拉格朗日定理和ppt課件

1、1 拉格朗日定理和 函數(shù)的單調(diào)性一、羅爾定理與拉格朗日定理二、函數(shù)單調(diào)性的判別質(zhì)來得到 f 在該區(qū)間上的整體性質(zhì).f 中值定理, 就可以根據(jù)在區(qū)間上的性 中值定理是聯(lián)系 與 f 的橋梁. 有了 f 定理定理6.1(6.1(羅爾中值定理羅爾中值定理) )上滿足：上滿足：區(qū)間區(qū)間在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(baxf一、羅爾定理與拉格朗日定理那么在開區(qū)間那么在開區(qū)間(a, b)內(nèi)必定內(nèi)必定(至少至少)存在一點(diǎn)存在一點(diǎn), 使使( )0.f (i) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù);(ii) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 上可導(dǎo)上可導(dǎo);(iii) f(a) = f(b).(1) 幾何意義幾何意義據(jù)右

2、圖據(jù)右圖, , xyabAB1 2 O平的平的. .一點(diǎn)處的切線也是水一點(diǎn)處的切線也是水 看出看出, , 曲線上至少有曲線上至少有 的的. .由幾何直觀可以由幾何直觀可以所以線段所以線段 AB AB 是水平是水平因?yàn)橐驗(yàn)辄c(diǎn)擊上圖動畫演示點(diǎn)擊上圖動畫演示f (a) = f (b), (2) 條件分析條件分析Oxy定理中的三個條件都很重要，缺少一個定理中的三個條件都很重要，缺少一個, ,結(jié)論不結(jié)論不 1, 010,)( (a)xxxxf函函數(shù)數(shù)在在 0, 1 0, 1 上滿足條件上滿足條件 (ii) (ii) 和和一定成立一定成立. .數(shù)在數(shù)在 (0, 1) (0, 1) 上的導(dǎo)數(shù)恒為上的導(dǎo)數(shù)恒為

3、1.1.(iii), 但條件但條件 (i) 不滿足不滿足,該函該函 1, 1|,|)( (b) xxxf滿足條件滿足條件 (i) 和和 (iii), 但條件但條件條件條件 (i) (i) 和和 (ii),(ii),但條件但條件 (iii)(iii)1, 0,)( (c) xxxf滿足滿足Oxy1Oyx1 1處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)), 結(jié)論也不成立結(jié)論也不成立.(ii) 卻遭到破壞卻遭到破壞 ( f 在在 x = 0 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為1. 1. 卻遭到破壞卻遭到破壞, ,該函數(shù)在該函數(shù)在 (0, 1)(0, 1)2( )( )f xx D x注注 函函數(shù)數(shù)-1O121234xy 1, 2在在區(qū)

4、區(qū)間間上上三三個個條件都不滿足條件都不滿足, 卻仍有卻仍有 f (0)=0. 這說明羅爾定這說明羅爾定 理的三個條件是充分理的三個條件是充分 條件條件, 而不是必要條件而不是必要條件. 定理的證明定理的證明因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) f (x) 在在 a, b a, b 上連續(xù)上連續(xù), ,所以由連續(xù)函數(shù)的所以由連續(xù)函數(shù)的最大、最大、 情形情形1 M = m.此時(shí)此時(shí) f (x) 恒為常數(shù)恒為常數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)恒它的導(dǎo)函數(shù)恒 f () = 0 . 小值小值 m .m .下面分兩種情形加以討論下面分兩種情形加以討論. . 最小值定理最小值定理,f (x) ,f (x) 在在 a, b a, b 上能取得最

5、大值上能取得最大值 M M 和最和最 等于零等于零, ,此時(shí)可在此時(shí)可在 (a, b) (a, b) 內(nèi)隨意取一點(diǎn)內(nèi)隨意取一點(diǎn) , , 就有就有 情形情形2 m 0 , 存在存在 使使 由于由于, 有有01sinlim20 xxx. 0)1cos1sin2(lim)(lim00 xxf.)1cos1sin2(lim)(lim00不不存存在在xxxxfxx 因因,01sin2lim0 xxx所所以以不不存存在在而而,1coslim0 xx 二、函數(shù)單調(diào)性的判別改為嚴(yán)格不等號改為嚴(yán)格不等號, 則相應(yīng)地稱它為嚴(yán)格增則相應(yīng)地稱它為嚴(yán)格增 (減減).下面的定理是本節(jié)中的兩個主要定理下面的定理是本節(jié)中的兩

