工程力學-第2章

1、TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 力對點之矩力對點之矩（moment of a force about a point）是力作用效應的度量之一。）是力作用效應的度量之一。 在物理學的基礎上，考察空間任意力對某在物理學的基礎上，考察空間任意力對某一點之矩。這一點稱為力矩中心（一點之矩。這一點稱為力矩中心（center of moment），簡稱），簡稱矩心矩

2、心。TSINGHUA UNIVERSITYF Fxi+Fyj+Fzk2MFOFdABO FrFMOFABr = x i+ y j+ z kzxyTSINGHUA UNIVERSITY zyxOFFFzyxkjiFrFM= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) kxyzFFxFyFzrTSINGHUA UNIVERSITYFrMOTSINGHUA UNIVERSITYFrMOTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYFFFzFxFyTSINGHUA UNIVERSITY 將力向垂直于該軸的將力向垂直于該軸的平面投影平面投影 ,力的

3、投影與投影至軸力的投影與投影至軸的垂直距離的乘積。的垂直距離的乘積。Mz (F) = Fxyd = 2(OAB)TSINGHUA UNIVERSITY將力向三個坐標軸方將力向三個坐標軸方向分解向分解,分別求三個分力對軸之分別求三個分力對軸之矩。矩。TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYFOMFdcosFFzOMMTSINGHUA UNIVERSITY力對點之矩的矢量在某一軸上的投影力對點之矩的矢量在某一軸上的投影,等于這一等于這一力對該軸之矩力對該軸之矩 。cosFFzOMMTSINGHUA UNIVERSITYFMoFr當當軸軸垂直于垂直于r 和和F 所

4、在所在的平面時的平面時,力力對點之矩與力對點之矩與力對軸之矩在數值上相等。對軸之矩在數值上相等。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYdFROd1F1niiOROMM1FF niiR1FF合力對某點之矩等于各分力對同一點之矩的合力對某點之矩等于各分力對同一點之矩的矢量和，稱之為矢量和，稱之為TSINGHUA UNIVERSITYF , l1, l2 , l3 , .MO(F)TSINGHUA UNIVERSITYMO (F) = F dd=?TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVER

5、SITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYF2F1r1r2rBA 大小相等大小相等,方向相反方向相反,不共線的不共線的兩個力所組成的力系兩個力所組成的力系 ，稱為，稱為力偶（力偶（couple） 。TSINGHUA UNIVERSITYF1F2F1F2TSINGHUA UNIVERSITY 二力作用線之間的垂直二力作用線之間的垂直距離距離-（arm of a couple）。 F1F2 二力所在平面二力所在平面-（acting plane of a couple） 。TSINGHUA UNIVERSITY 力偶對力偶對O點之矩等于這點之矩等于這個力系中

6、的兩個力對該點個力系中的兩個力對該點之矩之和之矩之和.TSINGHUA UNIVERSITYO1 FMFMMOOOFrFrBAFrFrBAFrrBAFr BA 其方向亦可由右手定則確其方向亦可由右手定則確定。定。正符號正符號: : 逆時針逆時針 “ “+”; +”; 順時針順時針 “ “-”-”TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY :力偶無合力，即主矢力偶無合力，即主矢FR=0。TSINGHUA UNIVERSITY 只要保持力偶矩矢量不變，力偶可在作用只要保持力偶矩矢量不變，力偶可在作用面內任意移動和轉動，其對剛體的作用效果不變。面內任意移動和轉動，其

7、對剛體的作用效果不變。FFFFFFTSINGHUA UNIVERSITY保持力偶矩矢量不變，分別改變力保持力偶矩矢量不變，分別改變力和力偶臂大小，其作用效果不變。和力偶臂大小，其作用效果不變。2F2FFFTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 力偶系力偶系: :由兩個或兩個由兩個或兩個以上力偶組成的特殊力系以上力偶組成的特殊力系TSINGHUA UNIVERSITYyxzMxMzMyTSINGHUA UNIVERSITYMnii1MM 力偶系合成的結果仍然是力偶系合成的結果仍然是一個力偶，其力偶矩矢量等于原一個力偶，其

