換元積分法和分步積分法ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié)換元積分法和分步積分法換元積分法和分步積分法問題問題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一類換元法一、第一類換元法在一般情況下：在一般情況下：設(shè)設(shè)),()(ufuF 那那么么.)()( CuFduuf假如假如)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得換元法定理由此可得換元法定理設(shè)設(shè))(uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)， dxxxf)()( )(

2、)(xuduuf 第一類換元公式湊微分法）第一類換元公式湊微分法）說明說明使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將 dxxg)(化為化為.)()( dxxxf觀察重點不同，所得結(jié)論不同觀察重點不同，所得結(jié)論不同.)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則有換元公式則有換元公式定理定理1 1例例1 1 求求.2sin xdx解一）解一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解二）解二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解三）解三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例2 2 求求.231d

3、xx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 例例5 5 求求.122dxxa 解解

4、dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx

5、123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 例例10 10 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 例例11 11 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin317

6、53Cxxx 說明說明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分次項去湊微分.例例12 12 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例13 13 求求解一）解一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函數(shù)恒等變形）

7、（使用了三角函數(shù)恒等變形）解二）解二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 類似地可推出類似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx解解例例14 14 設(shè)設(shè) 求求 . .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 例例15 15 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(

8、arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分即可求出結(jié)果）湊微分即可求出結(jié)果）二、第二類換元法二、第二類換元法其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .證證設(shè)設(shè) 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 令令)()(xxF 那那么么dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，是單調(diào)的、可導(dǎo)

9、的函數(shù)， )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又又設(shè)設(shè))()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，定理定理2 2第二類積分換元公式第二類積分換元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 說明說明)(xF為為)(xf的原函數(shù)的原函數(shù),例例16 16 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t例例17 17 求求解解.423dxxx

10、令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例18 18 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 說明說明(1)(1) 以上幾例所使用的均為三角代換以上幾例所

11、使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 說明說明(2)(2) 積分中為了化掉根式除采用三角代積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換換外還可用雙曲代換.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar s

12、inh.ln22Caaxax 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換或雙曲代換并不是絕對的，需三角代換或雙曲代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明說明(3)(3)例例19 19 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例例20 20 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111C

13、tt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx說明說明(4)(4) 當(dāng)分母的階較高時當(dāng)分母的階較高時, 可采用倒代換可采用倒代換.1tx 例例21 21 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例22 22 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 231222121dttt 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121udu

14、u Cuu 11313.1131232Cxxxx 說明說明(5)(5) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例23 23 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(s

15、ecsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 三、小結(jié)三、小結(jié)兩類積分換元法：兩類積分換元法： （一湊微分（一湊微分（二三角代換、倒代換、根式代換（二三角代換、倒代換、根式代換基本積分表基本積分表(2)思考題思考題求積分求積分.)1(ln)ln(dxxxxp 思考題解答思考題解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln

16、)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp一、一、 填空題：填空題：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 則則 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax時，可作變量代換時，可作變量代換_ _，然后再求積分；，然后再求積分；3 3、 求求 dxxx211時可先令時可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；練練 習(xí)習(xí) 題題7 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxd

17、x_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 求求下下列列不不定定積積分分： （第第一一類類換換元元法法）1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx；3 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin；7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491；9 9、 dxxx

18、239； 10 10、 )4(6xxdx；1111、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1；1313、 dxxx2arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. .三、三、 求下列不定積分：求下列不定積分： （第二類換元法）（第二類換元法）1 1、 21xxdx；2 2、 32)1(xdx；3 3、 xdx21；4 4、 dxxaxx2；5 5、設(shè)、設(shè) xdxntan, ,求證：求證： 21tan11 nnnIxnI , , 并求并求 xdx5tan. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、CuF )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、-2-2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、Ct cos2； 10 10、Cxaaxaxa )(arcsin22222. .二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin； 2 2、Cx lnlnln； 3 3、Cx )1ln(cos2； 4 4、Cex arctan； 5 5、Cx 233)1(92； 6 6、C