材料力學第九節(jié)

1、材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定9-1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念9-2 兩端鉸支細長桿的臨界壓力兩端鉸支細長桿的臨界壓力9-3 其他支座條件下細長桿的其他支座條件下細長桿的臨界壓力臨界壓力9-4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式9-5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核9-6 提高壓桿穩(wěn)定的措施提高壓桿穩(wěn)定的措施9-7 縱橫彎曲的概念縱橫彎曲的概念材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定9-1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定例：一長為例：一長為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為的鋼板尺，橫截面尺寸為 20m

2、m 1mm 。鋼的許用應力為。鋼的許用應力為 =196MPa。按強度條件計。按強度條件計算得算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為鋼板尺所能承受的軸向壓力為P = A = 3.92 KN實際上，當壓力不到實際上，當壓力不到 40N 時，鋼尺就被壓彎?？蓵r，鋼尺就被壓彎?？梢姡摮叩某休d能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，見，鋼尺的承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與而是與 受壓時變彎受壓時變彎 有關(guān)。有關(guān)。材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定一、穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的概念一、穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的概念 當當 F小于某一臨界值小于某一臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿，撤去橫向力后，桿的軸線將

3、恢復其原來的直線平衡形態(tài)，壓桿在直的軸線將恢復其原來的直線平衡形態(tài)，壓桿在直線形態(tài)下的平衡是線形態(tài)下的平衡是穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡。 材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定FF(a)QcrFFcrFF(b)當當 F增大到一定的臨界值增大到一定的臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的，撤去橫向力后，桿的軸線將保持彎曲的平衡形軸線將保持彎曲的平衡形態(tài)，而不再恢復其原來的態(tài)，而不再恢復其原來的直線平衡形態(tài)，直線平衡形態(tài)，壓桿在原來直線形態(tài)下的壓桿在原來直線形態(tài)下的平衡是平衡是 材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材料力學材料力學 第九章第九章

4、 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定兩端球形絞支，長為兩端球形絞支，長為 L的的等截面等截面細長細長 中心受壓直桿。中心受壓直桿。9-2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定vcrFx2llxABcrF( )crM xyFmmyByx材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定壓桿任一壓桿任一 x 截面沿截面沿 y 方向的方向的位移為位移為 y = f (x)該截面的彎矩為該截面的彎矩為( )crM xyF桿的撓曲線近似微分方程為桿的撓曲線近似微分方程為( )crEIyM xyF crF()crMxyFmmyByx材料力學材料力學 第九章第九章

5、壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定其中其中 I 為壓桿橫截面的為壓桿橫截面的最小形心主慣性矩。最小形心主慣性矩。令令則有二階常系數(shù)線性微分方程則有二階常系數(shù)線性微分方程02yykPcryPxMcr)(mmyByx2kEIFcr yFxMEIycr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定其通解為其通解為kxBkxAycossinA，B，k 三個待定常數(shù)由該撓三個待定常數(shù)由該撓曲線的三個邊界條件確定。曲線的三個邊界條件確定。02yky2kEIFcr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定邊界條件：邊界條件：ox 0y2lx y得得B=02sinklAkxBkxAycossin材料力學材料力學 第九章

6、第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定B=0 ，2sinklAlx 0y2cos2sin2sin0klklklkxBkxAycossin邊界條件：邊界條件：材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定2220klklklcossinsin 要想壓桿在微彎狀態(tài)下要想壓桿在微彎狀態(tài)下平衡只有平衡只有02coskl)5 ,3 , 1(22nnkl2cos2sin2sin0klklkl要想壓桿在微彎狀態(tài)下要想壓桿在微彎狀態(tài)下平衡只有平衡只有材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定其最小解為其最小解為 n = 1 的解的解crk llEIF2crEIFk)5 ,3 , 1(22nnkl材料力學材料力學 第

