巴特沃斯濾波器

1、6.26.2模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計第一小組成員：付曉瑋 危靜 張文林 趙朝陽 張建中 楊浩澎本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)內(nèi)容：1.1.模擬濾波器的設(shè)計總述；模擬濾波器的設(shè)計總述；2.2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計原理；巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計原理；3.3.關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計的例題；關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計的例題；I. I. 模擬濾波器的設(shè)計總述模擬濾波器的設(shè)計總述 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)

2、濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。 典型濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器:具有單 調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動，可提高選擇性；貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內(nèi)有較好的線性相位；橢圓（Ellipse）濾波器：選擇性最好，但相位特性的非線性嚴(yán)重。選頻型模擬濾波器按頻率特性可分為低通，高選頻型模擬濾波器按頻率特性可分為低通，高通，帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅頻特性通，帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅頻特性如圖所示：如圖所示：)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)

3、(jaH)(jaH000c 圖6.2.1 各種理想濾波器的幅頻特性 模擬濾波器設(shè)計指標(biāo)模擬濾波器設(shè)計指標(biāo) 圖6.1.1 典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)一個傳輸函數(shù)H Ha a(s)(s)，希望其幅度平方，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的函數(shù)滿足給定的技術(shù)技術(shù)指標(biāo)，一般濾波指標(biāo)，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此(6.2.6) 2()( ) ()()()aas jaaH jH s G sH jH j 2()()()()()aasjaaHjHsGsHjHj Butterworth低通濾波

4、器具有通帶最平幅度逼近特性，是一全極點型濾波器，且極點均勻分布上c的圓上,并且與虛軸對稱。其最主要特點：在通帶內(nèi)，幅頻最平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅度平方函數(shù)為 II II. .巴特沃斯低通濾波器的設(shè)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計原理計原理221()1()aNcHj(6.2.7) 在=c附近，隨加大，幅度迅速下降，幅度特性與和N的關(guān)系如下圖所示： 圖6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系 幅度下降的速度與階數(shù)N有 關(guān)， N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。 將幅度平方函數(shù)將幅度平方函數(shù)|H|Ha a(j)|(j)|2 2寫成

5、寫成s s的函數(shù)的函數(shù)： 21( )()1()aaNcHs Hssj(6.2.8) 此式表明幅度平方函數(shù)有此式表明幅度平方函數(shù)有2N2N個極點個極點，極點極點s sk k用下式表示：用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje (6.2.9) k=0,1,2,3k=0,1,2,3，2N-12N-1。 當(dāng)當(dāng)N=3N=3時：時：圖6.2.4 三階巴特沃斯濾波器極點分布 極點在極點在s s平面呈象平面呈象限對稱，分布在限對稱，分布在ButtterworthButtterworth圓上，圓上，共共2N2N點點 極點間的角度間隔極點間的角度間隔為為/ / N radN rad 為形成因

6、果穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s s平面左半平面平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式為10( )()NcaNkkHsss(6.2.10) 23012321334135jccjcjccjcsessesesse取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)： 32233( )()()()aajjcccH sssseg：設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為23012321334135jccjcjccjcsessesesse23012321334135jccjcjccjcsessesesse 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所

7、有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 G(s/c) 令=/c，p=s/c=j/c,稱為歸一歸一化頻率化頻率；p p稱為歸一化復(fù)變量歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為101( )()aNkkccH sss(6.2.11) 101( )()aNkkHppp(6.2.12) G 式中，pk為歸一化極點，用下式表示： 1 21()22,0,1,1kjNkpekN(6.2.13)顯然， Sk=cpk(6.2.14) 這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，再求出N個極點Pk，按照(6.2.12)得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p),若給定c,再去歸一化，即將p

8、=s/c代入Gs(p)中(或求出Sk),便得到期望設(shè)計的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。將極點表達式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到Ga(p)的分母是p的N階多項式，如下：歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，K=0,1,2,N-1，以及極點Pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)N，查表就可以得到Ga(p)及各極點，而且還可以選擇級聯(lián)型和直連型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解的運算工作。 bpbpbpbppGNNNNNa0122111 (6.2.15)表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 將=s代入(6.2.7)式中，

9、再將|Ha(js)|2代入(6.2.3)式中，得到：(6.2.16) (6.2.17) 由(6.2.9)和(6.2.10)可知，只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率c，就可求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，故，巴特沃斯濾波器的設(shè)計實質(zhì)就是根據(jù)設(shè)計指標(biāo)求階數(shù)N和3dB截止頻率c的過程。下面先介紹階數(shù)N的確定方法。/10/10221()101()10psapNcaNsc 階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶，阻帶的幅度下降速度,它由技術(shù)指標(biāo)p，p，s和s確定。將=p代入幅度平方函數(shù)(6.2.7)中,再將幅度平方函數(shù)|Ha(js)|2代入(6.2.2)中，得到：/ 10/ 10

10、221()101()10psapNcaNsc 由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：1 01 01 0 1/ ,1 0 1psas psp s pak /10/10101()101psapNas令1 01 01 0 1/ ,1 0 1psas psp s pak 則N由下式表示： lglgs ps pkN (6.2.18c) (6.2.18a) (6.2.18b) lglgs ps pkN 用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出，由(6.2.16)式得到： 10. 1210.

11、 12( 101 )( 101 )psaNcpaNcs 由(6.2.17)式得到： (6.2.19)(6.2.20) 通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余10. 1210. 12( 101)( 101)psaNcpaNcs 總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p,p,s和s,用 (6.2.18)式求出濾波器的階數(shù)N。(2)按照(6.2.13)式,求出歸一化極點 pk,將 pk代入(6.2.12)式,得到歸一化低通原型 系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。 (3)將Ga(p)去歸一化。將p=s/c代入Ga(p), 得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s):

12、 Ha(s)Ha(s)= = G Ga a(p)(p)| | p=s/c c 例6.2.1 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。 解 (1) 確定階數(shù)N。 0 .10 .11 010 .0 2 4 21 0122 .42lg0 .0 2 4 24 .2 5 ,5lg2 .4psaspassppkffNN0. 10. 11010. 024210122. 42l g0. 02424. 25,5l g2. 4psaspassppkffNNIII.III.關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計的例題

13、關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計的例題0. 10. 11010. 024210122. 42lg0. 02424. 25,5lg2. 4psaspassppkffNN0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN0 . 10 . 11 010 . 0 2 4 21 0122 . 42l g 0 . 0 2 4 24 . 2 5 ,5l g 2 . 4psas pass ppkffNN (2) (2) 按照按照(6.2.1(6.2.13 3) )式，其極點式，其極點p pK K為為3455016523754,jjjjjsesesese

14、se按照(6.2.12)式，歸一化傳輸函數(shù)為401( )()akkHppp 上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。放在一起，形成因式分解形式。 5432432101( )aHppb pb pb pb pbG G極點：極點：-0.3090-0.3090j0.9511j0.9511; ;-0.8090-0.8090j0.5878;-1.0000j0.5878;-1.0000五階多項式五階多項式這里不如這里不如直接查表直接查表6.2.16.2.1簡單，由簡單，由N=5N=5，直接查表得到：，直接查表得到：式中：式中：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.236b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 1(3) (3) 為將為將Ha(p)Ha(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB3dB截止頻率截止頻率c c。 按照按照(6.2.1(6.2.19 9) )式，得到：式，得到：10. 1