)討論討論 (1)(1)在在 之間，之間， ，就是中心差分格式。，就是中心差分格式。 22eP 12EeeaDF(2)(2)在在 的區(qū)域里的區(qū)域里 即擴散項取零的逆風格式。即擴散項取零的逆風格式。22eePP 和0,EeEaFa 或 由于其綜合了中心和迎風兩種格式的優(yōu)點，故稱混合格由于其綜合了中心和迎風兩種格式的優(yōu)點，故稱混合格式。但最好還是看成精確解的三條直線的近似，包絡(luò)線。式。但最好還是看成精確解的三條直線的近似，包絡(luò)線。三、乘方格式三、乘方格式 由于混合格

9、式在由于混合格式在 附近，偏離真值較遠，帕坦卡附近，偏離真值較遠，帕坦卡提出乘方格式。提出乘方格式。 2eP 10eP 55(1 0.1)(1 0.1)0EeEEeeEEeEEEaPDaPPDaPDaD 100eP010eP10eP5|0,(1 0.1|) | |0,|EeeeaPPD討論討論 該格式計算量比指數(shù)小，且與指數(shù)格式的解差別很小。該格式計算量比指數(shù)小，且與指數(shù)格式的解差別很小。 (f)系數(shù)系數(shù)A A和和B B的性質(zhì)的討論的性質(zhì)的討論(1)(1)當當 時，擴散量時，擴散量=0=0， 完全由對流造成，即完全由對流造成，即 5-3 5-3 通用表達式通用表達式為了在討論中引入為了在討論中

10、引入 EP記記 界面界面i+ i+ 上的值可以用界面兩側(cè)節(jié)點值表示上的值可以用界面兩側(cè)節(jié)點值表示 *1iiJBA（y y）1ii*J*11iiiiJPPBA12得得B-A= 此為和差特性。此為和差特性。 P*Jxii+1i+1/2x（2 2）對稱特性）對稱特性 對坐標對坐標I I：D D在界面前。在界面前。 *()()CDJB PA P坐標坐標II相對相對I反向，流向不變，而反向，流向不變，而此時此時D D在界面后。（界面的前后相在界面后。（界面的前后相對坐標方向而言）對坐標方向而言） *()()DCJBPAP由于坐標描述的是同一量，故由于坐標描述的是同一量，故 *JJ ()()()()CDC

11、DB PA PAPBP()()()()CDB PAPA PBP*J*JICCDDII是是 的函數(shù)，而的函數(shù)，而 是與之對稱的。是與之對稱的。 上述若對任何成立，必得上述若對任何成立，必得()()()()B PAPA PBP即即 ()A PP與B(的值以的值以 =0 =0的軸對稱的。的軸對稱的。 P 根據(jù)對稱特性可以說明為什么前面討論格式特性根據(jù)對稱特性可以說明為什么前面討論格式特性只研究函數(shù)只研究函數(shù) Ea因為因為 EeaDePWwaDAABBPPA A，B B系數(shù)性質(zhì)的含義系數(shù)性質(zhì)的含義 根據(jù)對稱及和差特性，我們僅根據(jù)對稱及和差特性，我們僅須知道紅線的值，即在須知道紅線的值，即在 (,0,)

12、PA P則所有則所有 ()A P和和 ()B P均確定了。均確定了。 在在 0:()()()(|) |PA PB PPAPPA PP通用格式通用格式 ()(|)|,0|A PA PP對對B B ()(|)|,0|B PA PP各種格式的通用表達式各種格式的通用表達式 *()()eePeEJB PA P*()()wwWwPJB PA PwxexWweE*wJ*eJAB1P而而 *,()uFJPJDDx根據(jù)通量守恒根據(jù)通量守恒 *0eweewwJJD JD JEW()()()PeewweewwDBD A PD A PD B P() (|)|,0|EeeeeeaD A PDA PPW() (|)|,

13、0|wwwwwaD B PDA PP()()PeewwaD B PD A P (|)|,0| ()|1,0|eeewwwDA PPDA PP()EWewaaFF即即 PPEEWWaaa顯然不論那種格式，僅僅是顯然不論那種格式，僅僅是 (|)A P表達式的區(qū)別。表達式的區(qū)別。 5|)1 0.5|1|0,1 0.5| exp(|) 1|0,(1 0.1|) |PPPPPA(|P中心中心迎風迎風混合混合指數(shù)指數(shù)乘方乘方 A( )P1.0迎風迎風指數(shù)指數(shù)乘方乘方中心中心混合混合P 5-4 5-4 關(guān)于假擴散的討論關(guān)于假擴散的討論原始的假擴散概念原始的假擴散概念 一維非穩(wěn)態(tài)對流方程一維非穩(wěn)態(tài)對流方程（純