7、九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定即得即得這就是兩端絞支等截面細長中心這就是兩端絞支等截面細長中心受壓直桿臨界力的計算公式受壓直桿臨界力的計算公式（歐拉公式）（歐拉公式）lEIFlkcr22lEIFcr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定1兩端絞支兩端絞支2一端固定另端絞支一端固定另端絞支C為拐點為拐點 l ABcrPCl7 . 09-3其它支座條件下細長壓桿的臨界壓力其它支座條件下細長壓桿的臨界壓力22lEIFcr227 . 0 lEIFcr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 l ABcrP3兩端固定兩端固定C，D為為拐點拐

8、點CD2l225 . 0 lEIFcr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定4一端固定另端自由一端固定另端自由crPll 222lEIFcr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定表表7-1 各種支承約束條件下等截面細長壓桿各種支承約束條件下等截面細長壓桿 臨界力的歐拉公式臨界力的歐拉公式 兩端絞支兩端絞支一端固定另絞支端一端固定另絞支端兩端固定兩端固定220 5( .)crEIFl220 7(.)crE IFl一端固定另端自由一端固定另端自由222()crE IFl22crE IFl支承情況支承情況臨界力的歐拉公式臨界力的歐拉公式長度系數(shù)長度系數(shù) = 1 = 0.7 = 0

9、.5 = 2材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定歐拉公式歐拉公式 的統(tǒng)一形的統(tǒng)一形式式為壓桿的長度系數(shù)為壓桿的長度系數(shù); l 為相當長度。為相當長度。討論：討論：（1）相當長度）相當長度 l 的物理意義的物理意義1壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的相當相當長度長度 l 。2 l是各種支承條件下，細長壓桿是各種支承條件下，細長壓桿失穩(wěn)時，撓曲線中失穩(wěn)時，撓曲線中相當于相當于半波正半波正弦弦曲線的一段曲線的一段長度長度22lEIFcr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 為長度系數(shù)為長度系數(shù) l 為相當長度為相當長度（2

10、）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩 I1若桿端在各個方向的約束情況相同（球形絞等），則若桿端在各個方向的約束情況相同（球形絞等），則 I應取最小的形心主慣性矩。應取最小的形心主慣性矩。22lEIFcr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定2若桿端在各個方向的約束情況不同（柱形絞），應分別若桿端在各個方向的約束情況不同（柱形絞），應分別計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界力。計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界力。I 為其相應的對為其相應的對中性軸的慣性矩。中性軸的慣性矩。材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定例例9-3-1： 圖示各桿材料和截面均相同，試問

11、哪一根桿能承受圖示各桿材料和截面均相同，試問哪一根桿能承受的壓力最大，的壓力最大， 哪一根的最??？哪一根的最??？al2)(1al3 . 1)(2aal12. 16 . 17 . 0)(3aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a 321 lll因為因為又又22lEIPcr可知可知321crcrcrPPP（1）桿承受的壓力最小，最先失穩(wěn)；）桿承受的壓力最小，最先失穩(wěn)；（3）桿承受的壓力最大，最穩(wěn)定。）桿承受的壓力最大，最穩(wěn)定。材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定F aAB a2c aalAB5 . 05 . 0解解： aalBC35. 05 . 07 . 022220 50 35(

12、.).ABBCcrcrEIEIFFaa故取故取220 5.crEIFa例例9-3-2：已知：圖示壓桿已知：圖示壓桿EI,且桿在且桿在B支承處不能轉(zhuǎn)動支承處不能轉(zhuǎn)動 求：臨界壓力求：臨界壓力材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定例例9-3-3：由由A3鋼加工成的工字型截面桿，兩端為柱形絞。在鋼加工成的工字型截面桿，兩端為柱形絞。在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時，桿端約束情況接近于兩端絞支，平面內(nèi)失穩(wěn)時，桿端約束情況接近于兩端絞支， z = 1，長長度為度為 l1 。在。在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時，桿端約束情況接近于兩端固定平面內(nèi)失穩(wěn)時，桿端約束情況接近于兩端固定 y = 0.6 ，長度為，長度為 l2 。求

