二次量子化基礎(chǔ)

1、 二次量子化基礎(chǔ)基本思想一次量子化基本方程為Schrdinger方程.任意狀態(tài)可在Hilbert空間按基矢展開為 ,基矢可為某不含時(shí)Hamiltonian的本征態(tài).二次量子化的基本思想就是將按基矢展開的Schrdinger方程（或其它場方程）的解看作場算符，展開系數(shù)為相應(yīng)于單粒子態(tài)的湮滅算符和產(chǎn)生算符。1. Hartree-Fock自洽場方法H-F方法是一種有用的近似方法，在計(jì)算原子中電子殼模型勢和原子核殼模型勢時(shí)獲得較好結(jié)果。這種方法便于作獨(dú)立粒子近似，即設(shè)粒子近似獨(dú)立地在其它粒子的平均場中運(yùn)動(dòng)?？紤]由N個(gè)全同F(xiàn)ermi子組成的系統(tǒng), 設(shè)粒子間有二體相互作用，Hamiltonian為 （1）

2、計(jì)及交換反對(duì)稱性，試探波函數(shù)可表或Slater行列式 （2）式中為正交歸一的單粒子態(tài)。利用（2），能量平均值為 （3）利用散度定理和在邊界為零，上式第1項(xiàng)為, 即 .證明：N=2時(shí)，, 利用的正交歸一性，對(duì)r2積分后得同理所以，略去x和r的下腳標(biāo)后，有 （4）（5）此即（3）式中后兩項(xiàng)的展開形式，證畢。同理，對(duì)N=3，4可證。H-F方法的基本思想：能量平均值在歸一化條件 （6）下取極值。（注：極小值系統(tǒng)穩(wěn)定，極大值系統(tǒng)不穩(wěn)定。）利用分析力學(xué)中取條件極值的拉氏乘子法，有 （7）式中為Lagrange乘子。由（3）取極值，利用變分公式其中變分導(dǎo)數(shù)公式 =我們得到 +C.C , （8）式中第一項(xiàng)的復(fù)

3、數(shù)共軛是嚴(yán)格的，即根據(jù)變分公式有 . .考慮到. （9）將（8）、（9）代入（7），因是任意函數(shù)，根據(jù)變分法基本引理，被積函數(shù)中的系函數(shù)之和應(yīng)為零，即Fock自洽場方程（10）因式中j=i的項(xiàng)之和為零，故j可以等于i，將（10）改寫為 (11) 定義密度矩陣 （13）代入（12）有 （14）式（11）是關(guān)于單粒子態(tài)的方程，比將（1）作用于得到的方程要簡單。但要求解（11）仍是困難的，一般只能用迭代法逐步逼近正確解。即先假設(shè)一個(gè)U, 由(11)解出, 再代入(12)求出新的U, 與假設(shè)的U比較后作修正，再代入（11），求出，直至由（12）算出的U與假設(shè)的一致。求得后再代回（2），即得系統(tǒng)的波函數(shù)

4、。將3.2節(jié)（14）式代入（39）, 得在粒子數(shù)表象中的能量算符 （15）式中 （16） （17）定義Fock真空態(tài): , (18)式中|0>表裸真空態(tài), | >表示在N個(gè)Fermi子組成的系統(tǒng)中, Fermi面之下的n個(gè)單粒子態(tài)已填滿, 個(gè)Fermi面之上的態(tài)未填入粒子的“真空態(tài)”.利用編時(shí)乘積，正規(guī)乘積和收縮的定義，可將（15）化為便于計(jì)算的形式。場算符的正規(guī)乘積：設(shè)A，B，C，D,既含產(chǎn)生算符又含湮滅算符，則ABCD的正規(guī)乘積記為: ABCD:, 規(guī)定a. 作用于真空態(tài)上為0的算符放在右邊;b. 對(duì)于Bose子,兩算符換位時(shí)不變號(hào), 對(duì)于Fermi子,兩算符換位時(shí)變號(hào).2.