8、力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和。力偶系中所有力偶矩矢量之和。即即TSINGHUA UNIVERSITY畫出畫出AB和和BDC桿的受力圖桿的受力圖； A、C二處的約束力二處的約束力。結構受力如圖所示結構受力如圖所示, 圖圖中中M, r均為已知均為已知,且且l=2r.TSINGHUA UNIVERSITY例題 11. AB桿為二力桿桿為二力桿;2. BDC桿的桿的 B 、 C二處分別受二處分別受有一個方向雖然未知、但可以有一個方向雖然未知、但可以判斷出的力判斷出的力。TSINGHUA UNIVERSITY 怎樣確定怎樣確定B、C二處的約束力二處的約束力 例題 1TSINGHUA UNI

9、VERSITY例題 1合力矩定理TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY定義：一般力系 (F1,F2,.,Fn)中所有力的矢量和，稱為力系的主矢量，簡稱為主矢量。nii1RFF F2FnF1F3TSINGHUA UNIVERSITYniixxFF1RniiyyFF1RniizzFF1RTSINGHUA UNIVERSITY 主矢僅與各力的大小和方向有關，主矢僅與各力的大小和方向有關，主矢不主矢不 涉及作用點和作用線涉及作用點和作用線, ,力系主矢的特點力系主矢的特點 對于給定

10、的力系，主矢惟一；對于給定的力系，主矢惟一；因而主矢是因而主矢是定義：力系中所有力對于同一點之矩的矢量和，稱為力系對這一點的主矩。1MMFnOOiiF2FnF1F3TSINGHUA UNIVERSITYniixxniiOOxMM11FFMniiyyniiOOyMM11FFMniizzniiOOzMM11FFM對于空間任意力系對于空間任意力系 主矩的分量表達式為主矩的分量表達式為TSINGHUA UNIVERSITY力系主矩的特點力系主矩的特點 力系主矩是力系主矩是，其作用點為矩心。，其作用點為矩心。 力系主矩力系主矩MO與矩心與矩心( O )的位的位置有關置有關;限定條件：限定條件：主矢主矢不

11、為零的力系的不為零的力系的主矩與矩心位置主矩與矩心位置有關。有關。TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY對于運動效應對于運動效應 二者等效二者等效FPFPFPFPTSINGHUA UNIVERSITY對于變形效應對于變形效應 二者不等效二者不等效對于運動效應對于運動效應二者依然等效二者依然等效FPFPFPFPTSINGHUA UNIVERSITY怎樣判斷不同力系對同一剛體的怎樣判斷不同力系對同一剛體的運動效應運動效應是否相同？是否相同？MCFBFAFCMEMDTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY任意的同一點任意的同一

12、點TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITY力系的簡化：用更簡單的力系代替原力系。力系的簡化：用更簡單的力系代替原力系。TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYrFFTSINGHUA UNIVERSITYFFF FTSINGHUA UNIVERSITYFFF FTSINGHUA UNIVERSITY FF FM=FdFTSINGHUA UNIVERSITY FF FM=FdF FhMMOFTSINGHUA

13、 UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYFRnii1RFF TSINGHUA UNIVERSITYFRnii1RFF niixxniixxFFFF1R1RTSINGHUA UNIVERSITYniiOniiOMMM11FTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVE

14、RSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYkN5kN4kN3321FFF、TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYFRy3R1231R123104kN5kN cos308 33kN3kN05kN sin300 5kN.xixxxxinyiyyyyiFFFFFFFFFFFRxTSINGHUA UNIVERSITYFRxFRy3R1231R123104kN5kN cos308 33kN3kN05kN sin300 5kN.xixxxxinyiyyyyiFFFFFFFFFFkN3458kN50kN338222R2RR.y

15、xFFF99808.345kNkN338cosRR.FFx63.TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYniiOMM1m40N400sin30m40N6001mN200332211321.hFhFhFMMMmN520TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY01ABFMMMniiB0.387m387mmmm122mm750AB102.4kN 0.387m0.93kN mnBiiMMMFABMTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYFnF2F1F1F2FnM1M2MnTSINGHUA UNI

16、VERSITYF1F2FnM1M2MnFRTSINGHUA UNIVERSITY 將每個力向將每個力向簡化中心平移簡化中心平移F1F2F3FnTSINGHUA UNIVERSITYyF1F2FnM1M2MnTSINGHUA UNIVERSITYFRzFRxFRyyF1F2FnM1M2MnTSINGHUA UNIVERSITYMyMxMzyF1F2FnM1M2MnTSINGHUA UNIVERSITYFRzFRxFRyMyMxMzFRMOyxzTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY一般力系向任意簡化中心簡化一般力系向任意簡化中心簡化的結果，得到一個合力和一個