13、。求 Fcr。zy22126624材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定zy22126624解：解：在在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時，平面內(nèi)失穩(wěn)時，z為中性軸為中性軸）（）（23315622262212122412121zI21221211 lEIlEIzzzcrF材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定在在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時，平面內(nèi)失穩(wěn)時，y為中性軸為中性軸zy221266243322612121224121yI2226 . 0 lEIFycr21,mincrcrcrFFF 材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定一、歐拉公式的應用范圍一、歐拉公式的應用范圍(1) 壓桿的臨界應力

14、公式壓桿的臨界應力公式 （臨界應力歐拉公式）（臨界應力歐拉公式）壓桿受臨界力壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡時，橫截面上的壓應力可按時，橫截面上的壓應力可按 = P/A 計算。計算。9-4 歐拉公式的應用范圍歐拉公式的應用范圍 經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應力為壓桿橫截面上的應力為為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑2222/ilEAlEIAFcrcrAIi 材料力學材料力學

15、第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定稱為壓桿的柔度（長細比）。集中地反映了壓桿的長度，稱為壓桿的柔度（長細比）。集中地反映了壓桿的長度，桿端約束，截面尺寸和形狀對桿端約束，截面尺寸和形狀對臨界應力的影響。臨界應力的影響。il2222/ilEAlEIAFcrcr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 越大，相應的越大，相應的 cr 越小，壓桿越容易失穩(wěn)。越小，壓桿越容易失穩(wěn)。若若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度 ，并按較大者計算，并按較大者計算壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力 cr

16、 。22EcrcrcrAF材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定(2) 歐拉公式的應用范圍歐拉公式的應用范圍只有在只有在 cr P 的的范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式計算壓桿的計算壓桿的臨界力臨界力 Fcr（臨界應力（臨界應力 cr ）。）。PcrE22或或12ppEE材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 當當 1（大柔度壓桿或細長壓桿）時，才能應用（大柔度壓桿或細長壓桿）時，才能應用 歐拉公式。歐拉公式。 當當 1（小柔度壓桿）時，不能應用歐拉公式。（小柔度壓桿）時，不能應用歐拉公式。 用經(jīng)驗公式用經(jīng)驗公式A 3 鋼鋼 ( = 0123 )16 錳錳

17、鋼鋼 ( = 0102 )200666. 0235cr20142. 0343cr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定右圖稱為歐拉臨界右圖稱為歐拉臨界應力曲線。實線部分是應力曲線。實線部分是歐拉公式適用范圍的曲線歐拉公式適用范圍的曲線，虛線部分無意義。，虛線部分無意義。 1 的大小取決于壓桿的力學性能。例如，對于的大小取決于壓桿的力學性能。例如，對于Q235鋼，可鋼，可取取 E=206MPa， p=200MPa，得，得右圖稱為歐拉臨界右圖稱為歐拉臨界應力曲線。實線部分是應力曲線。實線部分是歐拉公式適用范圍的曲線歐拉公式適用范圍的曲線，虛線部分無意義。，虛線部分無意義。1001pE 1

18、 的大小取決于壓桿的力的大小取決于壓桿的力學性能。例如，對于學性能。例如，對于Q235鋼，可取鋼，可取 E=206MPa， P=200MPa，得，得右圖稱為歐拉臨界應力曲右圖稱為歐拉臨界應力曲線。實線部分是歐拉公式線。實線部分是歐拉公式適用范圍的曲線，虛線部適用范圍的曲線，虛線部分無意義。分無意義。22Ecr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定二、壓桿的臨界應力總圖二、壓桿的臨界應力總圖1Pscr)(il o22Ecr經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定解：解：圓形截面桿：圓形截面桿：424126411dddAIidldlil111124/5 . 0例例

19、9-4-1 截面為圓形，直徑為截面為圓形，直徑為 d 兩端固定的細長壓桿和截面兩端固定的細長壓桿和截面為正方形，邊長為為正方形，邊長為d 兩端絞支的細長壓桿，材料及柔度都相兩端絞支的細長壓桿，材料及柔度都相同，求兩桿的長度之比及臨界力之比。同，求兩桿的長度之比及臨界力之比。 圓形截面桿：圓形截面桿：材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定ddll21322所以所以321ll正方形截面桿：正方形截面桿：由由 1 = 2 得得12241212dddAIidldlil22223212/1材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定ldEldEEcr12422222212122112132