5、全量子處理從粒子數(shù)表象中的能量算符（15）出發(fā)，求解相應(yīng)的含時(shí)Schrodinger 方程 (19)通常將態(tài)矢按一套已知基矢展開為 ， (20)代入（19）求展開系數(shù)，它們的模方描述系統(tǒng)處于態(tài)的幾率，其時(shí)間演化描述了不同態(tài)之間的量子躍遷。對(duì)于不含時(shí)系統(tǒng)，（19）有定態(tài)解 ，代入（19）得本征方程 (21)同樣可將定態(tài)按一套已知基矢展開為 ， (22)代入（21）可得個(gè)不同的本征態(tài)和本征能量.Bose-Einstein凝聚體的二次量子化處理 考慮由N個(gè)全同Bose子組成的系統(tǒng), 有外場和粒子間的兩體相互作用, 總Hamiltonian為 (A1)歸一化的交換對(duì)稱波函數(shù)為， (A2)式中P指對(duì)處于

6、不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對(duì)換所構(gòu)成的置換. 已知在標(biāo)準(zhǔn)情況下，1克分子量氣體約有個(gè)分子，占有22.4公升的體積。因此，1 立方毫米體積中的分子數(shù)約為個(gè)，1 立方微米體積中約有個(gè)分子。而在Bose-Einstein實(shí)驗(yàn)中，通常在毫米量級(jí)的阱中囚禁了個(gè)BEC粒子，因此BEC是非常稀薄的氣體。對(duì)于凝聚Bose子,它們處于同一單粒子基態(tài), 波函數(shù)(A2)式可表為 . (A3)因此, 能量期待值為 (A4)因BEC實(shí)驗(yàn)中N的典型值至少為105, 故式中(N-1)約等于N. 利用在邊界為零, (A4)式為 (A5)這里 H 為Hamiltonian密度. 對(duì)于理想凝聚體, 場算符和Hamiltonian為

7、 （A6） (A7)場量子化后, 與為共軛正則變量. 二次量子化后的Heisenberg 方程可表為正則方程 . （A8）（A7）式代入（A8），即得自洽場方程： （A9）若（A1）中H包含三體作用，則（A9）中應(yīng)含五次項(xiàng) . 將粒子看作硬球，相互作用為低能散射，硬球散射勢下散射方程及邊界條件為： （A10a）式中a為正比于相移的s波散射長度，E. Fermi在1936年證明，該散射相當(dāng)于一個(gè)有效相互作用 （A10b）將（A9）式中用該勢取代，應(yīng)為. （A10）代入（A9），得理想凝聚體的Gross-Pitaevskii方程. （A11）對(duì)于非理想凝聚體, 場算符應(yīng)分解為凝聚部分和非凝聚部分.

8、 當(dāng)非凝聚部分為一級(jí)小量時(shí), (A11)式仍然成立, 但應(yīng)理解為它的期待值, 被稱為序參量或凝聚體波函數(shù). 若（A9）式中Ve不顯含t, 令，得定態(tài)方程 （A12）因非線性的存在，一般不是單粒子能量，而是化學(xué)勢，即T=0時(shí)的費(fèi)米能. 由（A12）乘積分，可得與能量泛函（A5）中的關(guān)系。注意到，在外勢含時(shí)情形，由（A5）和（A10）可得 （A13）對(duì)于每個(gè)單粒子有兩個(gè)態(tài)的情形，將場算符按兩模展開， 。代入（A13）并對(duì)空間坐標(biāo)積分，注意到為正交歸一的態(tài)函數(shù)，有 ， （A13）式中 ， ， ， 。 （A14）專題1：驅(qū)動(dòng)雙阱中的冷原子雙阱（double-well）勢可由磁場和高斯型激光場產(chǎn)生 （A

9、15）未驅(qū)動(dòng)雙阱中的冷原子Hamiltonian為 （A16）引入偶極激光驅(qū)動(dòng) 并考慮原子-原子相互作用 ，平均Hamiltonian（A7）成為 （A17）一、平均場處理 由（A17）和Heisenberg 方程（A8）得非線性Schrodinger方程，。 （A18）從（A18）出發(fā)，可研究驅(qū)動(dòng)淺雙阱中弱耦合冷原子的各種規(guī)則與混沌運(yùn)動(dòng)。二、全量子處理已知未驅(qū)動(dòng)雙阱中單原子兩最低本征態(tài)和本征能量服從 （A19）我們構(gòu)造基矢 Wannier 態(tài)為 （A20）其中 ，。 （A21）將場算符按（A21）展開為 （A22）可得 （A23）略去常數(shù)項(xiàng)，并令 （A24）代入（A17），得驅(qū)動(dòng)雙阱中冷原子

