質(zhì)點系的動量定理

1、2021/8/141第十二章第十二章動動 量量 定定 理理2021/8/142實際上的問題是： 1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非 常困難。 2、大量的問題中，不需要了解每一個質(zhì) 點的運 動,僅需要研究質(zhì)點系整體的運 動情況。 動力學(xué)普遍定理概述動力學(xué)普遍定理概述對質(zhì)點質(zhì)點動力學(xué)問題： 建立質(zhì)點運動微分方程求解。對質(zhì)點系質(zhì)點系動力學(xué)問題： 理論上講，n個質(zhì)點列出3n個微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。 從本章起, 將要講述解答動力學(xué)問題的其它方法, 主要討論的是動力學(xué)普遍定理動力學(xué)普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。2021/8/143 它們以簡明的

2、數(shù)學(xué)形式， 表明兩種量 一種是同運動特征相關(guān)的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力 矩、功等) 之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學(xué)問題非常方便簡捷 。 本章將研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，建立了動量的改變動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要形式質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理。2021/8/144 一一. .質(zhì)點系的質(zhì)心質(zhì)點系的質(zhì)心 定義定義 質(zhì)點系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心質(zhì)點系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點系質(zhì)量分布情況的一個重要概念。 12-1 12-1 質(zhì)點系的

3、質(zhì)心質(zhì)點系的質(zhì)心 內(nèi)力與外力內(nèi)力與外力)( imMiiCiiCrmrMMrmr 或則設(shè),kzjyixrcccc MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , , 質(zhì)心質(zhì)心 C C 點的坐標公式點的坐標公式 2021/8/145 在均勻重力場中，質(zhì)點系的質(zhì)心與重心的位置重合在均勻重力場中，質(zhì)點系的質(zhì)心與重心的位置重合?？刹刹捎渺o力學(xué)中確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置用靜力學(xué)中確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。 所考察的質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間相互作用的力。 對整個質(zhì)點系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對任一點（或軸）的主矩恒等

4、于零。即：?；?0)( 0)( ; 0)()()(iixiiOiiFmFmF二、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力二、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力 所考察的質(zhì)點系以外的物體作用于該質(zhì)點系中各質(zhì)點的力。 外力外力 內(nèi)力內(nèi)力2021/8/146 12-2 12-2 動量與沖量動量與沖量 一、動量一、動量 1.1.質(zhì)點的動量質(zhì)點的動量 質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積 mv 稱為質(zhì)點的動量。稱為質(zhì)點的動量。 是瞬時矢量，方向與v 相同。單位是kg m/s。 動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。例例：槍彈：速度大，質(zhì)量??； 船：速度小，質(zhì)量大。 2.2.質(zhì)點系的動量質(zhì)點系的動量質(zhì)點系中所有各質(zhì)點的動量的矢量

5、和質(zhì)點系中所有各質(zhì)點的動量的矢量和。CiivMvmp) (求導(dǎo)CiirMrm2021/8/147 CCzzCCyyCCxxzMMvpyMMvpxMMvp , , 剛體系統(tǒng)的動量剛體系統(tǒng)的動量設(shè)第i個剛體 則整個系統(tǒng)：ciivmCiivmpCiiCizizCiiCiyiyCiiCixixzmvmpymvmpxmvmp質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點系的動量。質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點系的動量。則：2021/8/148解解: 曲柄OA：滑塊B：連桿AB： 例例1 曲柄連桿機構(gòu)的曲柄OA以勻 轉(zhuǎn)動，設(shè)OA=AB=l ,曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿, 質(zhì)量各為m , 滑塊B的質(zhì)量

6、也為m。求求當(dāng) = 45時系統(tǒng)的動量。321CCCvmvmvmpmlvmC211mlmlvmABC2525 2mlvmC2 3mlmllllmmvmvmvpCCCx2221032522212254521321)()cossin(cossinABlPC;252（ P為速度瞬心，)2021/8/149mlmlllmmvmvpCCy2210125222125452121)()sincos(sincosmlpppyx23422171174ppppyxcos,cos2021/8/1410 變力的沖量變力的沖量（包括大小和方向的變化）元沖量元沖量: 沖量沖量：FdtFId 21ttdtFI 二沖量二沖量

7、力與其作用時間的乘積稱為力的沖量力與其作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應(yīng)。)(12ttFI 常力的沖量常力的沖量F2021/8/1411212121ttttttzyxZdtIYdtIXdtI , , 合力的沖量合力的沖量 等于各分力沖量的矢量和等于各分力沖量的矢量和 ittttttRIdtFdtFdtFI212121沖量的單位：m/skg sm/skg sN2與動量單位同2021/8/1412 12-3動量定理動量定理一質(zhì)點的動量定理一質(zhì)點的動量定理FvmdtdF