6、個主要定理, 今后將不今后將不若函數(shù)若函數(shù),)(21IxxIxf 上上對對任任意意在在區(qū)區(qū)間間,21xx ),()()()(2121xfxfxfxf 必必有有則稱函數(shù)則稱函數(shù)假設(shè)假設(shè)“”. )(單單調(diào)調(diào)減減上上單單調(diào)調(diào)增增在在區(qū)區(qū)間間 I)( )(xf斷地使用斷地使用.定理定理6.36.3IxfIxf在區(qū)間在區(qū)間上可導(dǎo)，則上可導(dǎo)，則在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè))()(:( )0 ( 0).fx上上單單調(diào)調(diào)增增( (減減) )的的充充要要條條件件是是證證00,fx xI xx若若為為遞遞增增函函數(shù)數(shù) 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,有有00( )()0.f xf xxx00,()0.xxfx令令即即得得1212( )0,

7、.,()fxxIx xIxx反反之之, ,若若設(shè)設(shè)12,(,) ,xx 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理定理定理6.4 6.4 可微函數(shù)可微函數(shù) f (x) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 I I 上嚴(yán)格遞上嚴(yán)格遞增的充增的充,0)()()(1212 xxfxfxf 即即),()(12xfxf( ).f x這這就就證證明明了了函函數(shù)數(shù)遞遞增增12121,()xxI xxf x是是嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞增增, ,則則存存在在使使6.3( ).( )f xf x 由由定定理理可可知知遞遞增增 若若充充分分性性不不證證個區(qū)間個區(qū)間. .12( )(,),f xxx這這就就得得到到在在區(qū)區(qū)間間上上恒恒為為常常數(shù)數(shù)

8、 故故2().f x滿足滿足 的點(diǎn)集不含一的點(diǎn)集不含一( )0,fx ( )0fx 要條件是：要條件是：),(,0)(21xxxxf 矛盾矛盾. 充分性得證充分性得證.注注 請讀者寫出相應(yīng)于遞減和嚴(yán)格遞減的判別定理請讀者寫出相應(yīng)于遞減和嚴(yán)格遞減的判別定理.必要性請讀者自證必要性請讀者自證. .( )0( )0),Ifxfx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上可可微微推推, ,若若論論().fI則則在在 上上嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞增增 嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞減減在實(shí)際應(yīng)用中我們經(jīng)常會用到下面這個事實(shí)在實(shí)際應(yīng)用中我們經(jīng)常會用到下面這個事實(shí).性質(zhì)性質(zhì)),()(),(,)(減減遞增遞增嚴(yán)格嚴(yán)格上上上連續(xù)，上連續(xù)，在在若若bab

9、axf( ) , ()().f xa b則則在在上上 嚴(yán)嚴(yán)格格 遞遞增增 減減作為應(yīng)用，下面再舉兩個簡單的例子作為應(yīng)用，下面再舉兩個簡單的例子.例例7 求證求證.0,1e xxx證證則則設(shè)設(shè),1e)(xxFx . 1e)( xxF所所以以( )0,0,),0,F xxx且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)( )0F x( )0).F x的的點(diǎn)點(diǎn)不不含含一一個個區(qū)區(qū)間間故故( )0,)F x在在,0,x 上上嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞增增 所所以以對對任任意意恒有恒有, 0)0()( FxF例例8 設(shè)設(shè) f (x) = x 3 x. 討論函數(shù)討論函數(shù) f 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解 由于由于),13)(13(13)(2 xxxxf因而因而遞遞增增，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)fxfx, 0)()31,( 遞遞減減，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)fxfx, 0)()31,