17、合力偶。的結果，得到一個合力和一個合力偶。因此，可以說：因此，可以說：力和力偶是構成一般力系的基本單元；力和力偶是構成一般力系的基本單元；匯交力系匯交力系和和力偶系力偶系都是基本力系，是一都是基本力系，是一般力系的特殊情形。般力系的特殊情形。TSINGHUA UNIVERSITY一般力系向任意簡化中心簡化，一般力系向任意簡化中心簡化，所得所得力的矢量力的矢量等于力系的主矢等于力系的主矢( (請注意合力與主請注意合力與主矢的區(qū)別矢的區(qū)別) )主矢矢和合力(resultant)是兩個不同的概念: 合力是作用在同一點上的各力的向量和，主矢矢可以是作用點不同的各力之向量和沒有作用點) 簡化簡化點點TS

18、INGHUA UNIVERSITY一般力系向任意簡化中心簡化，一般力系向任意簡化中心簡化，所得所得，在數值上等于該力系中所有力，在數值上等于該力系中所有力對簡化中心的主矩對簡化中心的主矩( (請注意主矩與合力偶矢量請注意主矩與合力偶矢量的區(qū)別的區(qū)別) )。TSINGHUA UNIVERSITY力系的主矢不隨簡化中心的改力系的主矢不隨簡化中心的改變而改變，所以稱為力系的不變量。變而改變，所以稱為力系的不變量。主矩則隨簡化中心的改變而改變。主矩則隨簡化中心的改變而改變。( (一般一般）主矢不為零主矢不為零TSINGHUA UNIVERSITY 一般力系向任意簡化中心簡化，所得力偶的力偶一般力系向任

19、意簡化中心簡化，所得力偶的力偶矩，在數值上等于該力系中所有力對于簡化中心的主矩矩，在數值上等于該力系中所有力對于簡化中心的主矩( (請注意主矩與合力偶矢量的區(qū)別請注意主矩與合力偶矢量的區(qū)別) )。 一般力系向任意簡化中心簡化，所得力的矢量等于一般力系向任意簡化中心簡化，所得力的矢量等于力系的主矢力系的主矢( (請注意合力與主矢的區(qū)別請注意合力與主矢的區(qū)別) )。 一般力系向任意簡化中心簡化的結果，得到一個一般力系向任意簡化中心簡化的結果，得到一個力和一個力偶。力和一個力偶。主矩是主矩是是是TSINGHUA UNIVERSITY 由由F1、F2組成的空間力系，已組成的空間力系，已知：知：F1 =

20、 F2 = F。試求力系的主矢。試求力系的主矢FR以及力系對以及力系對O、A、E三點的主矩。三點的主矩。 令令i、j、k為為x、y、z方向的單位方向的單位矢量，則力系中的二力可寫成矢量，則力系中的二力可寫成 于是，力系的主矢為于是，力系的主矢為 )43(51jiFF)43(52jiFFiFFFF562121RFiiTSINGHUA UNIVERSITY 應用矢量叉乘方法，力系對應用矢量叉乘方法，力系對O、A、E三點的主矩分別為：三點的主矩分別為：2211MMFrFOOiiiii2211FrFr)43(53jikF)43(54jijF)12912(5kjiF)43(51jiFF)43(52jiF

21、FTSINGHUA UNIVERSITY 應用矢量叉乘方法，力系對應用矢量叉乘方法，力系對O、A、E三點的主矩分別為：三點的主矩分別為：2121iECEAiiEFrFrFrM)12912(5kjiF)12912(5kjiF)43(5)34(jikjF)43(53)43(54jikjijFF2210FrFrMACiiiA)43(51jiFF)43(52jiFFTSINGHUA UNIVERSITY 圖示空間力系中，力偶作用在圖示空間力系中，力偶作用在Oxy 平面內，力偶矩平面內，力偶矩M = 24Nm。試求此力系向試求此力系向 O 點簡化的結果。點簡化的結果。 首先，將已知的力和首先，將已知的力

