數(shù)值分析試題及答案

1、數(shù)值分析試題一、 填空題（2 0×2）1. 設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有 2 位有效數(shù)字。2. 若f(x)=x7x31，則f20,21,22,23,24,25,26,27= 1 ， f20,21,22,23,24,25,26,27,28= 0 。3. 設(shè)，A_5 _，X_ 3_，AX_15_ _。4. 非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x=j(x)在有解區(qū)間滿(mǎn)足 |j(x)| <1 ，則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。5. 區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直到 2 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。6. 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)為等距分布時(shí)，若所求節(jié)點(diǎn)靠近

2、首節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的 前插公式 ，若所求節(jié)點(diǎn)靠近尾節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的 后插公式 ；如果要估計(jì)結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)ai(x)的特點(diǎn)是： 1 ；所以當(dāng)系數(shù)ai(x)滿(mǎn)足 ai(x)>1 ，計(jì)算時(shí)不會(huì)放大f(xi)的誤差。8. 要使的近似值的相對(duì)誤差小于0.1%，至少要取 4 位有效數(shù)字。9. 對(duì)任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是 r(B)<1 。10. 由下列數(shù)據(jù)所確

3、定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高是 5 。 x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛頓下山法的下山條件為 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。12. 線性方程組的松弛迭代法是通過(guò)逐漸減少殘差ri (i=0,1,n)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其中的殘差ri (bi-ai1x1-ai2x2-ainxn)/aii ，(i=0,1,n)。13. 在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時(shí)，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，則初始點(diǎn)x0的選取依據(jù)為 f(x0)f”(x0)>0 。14. 使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、 選取初值 、迭代計(jì)算。二

4、、 判斷題（10×1）1、 若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AXb一定可以使用高斯消元法求解。( × )2、 解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。 ( Ö )3、 若A為n階方陣，且其元素滿(mǎn)足不等式 則解線性方程組AXb的高斯塞德?tīng)柕ㄒ欢ㄊ諗俊?( × )4、 樣條插值一種分段插值。 ( Ö )5、 如果插值結(jié)點(diǎn)相同，在滿(mǎn)足相同插值條件下所有的插值多項(xiàng)式是等價(jià)的。 ( Ö )6、 從實(shí)際問(wèn)題的精確解到實(shí)際的計(jì)算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差及舍入誤差。 ( Ö )7、 解線性方程

5、組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AXb。 ( × )8、 迭代解法的舍入誤差估計(jì)要從第一步迭代計(jì)算的舍入誤差開(kāi)始估計(jì),直到最后一步迭代計(jì)算的舍入誤差。 ( × )9、 數(shù)值計(jì)算中的總誤差如果只考慮截?cái)嗾`差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截?cái)嗾`差舍入誤差。 ( Ö )10、插值計(jì)算中避免外插是為了減少舍入誤差。 ( × )三、 計(jì)算題（5×10）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交換第一與第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化為：（-0.2,2.6）最大元在第三行，交換第二

6、與第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化為：回代得：2、用牛頓埃爾米特插值法求滿(mǎn)足下列表中插值條件的四次插值多項(xiàng)式P4(x)，并寫(xiě)出其截?cái)嗾`差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。xi012f(xi)1-13f (xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)(x)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)

7、(x-2)3、對(duì)下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ň諗?，?xiě)出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ǖ牡剑⒑?jiǎn)單說(shuō)明收斂的理由。解答：交換第二和第四個(gè)方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)：雅克比迭代公式：計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題 一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)1. 已知準(zhǔn)確值x*與其有t位有效數(shù)字的近似值x0.0a1a2an×10s(a1¹0)的絕對(duì)誤差½x*x½£( )(A) 0.5×10 s1t (B) 0.5×10 st (C) 0.5×

8、10s1t (D) 0.5×10 st2. 以下矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的為( )(A) ， (B) (C) (D) 3. 過(guò)(0，1)，(2，4)，(3，1)點(diǎn)的分段線性插值函數(shù)P(x)=( ) (A) (B) (C) (D) 4. 等距二點(diǎn)的求導(dǎo)公式是( )(A) (B) (C) (D)5. 解常微分方程初值問(wèn)題的平均形式的改進(jìn)歐拉法公式是那么yp,yc分別為( )(A) (B) (C) (D) 二、填空題(每小題3分，共15分)6. 設(shè)近似值x1,x2滿(mǎn)足e(x1)=0.05，e(x2)=0.005，那么e(x1x2)= 7. 三次樣條函數(shù)S(x)滿(mǎn)足：S(x)在區(qū)間a,b內(nèi)二階