14、對流（純對流, ,沒有擴散）沒有擴散） utx 顯示迎風差分格式顯示迎風差分格式11,(,)nnnniiiiuoxttx 將上式在將上式在（i，n）點做點做Taylar級數(shù)展開，保留二階。級數(shù)展開，保留二階。 2222(1)(,)2u xu tuoxttxxx 變成了對流變成了對流- -擴散問題，新增項叫做假擴散。擴散問題，新增項叫做假擴散。 utx （1 1） 非穩(wěn)態(tài)或?qū)α黜棽捎靡浑A階差的格式。非穩(wěn)態(tài)或?qū)α黜棽捎靡浑A階差的格式。（2 2） 流向與網(wǎng)格線斜交叉。流向與網(wǎng)格線斜交叉。（3 3） 差分格式?jīng)]有考慮非常數(shù)源項的影響。差分格式?jīng)]有考慮非常數(shù)源項的影響。數(shù)學原因：數(shù)學原因：一階導(dǎo)數(shù)的差分

15、格式的截斷誤差（第一一階導(dǎo)數(shù)的差分格式的截斷誤差（第一 項就是二階導(dǎo)數(shù)）造成的。項就是二階導(dǎo)數(shù)）造成的。廣義假擴散：廣義假擴散：引起較大的數(shù)值計算誤差。引起較大的數(shù)值計算誤差。物理后果：物理后果：由于擴散作用使場均化。由于擴散作用使場均化。 5-5 5-5 高階迎風格式與高階迎風格式與QUICKQUICK格式格式一、二階迎風格式一、二階迎風格式 即一階導(dǎo)數(shù)采用具有二階截差的偏差分格式。即一階導(dǎo)數(shù)采用具有二階截差的偏差分格式。即在一般迎風差分加上曲率修正。即在一般迎風差分加上曲率修正。(u0)三、三、 QUICK格式格式 界面上函數(shù)采用二次插值界面上函數(shù)采用二次插值 線性插值時線性插值時 1()

16、2ePE二、三階迎風格式二、三階迎風格式 （1 1）該對流項有三階精度。）該對流項有三階精度。 但曲線上凹時，這個但曲線上凹時，這個 e比真值偏大，需加曲率修正。比真值偏大，需加曲率修正。W2,011(),2,028EPePEurvurvPEEEuCCu近風是指近風是指 uvUC是由界面兩側(cè)點和上游的另一側(cè)點組成。是由界面兩側(cè)點和上游的另一側(cè)點組成。 （2 2）該格式具有守恒性。（即從任一界面的兩側(cè)的節(jié)點）該格式具有守恒性。（即從任一界面的兩側(cè)的節(jié)點 來寫該界來寫該界面上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)表達式都是相同的）面上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)表達式都是相同的） 亦即亦即1( )()ieiw1()()iiew

17、xx注意注意 由于這時的一維是五點格式，二維為九點，帶來由于這時的一維是五點格式，二維為九點，帶來兩個問題。兩個問題。（1 1）第一個內(nèi)節(jié)點的離散方程）第一個內(nèi)節(jié)點的離散方程 當當u0u0時，節(jié)點的方程需要重新處理。時，節(jié)點的方程需要重新處理。 a a、設(shè)虛擬點設(shè)虛擬點 ， 00212b b、采用一階近風或混合格式。采用一階近風或混合格式。 （2 2）離散方程如何求解。）離散方程如何求解。 延遲修正方法：延遲修正方法：把特定的界面值作為上次迭代的已知值歸把特定的界面值作為上次迭代的已知值歸入源項，從而保證了系數(shù)矩陣能為三對角或五對角陣。入源項，從而保證了系數(shù)矩陣能為三對角或五對角陣。 三、采用二階近風格式帶來的問題。三、采用二階近風格式帶來的問題。01234U5 56 6 對流擴散方程離散化及邊界條件對流擴散方程離散化及邊界條件一、二維方程一、二維方程 通用形式：通用形式： ()()()()()uvStxyxxyy 在控制容積上積分在控制容積上積分 ()()()()neneewnsxxyyswswJJdyJJdxSdxdyt ()()uvxyStxy sxywWSnNeE()()()()()()()eeeePeEeeePeEeee