8、dtvdmam)( 在某一時間間隔內(nèi)，動量的增量等于力在該時間內(nèi)的沖量。在某一時間間隔內(nèi)，動量的增量等于力在該時間內(nèi)的沖量。IddtFvmd)(IdtFvmvmtt2112 質(zhì)點的動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點的力質(zhì)點的動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點的力質(zhì)點的動質(zhì)點的動量定理。量定理。 微分形式微分形式質(zhì)點質(zhì)點動量的微分等于力的元沖量。動量的微分等于力的元沖量。 積分形式積分形式 矢量形式矢量形式2021/8/1413 投影形式投影形式Xmvdtdx)(Ymvdtdy)(Zmvdtdz)(2112ttxxxXdtImvmv2112ttyyyYdtImvmv2112ttzzzZdtImvmv 質(zhì)

9、點的動量守恒質(zhì)點的動量守恒若，則常矢量，質(zhì)點作慣性運動若，則常量，質(zhì)點沿 x 軸的運動是慣性運動0F0 xFvmxmv二質(zhì)點系的動量定理二質(zhì)點系的動量定理)()()(eiiiiiFFvmdtd )0( )()()(iieiiiiiFFFvmdtd而對整個質(zhì)點系：對質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點 i， 矢量形式矢量形式2021/8/1414 質(zhì)點系動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點系上所有外力質(zhì)點系動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點系上所有外力的矢量和。的矢量和。 質(zhì)點系動量的微分等于作用在質(zhì)點系上所有外力元沖量質(zhì)點系動量的微分等于作用在質(zhì)點系上所有外力元沖量的矢量和。的矢量和。在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量的改變量等

10、于作用在質(zhì)點在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量的改變量等于作用在質(zhì)點系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。 積分形式積分形式 微分形式微分形式)()(eieiIddtFpd)(eiIpp12)(eiFdtpd質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理2021/8/1415 投影形式投影形式)(exXidtdp)(eyYidtdp)(ezZidtdp21)()(12tteiexxdtXIixpp21)()(12tteieyydtYIiypp21)()(12tteiezzdtZIizpp 質(zhì)點系的動量守恒質(zhì)點系的動量守恒若則常矢量。若則常量。, 0)(eiF,

11、 0)(eiXiivmpixixvmp 只有外力才能改變質(zhì)點系的動量，內(nèi)力不能改變整個質(zhì)只有外力才能改變質(zhì)點系的動量，內(nèi)力不能改變整個質(zhì)點系的動量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量的傳遞。點系的動量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量的傳遞。2021/8/1416 例例2 已知砂子以恒質(zhì)量流率 設(shè)以近似勻速 流入車廂內(nèi)，與此同時，車廂在水平常力F 的作用下由靜止開始運動。求向車廂內(nèi)輸送了質(zhì)量為m的砂子時，車廂的速度v和軌道給車廂的平均法向反力N 。車廂的質(zhì)量為M 。skgm smu解：解： 取車廂和質(zhì)量為m的砂子組成的質(zhì)點系為研究對象； 受力分析如圖； 取Oxy直角坐標軸；2021/8/1417 根據(jù)動量定

12、理求解：002121yyxxpmupvmMpp)(21211212tteyyttexxdtYppdtXpp)()(由動量定理：dtmgMgNmudtFvmMtt)()(00)(00mmgmMmmNtgmMtNmummFtFvmM)()()(umgmMNmmMFmv)(;)(解得：2021/8/1418例例3 質(zhì)量為M的大三角形柱體, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時,大三角形柱體的位移。0)(axmvvM解解：選選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。研究對象。受力分析受力分析， , 0)(eiXxp水平方向常量。由水平方向動量守恒及初始靜止由水平方向動量守

13、恒及初始靜止；則0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrx小三角塊相對大三角塊速度為 ，rvravvvv設(shè)大三角塊速度則小三角塊運動分析運動分析， mmMSSmmMvvrxrx2021/8/141912-4質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理將 代入到質(zhì)點系動量定理，得CvMp )()(eiCFvMdtd若質(zhì)點系質(zhì)量不變，則 或)(eiCFaM)(eiCFrM 上式稱為矢量形式的質(zhì)心運動定理（或質(zhì)心運動微分方上式稱為矢量形式的質(zhì)心運動定理（或質(zhì)心運動微分方程）。質(zhì)點系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點系上所程）。質(zhì)點系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。