9、連續(xù)可導(dǎo)，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且滿(mǎn)足S(x)在每個(gè)子區(qū)間xk,xk+1上是 8. 牛頓科茨求積公式，則 .9. 解方程f(x)=0的簡(jiǎn)單迭代法的迭代函數(shù)j(x)滿(mǎn)足在有根區(qū)間內(nèi) ，則在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點(diǎn)作為初始值，迭代解都收斂10. 解常微分方程初值問(wèn)題的改進(jìn)歐拉法預(yù)報(bào)校正公式是預(yù)報(bào)值：，校正值：yk+1= 三、計(jì)算題(每小題15分，共60分)11. 用簡(jiǎn)單迭代法求線性方程組的X(3)取初始值(0,0,0)T，計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù)12. 已知函數(shù)值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函數(shù)的四階均差f(0,1,3,4,6)

10、和二階均差f(4，1，3)13.將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計(jì)算定積分，計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù)14. 用牛頓法求的近似值，取x=10或11為初始值，計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù)四、證明題(本題10分)15. 證明求常微分方程初值問(wèn)題 在等距節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<<xn=b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為y(xk+1)»yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)其中h=xk+1xk(k=0,1,2,n1)計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題答案 一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空題(每小題3分，共15分)6

11、. 0.05½x2½+0.005½x1½ 7. 3次多項(xiàng)式 8. ba 9. ½j¢(x)½£r<1 10. yk+hf(xk1, ) 三、計(jì)算題(每小題15分，共60分)11. 寫(xiě)出迭代格式 X(0)=(0,0,0)T. 得到X(1)(2.5，3，3)T 得到X(2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T 得到X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T. 12. 計(jì)算均差列給出f(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126

12、529/311/151/15 f(0,1,3,4,6)= f(4, 1, 3)=6 13. f(x)=,h=分點(diǎn)x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0. 函數(shù)值：f(1.0)=1.414 2，f(1.25)=1.600 8，f(1.5)=1.802 8，f(1.75)=2.015 6，f(2.0)=2.236 1，f(2.25)=2.462 2，f(2.50)=2.692 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3 (9分) =×1.414 2+3.162 3+2&#

13、215;(1.600 8+1.802 8+2.015 6+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125×(4.576 5+2×15.736 3)=4.506 1 14. 設(shè)x為所求，即求x2115=0的正根f(x)=x2115因?yàn)閒¢(x)=2x，f²(x)=2，f(10)f²(10)=(100115)×2<0，f(11)f²(11)=(121115)×2>0取x0=11有迭代公式xk+1=xk=(k=0,1,2,)x1=10.727 3x2=10.723 8x3=10.

14、723 8x*»10.723 8四、證明題(本題10分)15. 在子區(qū)間xk+1,xk上，對(duì)微分方程兩邊關(guān)于x積分，得y(xk+1)y(xk)= 用求積梯形公式，有y(xk+1)y(xk)= 將y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到y(tǒng)(xk+1)»yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2,n1) 數(shù)值分析期末試題一、 填空題（分）（1)設(shè) ，則_13_。（2)對(duì)于方程組 ，Jacobi迭代法的迭代矩陣是。（3)的相對(duì)誤差約是的相對(duì)誤差的倍。（4）求方程根的牛頓迭代公式是。（5）設(shè)，則差商 1 。（6）設(shè)矩陣G的特征值是，則矩陣

15、G的譜半徑。（7）已知，則條件數(shù) 9 （8）為了提高數(shù)值計(jì)算精度，當(dāng)正數(shù)充分大時(shí),應(yīng)將改寫(xiě)為。（9）個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為次。（10）擬合三點(diǎn)，的水平直線是。二、 （10分）證明：方程組使用Jacobi迭代法求解不收斂性。證明：Jacobi迭代法的迭代矩陣為 的特征多項(xiàng)式為 的特征值為，故1，因而迭代法不收斂性。三、 （10分）定義內(nèi)積試在中尋求對(duì)于的最佳平方逼近元素。解：，。法方程 解得，。所求的最佳平方逼近元素為 ，四、 （10分）給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)。解:， 法方程 的解為， 得到三次多項(xiàng)式誤差平方和為 五. (10分) 依據(jù)如下函數(shù)值表012419233建立不超過(guò)三次的Lagrange插值多項(xiàng)式，用它計(jì)算，并在假設(shè)下，估計(jì)計(jì)算誤差。解:先計(jì)算插值基函數(shù) 所求Lagrange插值多項(xiàng)式為從而。據(jù)誤差公式及假設(shè)得誤差估計(jì)：六. (10分) 用矩陣的直接三角分解法解方程組解 設(shè) 由矩陣乘法可求出和 解下三角方程組有，。再解上三角方程組得原方程