20、1llEE21dl 211dl 32221222222222212CrcrldEE4412221221111ddAAAAppcrcrcrcr材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定Fcr 壓桿的臨界壓力壓桿的臨界壓力nw 壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)壓桿穩(wěn)定條件：壓桿穩(wěn)定條件：9-5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核F工作壓力工作壓力wcrnFF wcrnFFn材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定stcrstn ：穩(wěn)定系數(shù)：穩(wěn)定系數(shù),主要與柔度主要與柔度有關(guān)有關(guān) 壓桿的強度條件壓桿的強度條件 (強度許用應力強度許用應力) 壓桿的穩(wěn)定性條件壓桿的穩(wěn)定性條件 (穩(wěn)定許用應力

21、穩(wěn)定許用應力) st 材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定例例9-5-1 兩端鉸支中心受壓直桿，材料兩端鉸支中心受壓直桿，材料 、截面形、截面形狀狀 、求：、求：4410306mmIz4410235mmIy解：解： 1 . 計算截面的慣性半徑計算截面的慣性半徑 i (取最小取最小) 查表算得組合截面對其形心主軸查表算得組合截面對其形心主軸 y、 z的的慣性矩慣性矩 st材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 MPa8 .97st 3. 計算穩(wěn)定許用應力計算穩(wěn)定許用應力st 根據(jù)根據(jù)=97，查表得，查表得=0.575，代，代 入公式可得壓桿的穩(wěn)定許用應力為入公式可得壓桿的穩(wěn)

22、定許用應力為zyII mm9 .30AIiiyymin zyii 且為等截面，且為等截面， 故故 2 . 計算桿件柔度計算桿件柔度 (取最大取最大) 97ilminmax 材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定例例9-5-2 一連桿尺寸如圖，材料為一連桿尺寸如圖，材料為 A3 鋼，承受的軸向壓力鋼，承受的軸向壓力為為 P=120KN，取穩(wěn)定安全系數(shù)，取穩(wěn)定安全系數(shù) nw =2，校核連桿的穩(wěn)定性。，校核連桿的穩(wěn)定性。在在 xy 面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度 l =940 。在在 xz 面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長度面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長度 l 1=880 。z

23、yxb=25h=60材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定在在 xy 面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，面內(nèi)失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度長度 l =940 。zyxb=25h=60解：解：(1) 求柔度求柔度 cmhbhAbhIizz732. 1321233 .54732. 1941izzlil 材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定在在 xz 面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，面內(nèi)失穩(wěn)近似兩端固定，長度長度 l 1=880 。zyxb=25h=60il cmbbhAhbIiyy722.0321233 .5461722. 0885 . 0zyyil桿在桿在 xz 面內(nèi)先失穩(wěn)，應用面內(nèi)先失穩(wěn)，應用 y

24、 計算臨界力。計算臨界力。材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定zyxb=25h=60（2）求臨界力，作穩(wěn)定校核）求臨界力，作穩(wěn)定校核因為因為 y = 61 123，用經(jīng)驗公式計算，用經(jīng)驗公式計算MPacr21000666. 02352壓桿是穩(wěn)定的壓桿是穩(wěn)定的kNAFcrcr315wcrnFFn63. 2120315材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定zyxb=25h=60（3）如果要求連桿在兩平面內(nèi)）如果要求連桿在兩平面內(nèi) 失穩(wěn)時的臨界力相等失穩(wěn)時的臨界力相等crcrAP22EcrAlIzxy1AIlyxz15.0llIIyz2124ll1IIyz4材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定例例9-5-3 兩端絞支壓桿，材料為兩端絞支壓桿，材料為A3鋼，截面為圓環(huán)，鋼，截面為圓環(huán)，P=180KN，l =2500mm，r=60mm，穩(wěn)定安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù)nw=2.5，計算鋼管壁厚，計算鋼管壁厚t 。PPlrt材料力學材料力學 第九章第九章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定PPlrt解：按薄壁管考慮解：按薄壁管考慮trA2tIr3mmrtrtir4 .4222312359 il用經(jīng)驗