10、的 Bose- Hubbard Hamiltonian（A25）相應(yīng)的含時(shí)Schrodinger 方程為 （A26）從（A26）出發(fā)，可研究驅(qū)動(dòng)深雙阱中低能態(tài)冷原子的各種量子運(yùn)動(dòng)。利用近期發(fā)展的磁光囚禁技術(shù)和激光整形技術(shù)，改變（A17）中的勢函數(shù)，可得不同冷原子系統(tǒng)類似于（A18）和（A26）的基本方程。利用它們可研究不同系統(tǒng)中冷原子的各種規(guī)則與混沌運(yùn)動(dòng)及其操控，以及它們?cè)谠蛹す?、量子輸運(yùn)、精密測量和量子信息處理等方面的應(yīng)用。例1、雙阱中單原子系統(tǒng)的全量子處理系統(tǒng)的哈密頓量為， （1-1）態(tài)矢可展開為 ， （1-2）其中分別為原子在第一個(gè)阱和第二個(gè)阱的態(tài)矢。代入Schrodinger 方程

11、， （1-3）即 （1-4）得 （1-5）當(dāng)為常數(shù)，可求定態(tài)解和非定態(tài)（類相干態(tài)）解。定態(tài)解形如 ， （1-6）與（1-2）比較知 常數(shù)。 （1-7）代入（1-5）有 （1-8）由此解得 ， （1-9） . （1-10）利用 (1-9) 和歸一化條件 , （1-11）可得 , . （1-12）代入(1-6) 得對(duì)應(yīng)于兩不同能量 的兩個(gè)定態(tài)解. （1-13）它們的線性迭加為類相干態(tài)解 ， （1-14）其中 ，由（1-12）決定，為由初始條件和歸一化條件決定的常數(shù)。調(diào)節(jié)外場參數(shù)和初始條件，可以控制粒子處在不同態(tài)的幾率 和在不同態(tài)之間的量子躍遷。注意，計(jì)算幾率 時(shí)存在相位相干效應(yīng)。由于該控制的核心是

12、是量子相干，因此稱為相干控制。 當(dāng)為周期函數(shù)，可由（1-5）求非定態(tài)解。特別是當(dāng)取外場為高頻周期函數(shù)時(shí)，已得到許多有趣的結(jié)果，包括量子躍遷的相干破壞等。例2、驅(qū)動(dòng)雙阱中兩原子系統(tǒng)的全量子處理兩粒子雙阱系統(tǒng)的哈密頓量為 。 （2-1）這個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù) 可按基矢量展開為 ， （1-2）其中 表示有j個(gè)粒子處在第一個(gè)阱，個(gè)粒子處在第一個(gè)阱的態(tài)，為相應(yīng)的幾率幅。將（2-1）和（2-2）代入 ， （2-3）有方程組， （2-4）。由（2-4）解出幾率幅，則兩粒子隨時(shí)間的演化、粒子從一個(gè)阱到另一個(gè)阱的量子隧穿等物理性質(zhì)都可知道。一般（2-4）式的解析解很難求得，只能求它的數(shù)值解或近似解。在高頻情況下，可得

13、（2-4）式的近似解析解。該情形幾率幅可用慢變函數(shù)表示為 ， 。 （2-5）代入方程組（2-4）得慢變函數(shù)的方程， （2-6）。 當(dāng)含時(shí)驅(qū)動(dòng)中，時(shí)，展開（2-6）式中指數(shù)函數(shù)為傅里葉級(jí)數(shù)， （2-7）這里為第一類階Bessel函數(shù)。（2-7）代入（2-6），在條件下，（2-6）式中快速振蕩的指數(shù)函數(shù)可用其時(shí)間平均替代，于是有， （2-8）。該方程是一組常系數(shù)線性方程，其通解是人們已知的。由（2-8）可見系統(tǒng)某些有趣的物理性質(zhì)。若取外場參數(shù)為的零點(diǎn)，則為常數(shù)。若初始狀態(tài)為兩粒子分別處在左右阱，即取，則歸一化要求，系統(tǒng)以后都將處在這個(gè)狀態(tài)，這就是隧穿的相干破壞。 因哈密頓量是周期的，根據(jù)Floquet定理，薛定諤方程有Floquet解為。 （2-9）令， （2-10）代入上述方程組，利用線性方程組有非零解的條件解得Floquet準(zhǔn)能量 ，. （2-11）這里 。令，F(xiàn)loquet準(zhǔn)能量隨外場參數(shù)的變化如下圖：對(duì)于Floquet準(zhǔn)能量，將（2-10）代入（2-8），并利用歸一化條件，可得，式中為