22、和力偶都表示為矢量的形式力偶都表示為矢量的形式M =(-24k) Nm F1=(4j)N F2=(6i,-8j)NF3=(-6i,-8k)N F1F2F3TSINGHUA UNIVERSITYM =(0,0,-24) Nm N)0 , 4 , 0(1FN)0 , 8, 6(2FN)8, 0 , 6(3F同時將同時將O O點至各力的矢徑也點至各力的矢徑也表示為矢量的形式表示為矢量的形式m)0 , 0 , 3(1rm)4 , 4 , 0(2rm)4 , 4 , 3(3rF1F2F3TSINGHUA UNIVERSITY然后，將力和力偶向然后，將力和力偶向O O點簡化，根據主矢和主矩的點簡化，根據主

23、矢和主矩的表達式，采用矢量運算，得到力系的主矢為：表達式，采用矢量運算，得到力系的主矢為： M =(0,0,-24) Nm N)0 , 4 , 0(1FN)0 , 8, 6(2FN)8, 0 , 6(3Fm)0 , 0 , 3(1rm)4 , 4 , 0(2rm)4 , 4 , 3(3rN)8, 4, 0(RiFFTSINGHUA UNIVERSITY 然后，將力和力偶向然后，將力和力偶向O點簡化，根據主矢和主矩的表達點簡化，根據主矢和主矩的表達式，采用矢量運算，式，采用矢量運算，得到力系的主矩為：得到力系的主矩為： 32FrFrFrMFMM3211)(OO0 0243000443440406

24、80608ijkijkijk, ,0 2412 N m,M =(0,0,-24) Nm N)0 , 4 , 0(1FN)0 , 8, 6(2FN)8, 0 , 6(3Fm)0 , 0 , 3(1rm)4 , 4 , 0(2rm)4 , 4 , 3(3rTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYFAx

25、FAyTSINGHUA UNIVERSITYFAxFAyTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY主矢是主矢是力系主矩是力系主矩是是是是是TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY平面力系簡化為一個力偶，這種情況下，主矩與簡化中心的選擇無關原力系可合成為一個合力，合力等于主矢，合力的作用線通過簡化中心。00R，OMF 00ROMF，00R，OMF00ROMF，TSINGHUA UNIVERSITY00ROM

26、F，TSINGHUA UNIVERSITYxyzFR最后結果最后結果xyzMOFRd=M/FRTSINGHUA UNIVERSITYFRMOxyzFRxyzMOxd=Moy / FRxyzMOxMOyFR最后結果最后結果TSINGHUA UNIVERSITYFRxyzMOxd=Moy / FR力力 螺螺 旋：旋：一個力和一個矢量與力矢共線的力偶所組成的特殊系統一個力和一個矢量與力矢共線的力偶所組成的特殊系統TSINGHUA UNIVERSITY 力系如圖所示力系如圖所示,若若FT、FQ、h、e 等為已知。研究：等為已知。研究： 1. 向向 C 點簡化結果點簡化結果 2. 最后簡化結果最后簡化結

27、果heCFQTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYniiOO1RFMFMniiOO1RFMFMniiO1MMTSINGHUA UNIVERSITY 應用合力之矩定理以及微應用合力之矩定理以及微積分方法，可以確定工程中一積分方法，可以確定工程中一些復雜載荷的合力。些復雜載荷的合力。 應用合力之矩定理不難求得其應用合力之矩定理不難求得其合力合力F的大小及作用點位置：的大小及作用點位置： 例如，單位厚度水壩承受力例如，單位厚度水壩承受力側向靜水壓力的模型，側向靜水側向靜水壓力的模型，側向靜水壓力自水面起為零至壩基處取最壓力自水面起為零至壩基處取最大值，中間呈線性

28、分布。大值，中間呈線性分布。TSINGHUA UNIVERSITYR2RR001dd2FdFFgxxgddd321其中：其中：為水的密度；為水的密度；g為重力加速度；為重力加速度；d為水深；為水深；d1為為合力作用點至水面的距離。合力作用點至水面的距離。 應用合力之矩定理不難求得應用合力之矩定理不難求得其合力其合力FR的大小及作用點位置：的大小及作用點位置： 3R102R1d32 123 23dF dgx x xgdgddF dTSINGHUA UNIVERSITYPart B 力對點的矩力對點的矩 三角形分布載荷作用在水平梁三角形分布載荷作用在水平梁 AB上，如圖所示，最大載上，如圖所示，最大載荷集度為荷集度為 q ,梁長梁長 l , 試求該力系的合力。試求該力系的合力。TSINGHUA UNIVERSITYPart B 力對點的矩力對點的矩1. 計算合力的大小