14、有外力的矢量和（外力系的主矢）。一質(zhì)心運動定理一質(zhì)心運動定理 矢量形式矢量形式2021/8/1420;0 , , )()()(eibeinCneiCFFMaFMa;0, , )()(2)(eibeinCeiFFvMFdtdvM或 自自 然然坐標形式坐標形式 ： 直角直角坐標形式坐標形式 ：; , , )()()(eiCzeiCyeiCxZMaYMaXMa; , , )()()(eiCeiCeiCZzMYyMXxM 或 投影形式投影形式)()()(eiCiiCizieiCiiCiyieiCiiCixiZzmamYymamXxmam 剛體系統(tǒng)質(zhì)心運動定理投影形式剛體系統(tǒng)質(zhì)心運動定理投影形式2021

15、/8/1421 質(zhì)心運動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點運動質(zhì)心運動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點運動微分方程形式相似。對于任意一個質(zhì)點系，微分方程形式相似。對于任意一個質(zhì)點系， 無論它作什么形無論它作什么形式的運動，式的運動， 質(zhì)點系質(zhì)心的運動可以看成為一個質(zhì)點質(zhì)點系質(zhì)心的運動可以看成為一個質(zhì)點 討論討論 只有外力才能改變質(zhì)點系質(zhì)心的運動只有外力才能改變質(zhì)點系質(zhì)心的運動, 內(nèi)力不能改變質(zhì)心的內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的運動。運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的運動。的運動，的運動， 并設(shè)想把整個質(zhì)點系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個點上，并設(shè)想把整個質(zhì)點系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心

16、這個點上， 所有外力也集中作用在質(zhì)心這個點上所有外力也集中作用在質(zhì)心這個點上。 在定向爆破中，爆破時質(zhì)系中各在定向爆破中，爆破時質(zhì)系中各質(zhì)點的運動軌跡不同，但質(zhì)心的運質(zhì)點的運動軌跡不同，但質(zhì)心的運動軌跡近似一拋物線，由此可初步動軌跡近似一拋物線，由此可初步估計出大部分物塊堆落的地方。估計出大部分物塊堆落的地方。Pv2021/8/1422 汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發(fā)動機內(nèi)氣體的爆炸汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發(fā)動機內(nèi)氣體的爆炸力，對汽車來說是內(nèi)力。圖中所示作用于力，對汽車來說是內(nèi)力。圖中所示作用于 汽車后輪的摩擦力汽車后輪的摩擦力F1，稱為汽車行駛的牽引力或驅(qū)動力。，稱為汽車行駛的牽

17、引力或驅(qū)動力。2021/8/1423 三三 質(zhì)心運動定理可求解兩類動力學(xué)問題質(zhì)心運動定理可求解兩類動力學(xué)問題 已知質(zhì)點系質(zhì)心的運動已知質(zhì)點系質(zhì)心的運動, 求作用于質(zhì)點系的外力求作用于質(zhì)點系的外力(包括包括約束反力約束反力)。 已知作用于質(zhì)點系的外力，求質(zhì)心的運動規(guī)律。已知作用于質(zhì)點系的外力，求質(zhì)心的運動規(guī)律。 若則若則 常量，質(zhì)心沿常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；方向速度不變；若存在若存在 則則 常量，質(zhì)心在常量，質(zhì)心在x 軸的位置坐標保持不變。軸的位置坐標保持不變。, 0)(eiXCxCxva , 000CxvCx二二 質(zhì)心運動守恒定律質(zhì)心運動守恒定律 若，則若，則 常矢量，質(zhì)心作勻速直線常矢量

18、，質(zhì)心作勻速直線運動；運動； 若開始時系統(tǒng)靜止，即若開始時系統(tǒng)靜止，即 則常矢量則常矢量,質(zhì)質(zhì)心位置守恒。心位置守恒。 0)(eiFCCvoa , 00CvCr2021/8/1424 解解: 研究整個電動機質(zhì)點系； 受力分析如圖示； 取O1x y直角坐標軸； 運動分析：定子靜止，轉(zhuǎn)子以角速度 作勻速轉(zhuǎn)動。 根據(jù)質(zhì)心運動定理求解： 例例4 電動機的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子重為P1, 轉(zhuǎn)子重為P2 , 轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1, 但由于制造誤差, 轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e 。求轉(zhuǎn)子以角速度 作勻速轉(zhuǎn)動時，基礎(chǔ)作用在電動機底座上的約束反力。2021/8/1425定子質(zhì)心O1的坐標為 x1=0，y1=0轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的坐標為 x2= ecos t，y2= esin t ， 電動機質(zhì)心C的坐標為 212212211212212211sincosPPtePPPyPyPyPPtePPPxPxPxCC質(zhì)心C加速度在x、y軸上的投影為21222122sin,cosPPtePyPPtePxcC 2021/8/1426可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數(shù)。 , )